1、人教2019A版 選擇性必修 第三冊(cè) 第七章 隨機(jī)變量及其分布 7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差 學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)實(shí)例,理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念和意義.2.會(huì)求離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差.3.會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差解決一些實(shí)際問(wèn)題.問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 隨機(jī)變量的均值是一個(gè)重要的數(shù)字特征，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢(shì)” .因?yàn)殡S機(jī)變量的取值圍繞其均值波動(dòng)，而隨機(jī)變量的均值無(wú)法反映波動(dòng)幅度的大小，所以我們還需要尋找反映隨機(jī)變量取值波動(dòng)大小的數(shù)字特征.探究1：從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級(jí)參加射擊比賽。根據(jù)以往的成績(jī)記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X

2、和Y的分布列如下表1和表2所示：如何評(píng)價(jià)這兩名同學(xué)的射擊水平？問(wèn)題探究E(X)= 8 ;E(Y)=8 因?yàn)閮蓚€(gè)均值相等，所以均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平。X678910P0.090.240.320.280.07X678910P0.070.220.380.30.03表1表2射擊水平除了要考慮擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度，圖一和圖二分別是X和Y的概率分布圖：發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)的射擊成績(jī)更集中于8環(huán)，即乙同學(xué)的設(shè)計(jì)成績(jī)更穩(wěn)定。探究2：怎樣定量到留離散型隨機(jī)變量取值的離散程度? 我們知道,樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度,它是通過(guò)計(jì)算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”

3、來(lái)實(shí)現(xiàn)的,一個(gè)自然的想法是,隨機(jī)變量的離散程度能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來(lái)度量呢?問(wèn)題探究問(wèn)題1.某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？X1234P問(wèn)題探究問(wèn)題2.某人射擊10次,所得環(huán)數(shù)分別是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；則這組數(shù)據(jù)的方差是多少？加權(quán)平均反映這組數(shù)據(jù)相對(duì)于平均值的集中程度的量問(wèn)題探究一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布列為：則稱(chēng)Xx1x2xixnPp1p2pipn離散型隨機(jī)變量取值的方差概念解析 隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量的取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度，

4、方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散。因此，問(wèn)題1中兩名同學(xué)射擊成績(jī)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)刻畫(huà)它們成績(jī)的穩(wěn)定性。兩名同學(xué)射擊成績(jī)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:因?yàn)镈(Y)E(Y),所以投資股票A的期望收益較大。（2)股票A和股票B投資收益的方差分別為 D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29, D(Y)=02x0.3+12x0.4+22x0.3-12=0.6.因?yàn)镋(X)和E(Y)相差不大，且D(X)D(Y),所以資股票A比投資股票B的風(fēng)險(xiǎn)高。利用均值和方差的意義解決實(shí)際問(wèn)題的步驟1.比較均值.離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)

5、變量取值的平均水平,因此,在實(shí)際決策問(wèn)題中,需先計(jì)算均值,看一下誰(shuí)的平均水平高.2.在均值相等或接近的情況下計(jì)算方差.方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度.通過(guò)計(jì)算方差,分析一下誰(shuí)的水平發(fā)揮相對(duì)穩(wěn)定.3.下結(jié)論.依據(jù)均值和方差做出結(jié)論.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練1給出下列四個(gè)命題：離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)反映了X取值的平均值；離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平；離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值偏離于均值的平均程度則正確命題應(yīng)該是()ABC DD當(dāng)堂達(dá)標(biāo)2把下面X的分布列填寫(xiě)完整：并完成問(wèn)題其中p

6、(0,1)，則E(X)_，D(X)_.X01PP解析：而由已知分布列的性質(zhì)有px1，x=1-p E(X)0(1-p)1pp，D(X)(0p)2(1-p)(1p)2pp(1-p).答案：1-p； p； p(1-p)3.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,a=,b=.4.甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境,且野生動(dòng)物的種類(lèi)和數(shù)量也大致相等,而兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別如下,甲保護(hù)區(qū):乙保護(hù)區(qū):試評(píng)定這兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平.X0123P0.30.30.20.2Y012P0.10.50.4跟蹤訓(xùn)練解:甲保護(hù)區(qū)違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差為E(X)=00.3+10.3+20.2+30.2=1.3,D(X)=(0-1.3)20.3+(1-1.3)20.3+(2-1.3)20.2+(3-1.3)20.2=1.21.乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差為E(Y)=00.1+10.5+20.4=1.3,D(Y)=(0-1.3)20.1+(1-1.3)20.5+(2-1.3)20.4=0.41.因?yàn)镋