1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 13 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 13 頁2021-2022學年天津市南開中學高一下學期期中數(shù)學試題一、單選題1若復數(shù)z滿足其中i為虛數(shù)單位，則z=（）A1+2iB12iCD【答案】B【詳解】試題分析：設(shè)，則，故，則，選B.【解析】注意共軛復數(shù)的概念【名師點睛】本題主要考查復數(shù)的運算及復數(shù)的概念，是一道基礎(chǔ)題目.從歷年高考題目看，復數(shù)題目往往不難，有時對復數(shù)的運算與概念、復數(shù)的幾何意義等進行綜合考查，也是考生必定得分的題目之一.2若，則直線，的位置關(guān)系是（）

2、A平行或異面B平行或相交C相交或異面D平行、相交或異面【答案】D【分析】利用條件，聯(lián)系立方體即可得出結(jié)論.【詳解】解：如圖所示，設(shè)平面為平面若，故，相交；若，故，異面；若，故，平行.故選：D3在中，內(nèi)角所對的邊分別是，若，則角（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合余弦定理，代入即可得答案.【詳解】由余弦定理得，因為，所以.故選：B4已知向量，則（）ABCD5【答案】A【分析】根據(jù)線性運算的坐標表示求出的坐標，再根據(jù)向量模的坐標公式計算可得；【詳解】解：因為，所以，所以；故選：A5下圖是一個正方體的展開圖，則在該正方體中（）A直線與直線平行B直線與直線相交C直線與直線異面垂直D直線與直線異

3、面且所成的角為60【答案】D【分析】首先畫出正方體的展開圖的立體圖，從而得到直線與直線為異面直線，再求異面直線所成角即可得到答案.【詳解】正方體的展開圖的立體圖形如圖所示：由圖知：直線與直線為異面直線，故A，B錯誤；連接，因為，所以或其補角為異面直線與所成角.又因為為等邊三角形，所以.所以直線與直線異面且所成的角為60，故C錯誤，D正確.故選：D【點睛】本題主要考查異面直線成角問題，屬于簡單題.6如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，過BC的平面與平面PAD交于EF，E在線段PD上且異于P、D，則四邊形EFBC是（）A空間四邊形B矩形C梯形D平行四邊形【答案】C【分析】由線面平行的性質(zhì)分

4、析判斷即可【詳解】因為，平面，平面，所以平面，因為平面，平面平面，所以，因為，所以，所以四邊形為梯形，故選：C7在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，DE交AF于H，記，分別為，則=（）ABCD【答案】B【分析】過點作的平行線交于，即可得到則，再根據(jù)平面向量線性運算法則計算可得；【詳解】解：如圖過點作的平行線交于，則是的中點，且，又，所以，即，又故選：B8的內(nèi)角，的對邊分別為，若，則的形狀為（）A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D不確定【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理、兩角和的正弦公式，結(jié)合誘導公式進行求解判斷即可.【詳解】因為，所以，所以則，即，故.因為，所以，當時，所以或.

5、若，則.若，則.當時，（舍去），因此的形狀為直角三角形.故選：C9兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為（）ABCD【答案】B【分析】作出圖形，計算球體的半徑，可計算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計算出圓錐的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，設(shè)兩個圓錐的底面圓圓心為點，設(shè)圓錐和圓錐的高之比為，即，設(shè)球的半徑為，則，可得，所以，所以，則，所以，又因為，所以，所以，因此，這兩個圓錐的體積之和為.故選：B.10已知四面體ABCD的所有棱長都相等，其外接球的體積等于，則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（）四面體ABC

6、D的棱長均為2：四面體ABCD的體積等于異面直線AC與BD所成角為A0B1C2D3【答案】C【分析】,求出外接球半徑與正四面體棱長之間的關(guān)系，由外接球體積求出外接球半徑，從而求出棱長；,在的基礎(chǔ)上利用椎體體積公式進行求解；,作出輔助線，可證明出AC與BD垂直，從而錯誤.【詳解】由題意知，可以設(shè)該正四面體的棱長為a，底面正三角形BCD的中心為G，該正四面體的外接球的球心為O，半徑為R；則在直角三角形AGB中，.在直角三角形OBG中，所以，由外接球的體積為，可得，所以，解得：，故正確；由得：正四面體的高，故正四面體的體積為，故正確；設(shè)BD的中點為E，連接AE，CE，因為三角形ABD與三角形BCD均

7、為等邊三角形，由三線合一得：，因為，所以平面AEC，因為平面AEC，所以，故錯誤.故正確的是.故選：C二、填空題11已知，且復數(shù)是純虛數(shù)，則_.【答案】【解析】根據(jù)復數(shù)的四則運算進行化簡得，又由于該復數(shù)為純虛數(shù)，故，解得.【詳解】解：，又該復數(shù)為純虛數(shù)故，故答案為：12圓錐的側(cè)面展開圖為一個扇形，其圓心角為，半徑為3，則此圓錐的體積為_.【答案】【分析】根據(jù)弧長公式，可得，然后可得圓錐底面的半徑，利用勾股定理可得圓錐的高，最后利用錐體體積公式，可得結(jié)果.【詳解】圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為3的扇形，則圓錐的母線長為，底面周長即扇形的弧長為，所以底面圓的半徑為，所以底面圓的面積為，圓錐的高為

8、，所以圓錐的體積為.故答案為：【點睛】本題考查根據(jù)圓錐的展開圖求圓錐的體積，重點在于求圓錐的高和底面半徑，屬基礎(chǔ)題.13設(shè)，是兩個不共線的向量，若向量與向量 共線，則_【答案】【分析】由共線向量定理可得存在唯一實數(shù)，使，再由，是兩個不共線的向量，可求出的值【詳解】由題意得存在唯一實數(shù)，使，所以，因為，是兩個不共線的向量，所以，解得，故答案為：14已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點，則三棱錐A-NMD1的體積為_【答案】【分析】利用計算即可.【詳解】因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點所以故答案為：【點睛】在求

9、解三棱錐的體積時，要注意觀察圖形的特點，看把哪個當成頂點好計算一些.15已知一個正方體的所有頂點在一個球面上. 若球的體積為, 則正方體的棱長為 .【答案】【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合球的體積公式進行求解即可.【詳解】因為正方體體的對角線就是正方體的外接球的直徑，所以由外接球的體積公式得：，即，則，故答案為：【點睛】本題考查了正方體外接球的性質(zhì)，考查了球的體積公式的應(yīng)用，考查了空間想象能力和數(shù)學運算能力.三、雙空題16在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段BC，CD上的點，點M在線段EF上，且滿足，則x=_；若點N為線段BD上一動點，則的取值范圍為_.【答案】 ； 【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，建立以

10、為x軸，為y軸的直角坐標系，利用向量的坐標表示形式分別表示出，根據(jù)它們的關(guān)系求得x的值及M的坐標；設(shè)，表示出的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得取值范圍.【詳解】根據(jù)菱形的性質(zhì)，建立以為x軸，為y軸的直角坐標系，如圖所示：則，由題知，且，設(shè)，則，由，則，解得，設(shè)，則，則故答案為：；.四、解答題17在，角所對的邊分別為，已知，（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值【答案】（I）；（II）；（III）【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；（II）由余弦定理即可計算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.【詳解】（I）因為，由正弦定理可得，；（II）由余弦定理可得；（III），所以.18如圖，已知平面，點和分別為和的中點(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)求直線與平面所成角的大小【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）連接，推導出，由此能證明平面（2）推導出，從而平面，進而，由此能證明平面（3）取中點和中點，連接，推導出四邊形是平行四邊形，從而且，進而平面，即為直線與平面