1、第五章 數(shù)據(jù)擬合一、擬合的概念二、調(diào)用MATLAB命令實現(xiàn)擬合三、范例1 在一項工程實踐中，通過觀測，得到了一個離散的函數(shù)關(guān)系(xi,yi) i=1,2,n。由于工程的需要，我們希望揭示出反映這組離散數(shù)據(jù)的一個解析的函數(shù)關(guān)系。 再用幾何術(shù)語來表達：根據(jù)平面上的觀測點,要求確定一個函數(shù)曲線y=f(x), 使曲線盡量接近這些點。實現(xiàn)這個愿望的方法簡稱為曲線擬合（fitting a curve). 在生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗中,經(jīng)常會遇到大量的不同類型的數(shù)據(jù)(data).這些數(shù)據(jù)提供了有用的信息，可以幫助我們認識事物的內(nèi)在規(guī)律等. 曲線擬合是根據(jù)實驗獲得的數(shù)據(jù)，建立自變量與因變量之間的函數(shù)關(guān)系，為進一步的

2、深入研究提供工具。一、擬合的概念2 引例：濃度變化規(guī)律 在化學(xué)反應(yīng)中，為研究某化合物的濃度隨時間的變化規(guī)律，測得一組數(shù)據(jù)如表5.13表 5.1t 時間 1 2 3 4 5 6 7 8y濃度 4 6.4 8.0 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86t時間 9 10 11 12 13 14 15 16y濃度 10 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6 表5.1中的數(shù)據(jù)反映了濃度隨時間變化的函數(shù)關(guān)系,它是一種離散關(guān)系.若需要推斷第20、40分鐘的濃度值,就要用一個解析的函數(shù)y=f(t)來擬合表5.1中的離散數(shù)據(jù),然后再算濃度f(20),f(40)。 首先

3、將這些離散數(shù)據(jù)描繪在直角坐標系下，得到散點圖。然后觀察濃度與時間之間呈現(xiàn)什么規(guī)律。 4 圖5.1,濃度 y 隨時間 t 呈“拋物線”(二次函數(shù))狀變化. 根據(jù)散點圖,可以認為y與t的函數(shù)為y=a+bt+ct2,其中a,b,c為待定，稱為參數(shù)。參數(shù)的選擇需要科學(xué)的方法和實驗修正。提示5 函數(shù)形式確定以后，關(guān)鍵是要確定函數(shù)中含有的待定參數(shù)a,b,c.常用的方法是最小二乘法（method of least squares),下面介紹該方法的基本原理。6最小二乘法 平面上的點 (xi,yi) i=1,2,n。揭示出一個離散的函數(shù)關(guān)系; 設(shè)有連續(xù)可微的函數(shù)y=f(x)很接近上述離散的函數(shù)關(guān)系。但一般來說

4、因此，我們的愿望降低為是：如何選取 f(x) 的參數(shù)使達到y(tǒng)i f(xi) i=1,2,n。 7對應(yīng)的幾何意義：諸點到曲線的距離平方和最小8二、曲線擬合的MATLAB實現(xiàn)多項式函數(shù)擬合： a=polyfit(xdata,ydata,n)其中(xdata,ydata)為觀測數(shù)據(jù)，n為你認定的適合觀測數(shù)據(jù)的多項式的次數(shù)。輸出為 a =a1,an,an+1即與多項式f(x)=a1xn+anx+an+1對應(yīng)9回到引例中的問題t=1:16;y=4 6.4 8.0 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 10 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6;a=polyf

5、it(t,y,2)a = -0.0445 1.0711 4.3252即擬合函數(shù)為f(t)=a(1)*t2+a(2)*t+a(3)10 對擬合函數(shù)的擬合效果如何檢測？仍然以圖形來檢測，我們將客觀的散點與主觀的擬合曲線畫在一個畫面上即可看出。 xi=linspace(0,16,160); yi=polyval(a,xi); plot(x,y,o,xi,yi) %圖略 右圖是以8次多項式擬合的效果a=polyfit(t,y,8);xi=linspace(0,16,160);yi=polyval(a,xi);plot(t,y,o,xi,yi, g)11一般的曲線擬合：p=lsqcurvefit(Fun

6、,p0,xdata,ydata) (xdata,ydata)是觀測數(shù)據(jù)。對于這組觀測數(shù)據(jù)我們選擇了自認為是擬合效果比較好的函數(shù)形式f(x),其中參數(shù)以字母表示，取值待定 .我們把這個函數(shù)形式寫入名為Fun的M文件.例如：對于上述觀測數(shù)據(jù)所選擇的擬合函數(shù)為 y=ae-bx+ce-dx編寫M文件ex.mfunction y=ex(p, x)y= p(1)*exp( -p(2)*x)+ p(3)*exp( -p(4)*x);12輸入形參為x , 在 lsqcurvefit 命令中xdata為實參。待定參數(shù)寫為 p(1) , p(2) , ，p(n) 此外，我們對待定參數(shù)應(yīng)有一個大致的估計，體現(xiàn)在擬合

7、命令 lsqcurvefit 中的初始向量p0中。13調(diào)用后返回的p就是按照最小二乘原則求得的待定參數(shù)。這時再把p的分量對位代入函數(shù)形式的相應(yīng)位置，就得到了完整的擬合函數(shù)。minp sum( fun(p,xdata) ydata ).2 lsqcurvefit()命令的求解原理是在所有可能的參數(shù)p中挑選使sum最小的函數(shù)法則待定參數(shù)p觀測到的函數(shù)值序列觀測到的自變量序列14例如：x=0:0.1:1;y= 4.0000 2.8297 2.0183 1.4524 1.0550 0.7739 0.5733 0.4290 0.3242 0.2473 0.1903;繪圖認識觀測數(shù)據(jù)體現(xiàn)的函數(shù)關(guān)系：plo

8、t(x,y) 15選擇了擬合函數(shù)的形式為 y=ae-bx+ce-dx1、編寫M文件ex.mfunction y=ex(p, x)y=p(1)*exp(-p(2)*x)+p(3)*exp(-p(4)*x);2、調(diào)用p=lsqcurvefit(ex,1 2 1 4,x,y);擬合函數(shù)為 y= p(1)*exp(-p(2)*x)+p(3)*exp(-p(4)*x)16注：若要求算點x處的函數(shù)值可用程序f=ex(p,x)計算。如 x=0:0.1:1; y=ex(p,x); plot(x,y)練習(xí)函數(shù)繪圖3、評價擬合效果plot(x,y, o)hlod onxi=0:0.01:1;yi=ex(p,xi)

9、;plot(x,y)17x=0 0.3142 0.6283 0.9425 1.2566 1.5708 1.8850 2.1991 2.5133 2.8274 3.1416;y=0 1.6180 1.9021 0.6180 -1.1756 -2.0000 -1.1756 0.6180 1.9021 1.6180 0.0000;三、范例課堂練習(xí)：對下述觀測數(shù)據(jù)，給出擬合函數(shù)提示：1.繪圖估計解析關(guān)系2.建立解析關(guān)系的M文件3.調(diào)用lsqcurvefit命令4.針對解析關(guān)系繪圖，與觀測點對比，評價擬合函數(shù)優(yōu)劣。18Malthus模型中的參數(shù)估計 為了讓指數(shù)增長模型較好地擬合美國人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)。我們來討論公式中的參數(shù)2. 在工作區(qū)定義向量. t=0:1:21; Matlab的命令如下1. 建立M文件 function x = renkou(p,t) x =p(1)*exp(p(2)*t); 19x=3.9 5.3 7.2 9.6 281.4;203. 調(diào)用擬合函數(shù). p=lsqcurvefit (renkou,p0,t,x) 結(jié)果為 p(1)=x0=14.9935 p(2)