1、PAGE PAGE 4通法系列一“ 通法”解決三角形中的角平分線問題河南省安陽市第63中學(xué)（梅園中學(xué)）455000 張立界 何謂“通法”，就是通用方法，解決某類問題的通用方法.平時(shí)解題時(shí)，我們要有“通法意識(shí)”和“通法思想”.有了這種思想，對(duì)于解決一道題有2個(gè)或3個(gè)小題的所謂大題，在思路上會(huì)感到輕車熟路.下面以三角形中的角平分線為例加以闡述.例1. 如圖1，在ABC中，ABC和 ACB的平分線相交于點(diǎn)O，A=70.（1）求BOC的度數(shù)；（2）若A=，其余條件不變，求BOC的度數(shù).分析：（1）由A=70可知，ABC與ACB的和為110，因?yàn)锽O和CO是角平分線，可得OBC與OCB的和為55，利用三

2、角形內(nèi)角和可得BOC的度數(shù)為125.（2）A度數(shù)為，無法計(jì)算出ABC與ACB的和，但可以用表示兩角之和. 再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，用表示BOC.這時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)小題，其實(shí)可以合并解決.當(dāng)我們用表示出BOC時(shí)，直接代入的度數(shù)，可得第1小題結(jié)果.用表示出BOC，這就是通法.解：BO平分ABC，OBC=ABC. 同理，OCB=ACB. OBC+OCB=ABC+ACB=（ABC+ACB）. BOC=180-（OBC+OCB）=180-（ABC+ACB）. ABC+ACB=180-A=180-,BOC=180-(180-)=90+.當(dāng)A=70時(shí)，BOC=90+=125.啟迪：好的方法需要發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)好的方法

3、需要思考，靜心思考，巧思妙算.例2. 如圖2，ABC的外角平分線BP、CP相交于點(diǎn)P，A=.（1）請(qǐng)用表示BPC的度數(shù)；（2）當(dāng)A=70時(shí)，求BPC的度數(shù).分析：和例1相反，這道題是先讓我們探索通法，用表示BPC，然后再代入A的度數(shù)得到第（2）小題結(jié)果.可先用表示ABC與ACB的和，再表示出兩外角DBC與ECB的和.根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到PBC與PCB的和.利用三角形內(nèi)角和，可得BPC的表達(dá)式.解：BP平分DBC，PBC=DBC. 同理，PCB=ECB. PBC+PCB=DBC+ECB=（DBC+ECB）.ABC+ACB=180-A=180-,DBC+ECB=360-（ABC+ACB）=36

4、0-（180-）=180+.PBC+PCB=（180+）.BPC=180-（PBC+PCB）=180-（180+）=90-.當(dāng)A=70時(shí)，BPC=90-=55.啟迪：兩個(gè)例題對(duì)比你會(huì)發(fā)現(xiàn)，BPC與BOC互補(bǔ).你知道原因嗎？不妨思考一下，可能會(huì)有更多的發(fā)現(xiàn)！例3. 如圖3，BO平分ABP，CO平分ACP，BAC=69, BPC=151.（1）求BOC的度數(shù).（2）若BAC=, BPC=，求BOC.（用，表示）. 分析：如圖4，連接BC，想辦法表示出OBC與OCB的和，利用三角形內(nèi)角和可得BOC. 先用、表示BOC，通法求出BOC的表達(dá)式，再代入兩個(gè)角度可得第（1）小題.解：如圖4，連接BC.BO

5、平分ABP，PBO=ABP. 同理，PCO=ACP. PBO+PCO=ABP+ACP=（ABP+ACP）.ABC+ACB=180-A=180-,PBC+PCB=180-BPC=180-,ABP+ACP=（ABC+ACB）-（PBC+PCB）=（180-）-（180-）=-.PBO+PCO=（ABP+ACP）=（-）.OBC+OCB=（PBO+PCO）+（PBC+PCB）=（-）+（180-） =180-（+）.BOC=180-（OBC+OCB）=180-180-（+）= （+）.當(dāng)BAC=69, BPC=151時(shí)，BOC=（69+151）=110.啟迪：看似復(fù)雜，其實(shí)就是角之間的和與差，只要思路清晰，通法可解很多看似很難的題.平時(shí)解題中，我們不僅要會(huì)解題，更要學(xué)會(huì)深入解題，養(yǎng)成深入思考的習(xí)慣，探尋解題之道，把通法應(yīng)用自如，你定成解題高手。經(jīng)典訓(xùn)練：1.如圖，在ABC中，C=90，A與B的平分線相交于O點(diǎn)，求AOB的度數(shù).2.（2012呼和浩特）如圖，在ABC中，B=47，三角形的外角DAC和ACF的平分線交于點(diǎn)E，