線性代數(shù)課件：5-3 實對稱矩陣的對角化_第1頁
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5.3 實對稱矩陣的對角化性質(zhì)1實對稱矩陣的特征值為實數(shù).一、實對稱矩陣的性質(zhì)說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指實對稱矩陣性質(zhì)1的意義性質(zhì)2證明于是證明它們的重數(shù)依次為根據(jù)性質(zhì)1（對稱矩陣的特征值為實數(shù)）和性質(zhì)2可得：設(shè) 的互不相等的特征值為由性質(zhì)3知對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，這樣的特征向量共可得 個.故這 個單位特征向量兩兩正交.以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣 ，則根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為：二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法將特征向量正交化(如果有重根的話);3.將特征向量單位化.4.2.1.解例1 對下列各實對稱矩陣，分別求出正交矩陣 ，使 為對角陣.(1)第一步 求 的特征值解之得基礎(chǔ)解系 解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系第三步 將特征向量正交化第四步 將特征向量單位化于是得正交陣1.對稱矩陣的性質(zhì)：三、小結(jié) (1)特征值為實數(shù)； (2)屬于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重數(shù)和與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)相等； (4)必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣，且對角矩陣對角元素即為特征值2.利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟： (1)求特征值；(2

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