1、4.1 功保守力的功，力矩的功1 研究力 (力矩) 在空間的積累效應(yīng)。 注意: 1. 提高對 “功、動能、動能定理、勢能、功能原理、機(jī)械能守恒定律”的理解。 2. 搞清規(guī)律的內(nèi)容、成立條件。它們與參考系的關(guān)系前言(或)4.1 功 保守力的功 力矩的功一、功1、恒力的功定義功 -恒力對直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)的功等于力在作用點(diǎn)位移方向的分量與位移大小的乘積?；虻扔诹εc其作用點(diǎn)的位移的標(biāo)積。2、變力的功abmL對微小過程，可當(dāng)成恒力 的直線運(yùn)動:稱為“力沿路徑 L 的線積分”(L)(1)功是過程量；(2)功是標(biāo)量（有正負(fù)）； 由于abmL3、合力的功質(zhì)點(diǎn)同時受幾個力 的作用，功分別為，則總功為：則總功為：合

2、力的功為分力功的代數(shù)和直角坐標(biāo)系：4、示功圖xoab總功 = 曲線下的面積二、功率功的快慢1、平均功率用圖解法求功有直接、方便等優(yōu)點(diǎn)。2、瞬時功率三、保守力的功1、重力的功功率等于力矢量與力作用點(diǎn)的速度矢量的標(biāo)積重力的功 在地面附近質(zhì)量為 m 的物體從 a 到 b，求重力的功：螞蟻在作功yzoabx重力做功僅由起點(diǎn)、終點(diǎn)的位置決定，與路徑無關(guān)。推論：2、 萬有引力功 一對萬有引力的功：ba以 M為參考系的原點(diǎn)計算起來就非常方便只要算一個力的功 即可:萬有引力的功“與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。baxk一水平桌面上放置的彈簧振子小球從A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)的過程中,求彈性力對小球作的功:3、彈性力的

3、功只與始末位置有關(guān)，與具體路徑無關(guān)。4、保守力和非保守力一質(zhì)點(diǎn)相對于另一質(zhì)點(diǎn)沿閉合路徑運(yùn)動一周時，它們之間的保守力做的功必然是零。保守力的另一種表述：做功“與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)，這種性質(zhì)的力稱為保守力”；反之為非保守力。 常見的保守力: 萬有引力 ( 或有心力） 彈力 （或位置的單值函數(shù)） 重力 （或恒力） 常見的非保守力（耗散力）： 摩擦力 爆炸力 磁力和非靜電力. 靜電場力 四. 力矩的功對轉(zhuǎn)動（功）無貢獻(xiàn)現(xiàn)在討論力矩對空間的積累效應(yīng)： 設(shè)剛體轉(zhuǎn)過角度 ，剛體上P點(diǎn)受到外力 的作用，位移為, 功為 。 此式稱為力矩的功（實(shí)質(zhì)上仍然是力的功） 4.2 動能定理 一、動能 質(zhì)點(diǎn)的動

4、能定理ab設(shè)合力為 ，由牛II ，其中:稱為動能 一個過程量=始末兩個狀態(tài)量之差。動能定理只適用于慣性系。 說明:沖浪力和重力對人體作功“合力對質(zhì)點(diǎn)作的功等于質(zhì)點(diǎn)動能的增量”質(zhì)點(diǎn)的動能定理二 . 質(zhì)點(diǎn)系的動能定理：對整個質(zhì)點(diǎn)系： 對第 i個質(zhì)點(diǎn)：合外力的功 合內(nèi)力的功 簡記為: 注意：1. 內(nèi)力是成對出現(xiàn)的， 但內(nèi)力功之和不一定為零。例如，兩個異號點(diǎn)電荷相吸引 2. 內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的總動量， 但能改變系統(tǒng)的總動能?！八型饬|(zhì)點(diǎn)系做的功和內(nèi)力對質(zhì)點(diǎn)系做的功之和等于質(zhì)點(diǎn)系總動能的增量?！?質(zhì)點(diǎn)系的動能定理內(nèi)力功（成對力的功）0設(shè)一對力分別作用在兩個物體上，大小相等，方向相反 即： 一對力的元

5、功:初位形（A）: m1-A1，m2-A2末位形（B）: m1-B1， m2-B2 .一對力的功等于其中一個質(zhì)點(diǎn)受的力沿著 它相對于另一質(zhì)點(diǎn)移動的路徑所作的功。.由于一對力的功只與“相對路徑”有關(guān)， 所以與參考系的選取無關(guān)。計算一對力的功時,可以認(rèn)為一個質(zhì)點(diǎn)（如m1 ）靜止，把它作為參考系的原點(diǎn)，再計算另一質(zhì)點(diǎn)（如m2 ）在此參考系中運(yùn)動時它所受力做的功。說明:當(dāng)3. 例如：質(zhì)量為m的物體在地面上下落高度為h時，它受的重力與地球受它的引力這一對力做的功之和，就等于mgh。例：小物體下滑，大物體后退，一對滑動摩擦力的功是否為零？答：不為零無論大物體怎么運(yùn)動，這一對力的功總是零，因為它們之間沒有相

6、對運(yùn)動一對靜摩擦力的功恒為零！ 例：小物體下滑，大物體后退， 一對正壓力的功是多大? ?例：一對靜摩擦力的功是多大？為什么？12成對保守力的功：在任意的參照系中成對保守力的功只取決于相互作用質(zhì)點(diǎn)的始末相對位置，而與各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動路徑無關(guān)一對正壓力的功恒為零！三、剛體定軸轉(zhuǎn)動動能定理1、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能:2、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體是一個特殊的質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)點(diǎn)系的動能定理適用于剛體，則：因為剛體內(nèi)各質(zhì)元無相對運(yùn)動，A內(nèi)=0，則：即：定軸轉(zhuǎn)動動能定理“剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)動動能的增量等于剛體所受外力矩所作的總功”應(yīng)該：0對c點(diǎn)例.剛體的勢能等于如圖所示，某人說：剛體的動能等于你同意嗎？對0點(diǎn)C點(diǎn)，

7、相同【答】某人說：剛體的角動量就是你同意嗎？應(yīng)該對c點(diǎn)【答】1、質(zhì)心系不必是慣性系。剛體平動時，質(zhì)心的運(yùn)動完全可以代表 剛體的運(yùn)動；剛體轉(zhuǎn)動時，質(zhì)心的運(yùn)動不能完全代表 剛體的運(yùn)動！剛體質(zhì)心的運(yùn)動+剛體相對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動（質(zhì)心系）剛體的運(yùn)動 = 我們可以看到：2、對剛體上任一點(diǎn)（基點(diǎn)）的轉(zhuǎn)動角速度 都是相同的。P116 例題 若B從靜止開始下落時，合外力矩對c做的功=？ c的角速度=？解：對c的合外力矩為由動能定理 一對保守力的功只與系統(tǒng)的始末相對位形有關(guān)，說明系統(tǒng)存在一種只與相對位形有關(guān)的能量。例如:一端固定在墻上的水平彈簧振子,一對彈性力的功: 勢能（potential energy）一、保守

8、力場質(zhì)點(diǎn)所受保守力作用的空間分布稱為保守力場利用保守力的功與路徑無關(guān)的特點(diǎn)，可引入“勢能” 的概念。二、勢能 Ep其勢能的減少(增量的負(fù)值)等于保守內(nèi)力的功。定義：系統(tǒng)由位形(a)變到位形(b)的過程中， 它與始末相對位形有關(guān),與運(yùn)動過程無關(guān)。三、 幾種勢能1.萬有引力勢能令 有若規(guī)定系統(tǒng)在位形（b）的勢能為零， 則：2.重力勢能令 3.彈性勢能令 有有說明：1. 勢能屬于有相互作用的系統(tǒng) 勢能零點(diǎn)的選擇不同,勢能的值不同, 但不影響兩勢能之差，即不影響一對保守力的功。因為一對保守力的功不依賴于參考系的選擇。因為它是與一對保守力的功聯(lián)系在一起的。重力勢能為 mgh，好象只與一個物體的質(zhì)量有關(guān)，

9、其實(shí)這是以地球為參考系的緣故。2. 勢能的差值不依賴于參考系的選擇3. 勢能零點(diǎn)的選擇可以任意。四、由勢能求保守力*對于一個微元過程，保守力的功有:一般:（梯度算符）記作：比較（1）、（2）式有： 保守力積分勢能 保守力微分勢能如何由勢能求保守力?如何由保守力求勢能?例 2. 由萬有引力勢能求萬有引力。例 1. 由彈性勢能求彈性力。已知4.4 機(jī)械能守恒定律 能量守恒定律一、機(jī)械能守恒定律若為孤立系，則：系統(tǒng)的機(jī)械能E=Ek+Ep“如果在質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動過程中， 只有保守內(nèi)力作功(外力和非保守內(nèi)力都不作功)，那么這過程機(jī)械能守恒。”-機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒守恒條件：說明：1.2. 機(jī)械能守恒定律

10、也只適用與慣性系。但是，在一個慣性系中機(jī)械能守恒, 在另一個慣性系中機(jī)械能不見得守恒。要看機(jī)械能守恒條件在該慣性系中是否成立？二、功能原理omxa（勻速）一個質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能的增量等于外力的功和非保守內(nèi)力的功之和 -功能原理說明：(1)、功能原理屬于質(zhì)點(diǎn)系的動力學(xué)規(guī)律，不必考慮保守內(nèi)力的功。(2)、功能原理只適于慣性系。注意：質(zhì)點(diǎn)系的功能原理及機(jī)械能守恒定律適用于剛體。剛體的重力勢能Ep=mghc(質(zhì)量集中于質(zhì)心）P126頁例【解】“桿+地球”系統(tǒng)， (1) (2)由(1)、(2)解得：只有重力作功，求: 桿下擺到 角時， 角速度 ？ E機(jī) 守恒。例 已知：均勻直桿質(zhì)量為m，長為l，軸o光滑，E

11、P重=00CABl , ml /4，初始靜止在水平位置。補(bǔ)充例題質(zhì)量 m，長 l 的均勻細(xì)桿可繞通過其上端的水平光滑固定軸 0 轉(zhuǎn)動，質(zhì)量也是m 的小球用長度也是 l 的輕繩系于上述 0 軸上。設(shè)細(xì)桿靜止在豎直位置，將小球在垂直于0 軸的平面內(nèi)拉開角度為 ，然后使其自由下擺與桿端發(fā)生彈性碰撞，結(jié)果使桿產(chǎn)生 /3 的偏角。求： =？ 【解】 小球下擺過程： 系統(tǒng)：小球+地球 條件：只有保守力 作功 所以E機(jī)守恒mlo/3m條件：小球和桿的重力（外力） 對0 軸幾乎無力矩, 有軸力（外力），但也無力矩。M外=0，系統(tǒng)角動量守恒即小球動量矩 碰撞過程：系統(tǒng)：小球+桿 動量守恒 ？(答：不守恒?。┧膫€

12、未知數(shù)，三個方程，還應(yīng)找一個方程。 桿上擺過程： 由E機(jī)守恒可得mlo/3m聯(lián)立可以解得 題意：彈性碰撞，所以動能守恒補(bǔ)充例題 已知：如圖所示. m =0.2kg, M= 2kg, v ， 求：hmax=? 系統(tǒng): m + M +地球 條件: A外=0，A非保內(nèi)=0 故機(jī)械能守恒.當(dāng) h = hmax的時刻，M與 m 速度相同，設(shè)為V，沿水平方向。光滑光滑【解】 對m+M：水平方向F外=0，水平方向動量守恒。（豎直方向動量守恒否？） mv =（m+M）V (2)由(1) (2)得 特例:代入數(shù)據(jù)： 物理學(xué)特別注意對守恒量和守恒定律的研究，從方法論上看：自然界中許多物理量如動量、角動量、機(jī)械能、電荷、質(zhì)量等等，都具有相應(yīng)的守恒定律。利用守恒定律研究問題，可避開過程的細(xì)節(jié)，而對系統(tǒng)始、末態(tài)下結(jié)論（特點(diǎn)、優(yōu)點(diǎn)）。從適用性來看：守恒定律適用范圍廣，宏觀、微觀、 高速、低速均適用。三、 能量守恒定律這是在美國 加州的一組排成陣列的鏡子，它們將太陽光會聚到塔頂處的鍋爐上。 太陽能熱能大量事實(shí)表明: 一個孤立系統(tǒng)無論經(jīng)歷何種變化,系統(tǒng)各種形式能量的總和是不變的-這稱為普遍的能量守恒定律從本質(zhì)上看： 守恒定律揭示了自然界普遍的屬性對稱性。4.5 碰撞（Collision）碰撞過程一般都十分復(fù)雜，難于對過程的細(xì)節(jié)進(jìn)行分析。但是通常我們只關(guān)心物體在碰撞前后運(yùn)動狀態(tài)的變化，而在碰撞中相對于內(nèi)力（