1、PAGE - 53 -第二章 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第二章 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱從本章開始將討論三種熱量傳遞方式的基本規(guī)律。分析傳熱問題基本上是遵循經(jīng)典力學(xué)的研究方法，即針對(duì)物理現(xiàn)象建立物理模型，而后從基本定律導(dǎo)出其數(shù)學(xué)描述(常以微分方程的形式表達(dá)，故稱數(shù)學(xué)模型)，接下來進(jìn)行分析求解的理論分析方法。采用這種理論方法，我們就能夠達(dá)到預(yù)測(cè)傳熱系統(tǒng)的溫度分布和計(jì)算傳遞的熱流量的目的。熱傳導(dǎo)問題是傳熱學(xué)中最易于采用上述方法處理的熱傳遞方式。因此，在這一章中我們能夠針對(duì)熱傳導(dǎo)系統(tǒng)利用能量守恒定律和傅立葉定律建立起相應(yīng)的導(dǎo)熱微分方程，然后以簡(jiǎn)單的導(dǎo)熱問題為例確立其微分方程和初、邊值條件，從而分析求解其溫度分布和熱流量，以達(dá)到掌握分

2、析簡(jiǎn)單傳熱問題的方法。2-1 基本概念1溫度場(chǎng)溫度場(chǎng)是指某一瞬間，空間(或物體內(nèi))所有各點(diǎn)溫度分布的總稱。求解導(dǎo)熱問題的關(guān)鍵之一是得到所討論對(duì)象的溫度場(chǎng)，由溫度場(chǎng)進(jìn)而可以得到某一點(diǎn)的溫度梯度和導(dǎo)熱量。溫度場(chǎng)是個(gè)數(shù)量場(chǎng)，可以用一個(gè)數(shù)量函數(shù)來表示。一般說，溫度場(chǎng)是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，在直角坐標(biāo)系中，溫度場(chǎng)可表示為：(2-1)依照溫度分布是否隨時(shí)間而變，可將溫度場(chǎng)分為穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)和非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)。穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)指穩(wěn)態(tài)情況下的溫度場(chǎng)，這時(shí)物體中各點(diǎn)溫度不隨時(shí)間改變，溫度分布只與空間坐標(biāo)有關(guān)：穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)中的導(dǎo)熱稱為穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，其溫度對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)為零。非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)是指變動(dòng)工作條件下的溫度場(chǎng)，這時(shí)物體中各點(diǎn)溫度分

3、布隨時(shí)間改變。非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)中的導(dǎo)熱稱為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，其溫度對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)不為零。顯然，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的計(jì)算比穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的計(jì)算更加復(fù)雜。圖2-1溫度梯度與熱流矢量、等溫線(實(shí)線)與熱流線(虛線)xx依照溫度在空間三個(gè)坐標(biāo)方向的變化情況，又可將溫度場(chǎng)分為一維溫度場(chǎng)、二維溫度場(chǎng)和三維溫度場(chǎng)。同一瞬間溫度場(chǎng)中溫度相同的點(diǎn)連成的線或面稱為等溫線或等溫面。在三維情況下可以畫出物體中的等溫面，而等溫面上的任何一條線都是等溫線。在二維情況下等溫面則變?yōu)榈葴厍€。選擇一系列不同且特定的溫度值，就可以得到一系列不同的等溫線或等溫面，它們可以用來表示物體的溫度場(chǎng)圖。由于同一時(shí)刻物體中任一點(diǎn)不可能具有兩個(gè)溫度值，因此不同的等

4、溫線或等溫面不可能相交。等溫線要么形成一個(gè)封閉的曲線，要么終止在物體表面上。物體中等溫線較密集的地方說明溫度的變化率較大，導(dǎo)熱熱流密度也較大。溫度的變化率沿不同的方向一般是不同的，如圖2-1所示。溫度沿某一方向x的變化率在數(shù)學(xué)上可以用該方向上溫度對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)來表示，即(2-2)在各個(gè)不同方向的溫度變化率中，有一個(gè)方向的變化率是最大的，這個(gè)方向是等溫線或等溫面的法線方向。在數(shù)學(xué)上用矢量梯度來表示這個(gè)方向的變化率：(2-3)式中g(shù)radt 表示溫度梯度；為等溫面法線方向的溫度變化率；n 為等溫面法線方向的單位矢量, 指向溫度增加的方向。溫度梯度是矢量, 其方向?yàn)檠氐葴孛娴姆ň€指向溫度增加的方向,

5、 如圖2-1所示。在直角坐標(biāo)系中，溫度梯度可表示為：(2-4)其中，分別為溫度對(duì)x, y, z 方向的偏導(dǎo)數(shù)；i, j, k 分別為x, y, z方向的單位矢量。若引入哈米爾頓(Hamilton)算子：(2-5)則：(2-6)2 傅里葉定律由第一章可知，當(dāng)物體內(nèi)部存在溫度梯度時(shí)，能量就會(huì)通過熱傳導(dǎo)從溫度高的區(qū)域傳遞到溫度低的區(qū)域。熱流密度定義為單位時(shí)間通過單位面積的熱流量，用q來表示，單位為W/m2。經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，熱流密度和垂直傳熱截面方向的溫度變化率成正比。熱流密度也是矢量，其方向指向溫度降低的方向，因而和溫度梯度的方向相反。傅里葉定律的一般形式為：(2-7)式(2-5)又稱導(dǎo)熱基本定律，或傅里

6、葉定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它可進(jìn)一步表示為：(2-8)這樣熱流密度在x, y, z 方向的投影的大小分別為：(2-9)由于熱流密度方向與等溫線的法線方向總是處在同一條直線上，故熱流線和等溫線是相互正交的。應(yīng)該指出，如上形式的傅里葉定律只適用于各向同性材料，這時(shí)，不同方向上的導(dǎo)熱系數(shù)是相同的。而對(duì)各向異性材料，導(dǎo)熱系數(shù)隨選定的方向不同而不同。各向異性材料中的傅里葉定律可參考文獻(xiàn)1。3導(dǎo)熱系數(shù)導(dǎo)熱系數(shù)（即熱導(dǎo)率）是出現(xiàn)在傅里葉定律中的比例常數(shù)，它表示物質(zhì)導(dǎo)熱能力的大小，是重要的熱物性參數(shù)。由式(2-7)，導(dǎo)熱系數(shù)的定義式為：(2-10)圖2-2 大平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱由此可知, 導(dǎo)熱系數(shù)在數(shù)值上等于溫度梯度的

7、絕對(duì)值為1 K/m 時(shí)的熱流密度值，單位為W/(mK)。由x方向的傅里葉定律可以得出：絕大多數(shù)材料的導(dǎo)熱系數(shù)都是根據(jù)上式通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得的。如根據(jù)一維穩(wěn)態(tài)平壁導(dǎo)熱模型，可以采用平板法測(cè)量物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)。對(duì)于圖2-2所示的大平板的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，流過平板的熱流量與平板兩側(cè)溫度和平板厚度之間的關(guān)系為：若通過實(shí)驗(yàn)測(cè)出了流過平板的熱流量、平板兩側(cè)溫度和平板厚度，則材料的導(dǎo)熱系數(shù)就可以按下式計(jì)算為：(2-11)導(dǎo)熱系數(shù)的測(cè)量，除了穩(wěn)態(tài)方法外，也可以采用非穩(wěn)態(tài)法測(cè)量2。從微觀角度看，氣體導(dǎo)熱、固體導(dǎo)熱和液體導(dǎo)熱在機(jī)理上是不同的。按照熱力學(xué)的觀點(diǎn)，溫度是物體微觀粒子平均動(dòng)能大小的標(biāo)志，溫度愈高，微觀粒子的平均動(dòng)能

8、愈大。當(dāng)物體內(nèi)部或相互接觸的物體表面之間存在溫差時(shí)，高溫處的微觀粒子就會(huì)通過運(yùn)動(dòng)（位移、振動(dòng)）或碰撞將熱量傳向低溫處。例如氣體中分子、原子的不規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)或碰撞；金屬中自由電子的運(yùn)動(dòng)；非金屬中晶格的振動(dòng)等等。所以，氣體導(dǎo)熱是分子不規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)時(shí)相互碰撞的結(jié)果。固體導(dǎo)熱可分為導(dǎo)電固體和非導(dǎo)電固體兩種情況。對(duì)導(dǎo)電固體，自由電子在晶格之間像氣體分子那樣運(yùn)動(dòng)而傳遞能量。對(duì)于非導(dǎo)電固體，能量的傳遞依賴于晶格結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，即原子、分子在平衡位置附近的振動(dòng)。液體的導(dǎo)熱機(jī)理在定性上類似于氣體，但比氣體的情況要復(fù)雜得多，這時(shí)分子的距離更近，分子力場(chǎng)對(duì)碰撞引起的能量傳遞有強(qiáng)烈的影響。也有的觀點(diǎn)認(rèn)為液體導(dǎo)熱的機(jī)理類似于非

9、導(dǎo)電固體。本書只討論熱量傳遞的宏觀規(guī)律，而不討論導(dǎo)熱的微觀機(jī)理。導(dǎo)熱系數(shù)是物質(zhì)的固有特性之一。影響導(dǎo)熱系數(shù)因素主要有物質(zhì)的種類，物質(zhì)所處的溫度和壓力，與材料的幾何形狀沒有關(guān)系。在般工程應(yīng)用的壓力范圍內(nèi)，也可以認(rèn)為導(dǎo)熱系數(shù)與壓力無關(guān)。一些材料的導(dǎo)熱系數(shù)可查閱文獻(xiàn)3，4，工程上常用材料在特定溫度下的熱導(dǎo)系數(shù)見書后附錄。特殊材料或者特殊條件下的熱導(dǎo)系數(shù), 可查閱有關(guān)手冊(cè)。一般說來，金屬材料的導(dǎo)熱系數(shù)比非金屬的導(dǎo)熱系數(shù)要大得多。導(dǎo)電性能好的金屬, 其導(dǎo)熱性能也好，如銀是最好的導(dǎo)電體, 也是最好的導(dǎo)熱體。純金屬的導(dǎo)熱系數(shù)大于其合金的導(dǎo)熱系數(shù)。這主要是由于合金中的雜質(zhì)(或其它金屬)破壞了晶格的結(jié)構(gòu), 并且

10、阻礙自由電子的運(yùn)動(dòng)；例如，純銅在20溫度下的導(dǎo)熱系數(shù)為398 W/(mK), 而銅合金黃銅的導(dǎo)熱系數(shù)只有109 W/(mK)。對(duì)于同一種物質(zhì)的三態(tài), 固態(tài)的導(dǎo)熱系數(shù)值最大, 氣態(tài)的導(dǎo)熱系數(shù)值最小，例如同樣是在溫度為0條件下, 冰的導(dǎo)熱系數(shù)為2.22 W/(mK), 水的導(dǎo)熱系數(shù)為0.551 W/(mK), 而水蒸氣的導(dǎo)熱系數(shù)為0.0183 W/(mK)。所以，氣體的導(dǎo)熱系數(shù)一般都很小。導(dǎo)熱系數(shù)最大的氣體是氫氣，常用來作為冷卻介質(zhì)。圖2-3 一些材料的導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度的變化圖2-3所示是一些物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度的變化情況。大多數(shù)材料的導(dǎo)熱系數(shù)對(duì)溫度的依變關(guān)系可近似采用線性關(guān)系計(jì)算：式中0為材料在0

11、下的導(dǎo)熱系數(shù)；b為由實(shí)驗(yàn)確定的溫度常數(shù)，單位為1/，其數(shù)值與物質(zhì)的種類有關(guān)。若討論的問題溫差不是很大，可取所考慮溫度范圍內(nèi)導(dǎo)熱系數(shù)的平均值，并作為常數(shù)計(jì)算。導(dǎo)熱系數(shù)小于某一界定值的材料稱為保溫材料或絕熱材料或隔熱材料。國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB4272-925中規(guī)定，將平均溫度不高于350時(shí)導(dǎo)熱系數(shù)小于0.12 W/(mK)的材料定為保溫材料。像膨脹塑料、膨脹珍珠巖、礦渣棉等都是很好的保溫材料。常溫下空氣的導(dǎo)熱系數(shù)為0.0257W/(mK)，也是很好的保溫材料。保溫材料的界定值的大小反映了一個(gè)國(guó)家保溫材料的生產(chǎn)及節(jié)能的水平。20世紀(jì)50年代我國(guó)沿用前蘇聯(lián)標(biāo)準(zhǔn)，界定值為0.23W/(mK)；到20世紀(jì)80年代

12、，GB4272-84設(shè)備及管道保溫準(zhǔn)則規(guī)定為0.14W/(mK)。4導(dǎo)熱微分方程由前面的分析可知，若知道了溫度梯度，就可以由傅里葉定律求出熱流密度。故獲得溫度場(chǎng)是求解導(dǎo)熱問題的關(guān)鍵。導(dǎo)熱微分方程是用數(shù)學(xué)方法描述導(dǎo)熱溫度場(chǎng)的一般性規(guī)律的方程，很多問題都可以通過求解微分方程而得到有效的解決。將熱力學(xué)基本定律能量守恒定律和導(dǎo)熱基本定律傅里葉定律應(yīng)用于微元控制體，可建立導(dǎo)熱微分方程。為了使分析簡(jiǎn)化, 可作下列假設(shè)：（1）所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)；（2）物體內(nèi)部具有內(nèi)熱源，內(nèi)熱源強(qiáng)度（即單位時(shí)間、單位體積的生成熱）記作，單位為W/m3。參考圖2-4所示的微元平行六面體，能量守恒可以表示為：(2-

13、12)其中din 為導(dǎo)入微元體的總熱流量；dQ 為微元體內(nèi)熱源的生成熱；dout 為導(dǎo)出微元體的總熱流量；dU為微元體熱力學(xué)能(即內(nèi)能)的增量。導(dǎo)入微元體的熱量為：(2-13)導(dǎo)出微元體的熱量：(2-14)由傅里葉定律，導(dǎo)入微元體的熱流量可表示為：(2-15)在所研究的范圍內(nèi)，熱流密度函數(shù)q是連續(xù)的，所以可以展開成泰勒級(jí)數(shù)的形式：(2-16)其中dx為無窮小量, 所以可以近似地取級(jí)數(shù)的前兩項(xiàng), 即：(2-17)由此可得：這樣導(dǎo)出微元體的熱流量可表示為：(2-18)微元體熱力學(xué)能的增量可表示為：(2-19)式中 表示時(shí)間； 和c分別為微元體的密度和比熱容。微元體內(nèi)熱源的生成熱為：(2-20)將以

14、上各式代入式(2-13)可得能量平衡為： (2-21)這是導(dǎo)熱微分方程的一般形式。等號(hào)左邊是單位時(shí)間內(nèi)微元體熱力學(xué)能的增量，通常稱為非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)；右邊的前三項(xiàng)是擴(kuò)散項(xiàng)，是由導(dǎo)熱引起，最后一項(xiàng)是源項(xiàng)。在下列情況下導(dǎo)熱微分方程可以得到簡(jiǎn)化：導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，這時(shí)式(2-22)為：(2-22)式中稱為熱擴(kuò)散率，又叫導(dǎo)溫系數(shù)。從熱擴(kuò)散率a的定義可知，較大的a值可由較大的 值或較小的c值得到。 越大，單位溫度梯度導(dǎo)入的熱量就越多。而c是單位體積的物體升高1所需的熱量。若c的值小，意味著溫度升高1所需的熱量越小，可以剩下更多的熱量向內(nèi)部傳遞。由此可知，a越大，溫度變化傳播越迅速。式(2-22)也可寫成：(2-2

15、3)式中, 2是拉普拉斯算子, 在直角坐標(biāo)系中無內(nèi)熱源，導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，這時(shí)式(2-22)為：(2-24)這是常物性、無內(nèi)熱源的三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱徽分方程。常物性、穩(wěn)態(tài)、式(2-22)變?yōu)椋?2-25)在數(shù)學(xué)上，式(2-25)稱為泊桑（Poisson）方程。這是常物性、穩(wěn)態(tài)且有內(nèi)熱源的三維導(dǎo)熱微分方程。常物性、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源：式(2-25)變?yōu)椋?2-26)上式又叫拉普拉斯（Laplace）方程。園柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系當(dāng)所研究的對(duì)象是圓柱狀(圓柱、圓筒壁等)物體時(shí),采用圓柱坐標(biāo)系( r，z)比較方便, 如圖2-5所示。采用和直角坐標(biāo)系相同的方法, 分析圓柱坐標(biāo)系中微元體在導(dǎo)熱過程中的熱平衡, 可推導(dǎo)

16、出圓柱坐標(biāo)系中的導(dǎo)熱微分方程，結(jié)果如下：(2-27)當(dāng)為常數(shù)時(shí), 上式可簡(jiǎn)化為：圖2-6 球坐標(biāo)系圖2-5 圓柱坐標(biāo)系(2-28)當(dāng)所研究的對(duì)象是球狀物體時(shí),采用圖2-6所示的球坐標(biāo)系( r，)比較方便，球坐標(biāo)系中的導(dǎo)熱微分方程為：當(dāng)為常數(shù)時(shí), 上式可簡(jiǎn)化為：(2-29)5定解條件上面導(dǎo)出的導(dǎo)熱微分方程是描寫物體的溫度隨空間坐標(biāo)及時(shí)間變化的一般性關(guān)系式，它是在一定的假設(shè)條件下根據(jù)微元體在導(dǎo)熱過程中的能量守恒和傅里葉定律建立起來的，在推導(dǎo)過程中沒有涉及導(dǎo)熱過程的具體特點(diǎn), 所以它適用于無窮多個(gè)的導(dǎo)熱過程, 有無窮多個(gè)解。要完整地描寫某個(gè)具體的導(dǎo)熱過程，除了導(dǎo)熱微分方程之外, 還必須說明導(dǎo)熱過程的

17、具體特點(diǎn), 即給出導(dǎo)熱微分方程的單值性條件或定解條件，使導(dǎo)熱微分方程具有唯一解。如必須給出所討論對(duì)象的幾何形狀和尺寸，物性參數(shù)等條件。更重要的是，定解條件必須給出時(shí)間條件和邊界條件。導(dǎo)熱微分方程與定解條件一起構(gòu)成了具體導(dǎo)熱過程的數(shù)學(xué)描述。時(shí)間條件用來說明導(dǎo)熱過程進(jìn)行的時(shí)間上的特點(diǎn), 例如是穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱還是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。對(duì)于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程，必須給出過程開始時(shí)物體內(nèi)部的溫度分布規(guī)律，稱為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的初始條件，一般形式為：T = 0 = f ( x, y, z)(2-30)如果過程開始時(shí)物體內(nèi)部的溫度分布均勻, 則初始條件簡(jiǎn)化為t = 0 = t0 = 常數(shù)邊界條件用來說明導(dǎo)熱物體邊界上的熱狀態(tài)以及與

18、周圍環(huán)境之間的相互作用, 例如,邊界上的溫度、熱流密度分布以及物體通過邊界與周圍環(huán)境之間的熱量傳遞情況等。邊界條件可分為下面三類：（1）第一類邊界條件：給出物體邊界上的溫度分布及其隨時(shí)間的變化規(guī)律，一般形式為：(2-31)如果在整個(gè)導(dǎo)熱過程中物體邊界上的溫度為定值, 則上式簡(jiǎn)化為 c（2）第二類邊界條件：第二類邊界條件給出物體邊界上的熱流密度分布及其隨時(shí)間的變化規(guī)律，一般形式為：(2-32)由傅里葉定律上式可變?yōu)椋核缘诙愡吔鐥l件給出了邊界面法線方向的溫度變化率, 但邊界溫度tw未知。若物體邊界處表面絕熱, 則成為特殊的第二類邊界條件：qw = 0（3）第三類邊界條件：給出了邊界上物體表面與

19、周圍流體間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h及流體的溫度tf。根據(jù)邊界面的熱平衡，由物體內(nèi)部導(dǎo)向邊界面的熱流密度應(yīng)該等于從邊界面?zhèn)鹘o周圍流體的熱流密度，于是由傅里葉定律和牛頓冷卻公式可得第三類邊界條件的一般形式為：(2-33)該式建立了物體內(nèi)部溫度在邊界處的變化率與邊界處表面對(duì)流傳熱之間的關(guān)系, 所以第三類邊界條件也稱為對(duì)流邊界條件。從第三類邊界條件表達(dá)式可以看出, 在一定的情況下, 第三類邊界條件將轉(zhuǎn)化為第一類邊界條件或第二類邊界條件：當(dāng)h非常大時(shí)，邊界溫度近似等于已知的流體溫度，tw tf , 這時(shí)第三類邊界條件轉(zhuǎn)化為第一類邊界條件；當(dāng)h非常小時(shí)，h 0，qw = 0，這相當(dāng)于第二類邊界條件。上述三類邊界條

20、件都是線性的, 所以也稱為線性邊界條件。如果導(dǎo)熱物體的邊界處除了對(duì)流換熱還存在與周圍環(huán)境之間的輻射換熱, 則由物體邊界面的熱平衡可得出這時(shí)的邊界條件為(2-34)式中的qr 為物體邊界表面與周圍環(huán)境之間的凈輻射換熱熱流密度，qr與物體邊界面和周圍環(huán)境溫度的四次方有關(guān)，此外，還與物體邊界面與周圍環(huán)境的輻射特性有關(guān)，所以上式是溫度的復(fù)雜函數(shù)。這種對(duì)流換熱與輻射換熱疊加的復(fù)合換熱邊界條件是非線性的邊界條件。本書主要討論具有線性邊界條件的導(dǎo)熱問題。綜上所述，對(duì)一個(gè)具體導(dǎo)熱過程完整的數(shù)學(xué)描述，應(yīng)該包括導(dǎo)熱微分方程和定解條件兩個(gè)方面。在建立數(shù)學(xué)模型的過程中，應(yīng)該根據(jù)導(dǎo)熱過程的特點(diǎn)，進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化，力求能夠

21、比較真實(shí)地描述所研究的導(dǎo)熱問題。對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解, 就可以得到物體的溫度場(chǎng), 進(jìn)而根據(jù)傅里葉定律就可以確定相應(yīng)的熱流分布。導(dǎo)熱問題的求解方法有很多種, 目前應(yīng)用最廣泛的方法有三種：分析解法、數(shù)值解法和實(shí)驗(yàn)方法，這也是求解所有傳熱學(xué)問題的三種基本方法。本章主要介紹導(dǎo)熱問題的分析解法。2-2 一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱圖2-7 平壁導(dǎo)熱分析1通過平壁的導(dǎo)熱現(xiàn)在討論第一類邊界條件下通過大平壁的導(dǎo)熱問題。當(dāng)平壁的邊長(zhǎng)比厚度大很多時(shí)，平壁的導(dǎo)熱可以近似地作為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱處理。已知平壁的壁厚為，平壁的兩個(gè)表面溫度分別維持均勻而恒定的溫度t1和t2，無內(nèi)熱源。我們來求解平壁的溫度分布和通過平壁的熱流密度。假設(shè)導(dǎo)熱系數(shù)為

22、常數(shù)，則問題的數(shù)學(xué)描述為：微分方程：邊界條件：對(duì)微分方程積分兩次可得：由邊界條件可得：這樣平壁的溫度分布為：(2-35)由此可知，平壁中的溫度分布是線性的，溫度梯度為常數(shù)，表明熱流密度不隨x變化。由傅里葉定律：可以很容易由溫度分布求得通過平壁的熱流密度：(2-36)或：(2-37)設(shè)垂直于熱流方向上平壁的截面積為A，則通過平壁的總熱流量為：(2-38)若由上式得到的熱流密度為正值，則表明熱流密度指向x方向。式中，只要任意知道三個(gè)就可以求出第四個(gè)。由此可設(shè)計(jì)穩(wěn)態(tài)法測(cè)量導(dǎo)熱系數(shù)的實(shí)驗(yàn)。在穩(wěn)態(tài)情況下采用平壁法測(cè)量導(dǎo)熱系數(shù)時(shí)，對(duì)于已知截面積A和厚度 的平壁，需要使平壁兩側(cè)維持一恒定溫差，測(cè)量這一溫差t

23、和通過平壁的熱流量，由式(2-38)可得出材料的導(dǎo)熱系數(shù)為：(2-39)如第一章所述，式(2-38)可以寫成熱阻的形式：式中R是導(dǎo)熱熱阻：對(duì)單位面積的面積熱阻為：在日常生活與工程上, 經(jīng)常遇到由幾層不同材料組成的多層平壁, 例如, 房屋的墻壁,一般由白灰內(nèi)層、水泥沙漿層和紅磚(或青磚)主體層構(gòu)成, 高級(jí)的樓房還有一層水泥沙礫或瓷磚修飾層；再如鍋爐的爐墻, 一般由耐火磚砌成的內(nèi)層、用于隔熱的夾氣層或保溫層以及普通磚砌的外墻構(gòu)成, 大型鍋爐還外包一層鋼板。當(dāng)這種多層平壁的表面溫度均勻不變時(shí)，其導(dǎo)熱也是一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。有了熱阻概念，就可以很方便地計(jì)算多層平壁的導(dǎo)熱，每一層可當(dāng)作一個(gè)熱阻，若忽略接觸熱阻

24、，則導(dǎo)熱的總熱阻由各個(gè)熱阻串聯(lián)而成。參看圖2-8，由三層不同材料組成的復(fù)合平壁，各層的厚度分別為1、2和3，導(dǎo)熱系數(shù)分別為1、2和3；若復(fù)合平壁兩側(cè)維持恒定的溫度t1和t4，通過各層的熱流密度均為q，則每層的面積熱阻為：圖2-8 多層平壁導(dǎo)熱(2-40)總熱阻為：熱流密度為：(2-41)對(duì)于n層平壁：(2-42)若知道了熱流密度，各層界面上的未知溫度可由式(2-40)依次求出。如第一層界面2的溫度為：上面的討論假定導(dǎo)熱系數(shù)是常數(shù)。若導(dǎo)熱系數(shù)是溫度的線性函數(shù)，即時(shí)，仍可認(rèn)為導(dǎo)熱系數(shù)是常數(shù)，只要將用平均溫度下的值代替即可。如對(duì)單層平壁，由傅里葉定律：分離變量并積分得：將代入上式經(jīng)整理得到：和式(2

25、-36)對(duì)比，上式可寫成：(2-43)其中為：它正好是t1和t2平均溫度下的導(dǎo)熱系數(shù)值。上面在分析多層平壁的導(dǎo)熱時(shí)，都假設(shè)層與層之間接觸非常緊密，相互接觸的表面具有相同的溫度。實(shí)際上，無論固體表面看上去多么光滑，都不是一個(gè)理想的平整表面，總存在一定的粗糙度。實(shí)際的兩個(gè)固體表面之間不可能完全接觸，只能是局部的、甚至存在點(diǎn)接觸，如圖2-9所示。只有在界面上那些真正接觸的點(diǎn)上，溫度才是相等的。當(dāng)未接觸的空隙中充滿空氣或其它氣體時(shí)，由于氣體的熱導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于固體,就會(huì)對(duì)兩個(gè)固體間的導(dǎo)熱過程產(chǎn)生附加熱阻Rc，稱之為接觸熱阻。由于接觸熱阻的存在，使導(dǎo)熱過程中兩個(gè)接觸表面之間出現(xiàn)溫差tc。根據(jù)熱阻的定義， 圖

26、2-9 接觸熱阻可知，熱流量愈大，接觸熱阻產(chǎn)生的溫差就愈大。對(duì)于高熱流密度場(chǎng)合，接觸熱阻的影響不容忽視，例如大功率可控硅元件，熱流密度高于106 W/m2，元件與散熱器之間的接觸熱阻產(chǎn)生較大的溫差，影響可控硅元件的散熱，必須設(shè)法減小接觸熱阻。接觸熱阻的主要影響因素有： (1) 相互接觸的物體表面的粗糙度：粗糙度愈高，接觸熱阻愈大； (2) 相互接觸的物體表面的硬度：在其它條件相同的情況下，兩個(gè)都比較堅(jiān)硬的表面之間接觸面積較小，因此接觸熱阻較大，而兩個(gè)硬度較小或者一個(gè)硬一個(gè)軟的表面之間接觸面積較大，因此接觸熱阻較??； (3) 相互接觸的物體表面之間的壓力：顯然，加大壓力會(huì)使兩個(gè)物體直接接觸的面積

27、加大、中間空隙變小，接觸熱阻也就隨之減小。在工程上，為了減小接觸熱阻，除了盡可能拋光接觸表面、加大接觸壓力之外，有時(shí)在接觸表面之間加一層熱導(dǎo)率數(shù)大、硬度又很小的純銅箔或銀箔，或者在接觸面上涂一層導(dǎo)熱油（亦稱導(dǎo)熱姆，一種熱導(dǎo)率較大的有機(jī)混合物），在一定的壓力下，可將接觸空隙中的氣體排擠掉，顯著減小導(dǎo)熱熱阻。由于接觸熱阻的影響因素非常復(fù)雜，至今仍無統(tǒng)一的規(guī)律可循，只能通過實(shí)驗(yàn)加以確定。詳細(xì)的資料請(qǐng)參閱文獻(xiàn)6。例題2-1 一鍋爐爐墻采用密度為300 kg/m3的水泥珍珠巖制作，壁厚=100 mm，已知內(nèi)壁溫度t1=500 ，外壁溫度t2=50 ，求爐墻單位面積、單位時(shí)間的熱損失。解 材料的平均溫度為

28、：由附錄4查得：于是 若是多層平壁，t2、t3的溫度未知，可先假定它們的溫度，以計(jì)算出平均溫度并查出值，再計(jì)算熱流密度及t2、t3的值，若計(jì)算值與假設(shè)值相差較大，需要用計(jì)算結(jié)果修正假設(shè)值，逐步逼近，這就是迭代法。例題2-2 一雙層玻璃窗，高2m，寬1m，玻璃厚3mm，玻璃的導(dǎo)熱系數(shù)為 W/(mK)，雙層玻璃間的空氣夾層厚度為5mm，夾層中的空氣完全靜止，空氣的導(dǎo)熱系數(shù)為 W/(mK)。如果測(cè)得冬季室內(nèi)外玻璃表面溫度分別為15和5，試求玻璃窗的散熱損失，并比較玻璃與空氣夾層的導(dǎo)熱熱阻。解 這是一個(gè)三層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。根據(jù)式(2-41)散熱損失為： = 94.3 W可見，單層玻璃的導(dǎo)熱熱阻為0

29、.003 K/W，而空氣夾層的導(dǎo)熱熱阻為0.1 K/W，是玻璃的33.3倍。如果采用單層玻璃窗，則散熱損失為 3333.3 W是雙層玻璃窗散熱損失的35倍，可見采用雙層玻璃窗可以大大減少散熱損失，節(jié)約能源。2通過圓筒壁的導(dǎo)熱現(xiàn)在討論第一類邊界條件下通過圓筒壁的導(dǎo)熱問題。當(dāng)圓筒的長(zhǎng)度比半徑大很多時(shí)，圓筒壁的導(dǎo)熱也可以近似地作為沿半徑方向一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱處理。參看圖2-10，已知圓筒壁的長(zhǎng)度為l，內(nèi)外徑分別為r1和r2，兩個(gè)壁面溫度分別維持均勻而恒定的溫度t1和t2，無內(nèi)熱源。我們來求解圓筒壁的溫度分布和通過圓筒壁的熱流密度。采用圓柱坐標(biāo)系，假設(shè)導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，由式(2-27)，穩(wěn)態(tài)、常物性、無內(nèi)熱源

30、時(shí)圓柱坐標(biāo)系下的導(dǎo)熱微分方程為：圖2-10 圓筒壁導(dǎo)熱分析邊界條件為：對(duì)微分方程積分兩次可得：代入邊界條件后得：故圓筒壁溫度分布為：(2-44)可見圓筒壁的溫度分布不是直線，而是對(duì)數(shù)曲線，斜率為：由傅里葉定律得到流過圓筒壁的熱流密度為：(2-45)由于不同半徑處圓筒有不同的截面積，從而通過圓筒壁的熱流密度在不同半徑處也不相同，熱流密度q與半徑r成反比。當(dāng)然，流過整個(gè)圓筒壁的總熱流量 ( = 2rlq)與半徑無關(guān)：(2-46)按照熱阻的定義可知圓筒壁的導(dǎo)熱熱阻為：(2-47)對(duì)于n層圓筒壁導(dǎo)熱，由熱阻串聯(lián)關(guān)系，可得到流過圓筒壁的總熱流量為：(2-48)圖2-11 球壁導(dǎo)熱分析3通過球壁的導(dǎo)熱現(xiàn)在

31、來討論第一類邊界條件下通過球壁的導(dǎo)熱問題。如圖2-11所示，一空心單層球壁，內(nèi)外半徑分別為r1和r2，球壁材料的熱導(dǎo)率為常數(shù)，無內(nèi)熱源，球壁內(nèi)外側(cè)壁面分別維持均勻恒定的溫度t1和t2，則溫度只沿徑向發(fā)生變化。采用球坐標(biāo)系，由球坐標(biāo)系下的一般導(dǎo)熱微分方程(2-29)，可寫出該球壁的導(dǎo)熱微分方程為：邊界條件為：; ：積分兩次，并代入邊界條件得到球壁內(nèi)的溫度分布為：(2-49)由傅里葉定律得到通過球壁的熱流密度為：(2-50)可見，和圓筒壁導(dǎo)熱不同，這里熱流密度和半徑的平方成反比。通過球壁的總熱流量 ( = 4r2q) 仍然和半徑無關(guān)：(2-51)球壁的熱阻表達(dá)式為：(2-52)例2-3 溫度為12

32、0的空氣從導(dǎo)熱系數(shù)為1 = 18 W/(mK)的不銹鋼管內(nèi)流過，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h1 = 65 W/(m2K)，管內(nèi)徑為d1 = 25 mm，厚度為4 mm。管子外表面處于溫度為15的環(huán)境中，外表面自然對(duì)流的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h2 = 6.5 W/(m2K)。 (1)求每米長(zhǎng)管道的熱損失； (2)為了將熱損失降低80%，在管道外壁覆蓋導(dǎo)熱系數(shù)為0.04 W/(mK)的保溫材料，求保溫層厚度；(3)若要將熱損失降低90%，求保溫層厚度。解 這是一個(gè)含有圓管導(dǎo)熱的傳熱過程，光管時(shí)的總熱阻為：(1)每米長(zhǎng)管道的熱損失為：(2)設(shè)覆蓋保溫材料后的半徑為r3，由所給條件和熱阻的概念有：由以上超越方程解得r3

33、= 0.123 m，故保溫層厚度為123 16.5 = 106.5 mm。(3)若要將熱損失降低90%，按上面方法可得r3 = 1.07 m。這時(shí)所需的保溫層厚度為1.07 0.0165 = 1.05 m。由此可見，熱損失將低到一定程度后，若要再提高保溫效果，將會(huì)使保溫層厚度大大增加。例題2-4 熱電廠中有一直徑為0.2m的過熱蒸汽管道，鋼管壁厚為0.8mm ,鋼材的導(dǎo)熱系數(shù)為1 = 45 W/(mK)，管外包有厚度為m的保溫層，保溫材料的導(dǎo)熱系數(shù)為1 = 0.1 W/(mK)，管內(nèi)壁面溫度為tw1 = 300，保溫層外壁面溫度為tw3 = 50。試求單位管長(zhǎng)的散熱損失。解 這是一個(gè)通過二層圓

34、筒壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。根據(jù)式(2-48)， W/m從以上計(jì)算過程可以看出，鋼管壁的導(dǎo)熱熱阻與保溫層的導(dǎo)熱熱阻相比非常小，可以忽略。圖2-12 變傳熱面積的導(dǎo)熱問題4變截面或變導(dǎo)熱系數(shù)問題在前面導(dǎo)熱問題的分析中，都是先由微分方程求溫度分布，再由傅里葉定律求得熱流密度。實(shí)際上很多情況下，不求解微分方程，而對(duì)傅里葉定律直接積分也可以得到相同的結(jié)果。這一方法對(duì)穩(wěn)態(tài)一維變物性、變傳熱面積的導(dǎo)熱問題非常有效。穩(wěn)態(tài)一維問題的一個(gè)重要特點(diǎn)是熱流量與坐標(biāo)變量x無關(guān)，積分時(shí)可以當(dāng)常數(shù)處理?，F(xiàn)在考慮圖2-12所示的穩(wěn)態(tài)一維變物性、變傳熱面積的導(dǎo)熱問題。一變截面物體兩端分別維持恒定的溫度t1和t2，側(cè)面絕熱，橫截面積沿

35、x方向是不斷變化的。由傅里葉定律：分離變量可得： 或而上式中是所考慮溫度區(qū)間導(dǎo)熱系數(shù)的平均值。故最終得通過這一變截面物體的熱流量為：(2-53)當(dāng)不是溫度的線性函數(shù)時(shí)，要計(jì)算積分才能得到的平均值。當(dāng)是t的線性函數(shù)時(shí)，可用平均溫度下的值作為平均值。若時(shí)：圖2-13 具有內(nèi)熱源的平壁導(dǎo)熱5內(nèi)熱源問題1)具有內(nèi)熱源的平壁前面討論的都是無內(nèi)熱源的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。在工程應(yīng)用中，也經(jīng)常遇到有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱問題，如電流通過導(dǎo)體時(shí)的發(fā)熱、化工過程中的放熱和吸熱反應(yīng)、反應(yīng)堆中燃料元件的核反應(yīng)熱等等。在有內(nèi)熱源時(shí)，即使是一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，熱流量沿傳熱方向也是不斷變化的，微分方程中必須考慮內(nèi)熱源項(xiàng)。考慮一具有均勻內(nèi)熱源

36、的大平壁，厚度為2 ，平壁的兩側(cè)均為第三類邊界條件，周圍流體的溫度為tf，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h。由于對(duì)稱性，這里考慮平壁的一半，如圖2-13所示。問題的數(shù)學(xué)描述為：微分方程：考慮邊界條件時(shí)，x = 0處可認(rèn)為是對(duì)稱條件，這樣兩個(gè)邊界條件為： ; 對(duì)微分方程積分得：將x = 0的邊界條件代入上式可得c1 = 0。再將c1 = 0代入上式，并再次積分得：最后將x = 的邊界條件代入上式可得求出c2，得出具有均勻內(nèi)熱源的平壁內(nèi)溫度分布為：(2-54)由傅里葉定律得任一位置處的熱流密度為： (2-55)由結(jié)果可知，具有均勻內(nèi)熱源的平壁溫度分布為拋物線，而不是線性的。同時(shí)，熱流密度不再是常數(shù)，而是與x成正比

37、。上面我們分析的是第三類邊界條件下的結(jié)果，當(dāng)時(shí)，這時(shí)第三類邊界條件變?yōu)榈谝活愡吔鐥l件。在式(2-54)中令和可得第一類邊界條件時(shí)的溫度分布為：(2-56)2) 具有內(nèi)熱源的圓柱現(xiàn)在考慮一具有均勻內(nèi)熱源的長(zhǎng)圓柱，半徑為R，表面溫度為tw，我們來導(dǎo)出圓柱體內(nèi)部的溫度分布。采用圓柱坐標(biāo)，問題的數(shù)學(xué)描述為：微分方程：邊界條件為中心對(duì)稱條件和表面第一類邊界條件：(2-57)(2-58)將微分方程變成便于求解的形式：對(duì)上式積分一次可得：由邊界條件（2-57）可得C1 = 0。這樣上式變?yōu)椋涸俅畏e分得：由邊界條件（2-58）可解得：故最終得溫度為拋物線分布：(2-59)圓柱體中心具有最高溫度tc：(2-60

38、)3) 具有內(nèi)熱源的圓筒對(duì)具有均勻內(nèi)熱源的長(zhǎng)圓筒，若其內(nèi)徑為r1，內(nèi)表面溫度為t1，外徑為r2，外表面溫度為t2，則微分方程同上，邊界條件為：(2-61)(2-62)微分方程的通解為：代入邊界條件后得溫度分布為：(2-63)其中常數(shù)C1為：例題2-4一直徑為3 mm、長(zhǎng)度為1 m 的不銹鋼導(dǎo)線通有200 A的電流。不銹鋼的導(dǎo)熱系數(shù)為 = 19 W/(mK)，電阻率為 = 710-7 m。導(dǎo)線周圍與溫度為110的流體進(jìn)行對(duì)流換熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為4000 W/(m2K)。求導(dǎo)線中心的溫度。解 這里所給的是第三類邊界條件，而前面的分析解是第一類邊界條件，因此需要先確定導(dǎo)線表面的溫度。由熱平衡，導(dǎo)線發(fā)

39、出的所有熱量都必須通過對(duì)流傳熱散出，有：電阻R的計(jì)算如下：故熱平衡為：(200)2(0.099) = 4000 (3 10-3) (tw 110) = 3960 W由此解得： tw = 215 單位體積的生成熱由下式計(jì)算：這樣由式(2-60)得導(dǎo)線中心的溫度為：6肋片導(dǎo)熱如第一章所述，傳熱工程包含串聯(lián)著的三個(gè)環(huán)節(jié)。在這樣三個(gè)環(huán)節(jié)中，經(jīng)常遇到其中一個(gè)對(duì)流環(huán)節(jié)熱阻較大，強(qiáng)化這個(gè)環(huán)節(jié)的傳熱，降低其熱阻，對(duì)增加整個(gè)傳熱過程的傳熱量非常重要。由牛頓冷卻公式可知，增加換熱面積是強(qiáng)化對(duì)流換熱的有效方法之一，工程上經(jīng)常采用肋片（又叫翅片）來強(qiáng)化換熱。肋片是依附于基礎(chǔ)表面上的擴(kuò)展表面。肋片能夠強(qiáng)化傳熱有兩個(gè)原因

40、，一是擴(kuò)展表面增加了傳熱面積，二是擴(kuò)展表面的存在破壞了對(duì)流邊界層，增加了流體的擾動(dòng)，使傳熱效果增強(qiáng)。(a)針肋 (b)直肋 (c)環(huán)肋 (d)大套片圖2-13肋片的典型結(jié)構(gòu)肋片有很多不同的形狀，圖2-13示出了幾種典型的肋片結(jié)構(gòu)。肋片可由管子整體軋制或纏繞、嵌套金屬薄片并經(jīng)加工制成，加工的方法有焊接、浸鍍或脹管等。肋片導(dǎo)熱和平壁及圓筒壁的導(dǎo)熱有很大的區(qū)別，其基本特征是在肋片伸展的方向上有表面的對(duì)流換熱及輻射換熱，因而熱流量沿傳遞方向不斷變化。另外，肋片表面的所傳遞的熱量都來自（或進(jìn)入）肋片根部，即肋片與基礎(chǔ)表面的相交面。我們分析肋片導(dǎo)熱的目的是要得到肋片的溫度分布和通過肋片的熱流量。1) 通過

41、等截面直肋的導(dǎo)熱從圖2-13b中取出一個(gè)矩形肋片，肋的高度為H、厚度為 、寬度為l，與高度方向垂直的橫截面積為Ac, 橫截面的周長(zhǎng)為P。參見圖2-15，設(shè)肋根的溫度t0已知，周圍流體溫度為t，肋片與環(huán)境之間有對(duì)流和輻射換熱，復(fù)合表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h。為了簡(jiǎn)化分析，進(jìn)行如下合理假定：（1）肋片在寬度l方向很長(zhǎng)，可不考慮溫度沿該方向的變化。當(dāng)考慮單位寬度肋片時(shí)l = 1；（2）材料的導(dǎo)熱系數(shù)及表面復(fù)合傳熱系數(shù)h為常數(shù)；圖2-14 肋片導(dǎo)熱分析（3）肋片的導(dǎo)熱熱阻 /與肋片表面的對(duì)流換熱熱阻1/h相比很小，可以忽略。一般肋片都用金屬材料制造，導(dǎo)熱系數(shù)很大，肋片很薄，基本上都能滿足這一條件。在這種情況下肋

42、片的溫度只沿高度方向發(fā)生變化, 肋片的導(dǎo)熱可以近似地認(rèn)為是一維的，溫度僅沿x方向變化。求解肋片導(dǎo)熱問題有兩種方法，一種是將肋片表面和環(huán)境間的換熱等效于肋片的內(nèi)熱源或熱沉，按有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱問題來求解7。這里采用另一種方法，應(yīng)用傅里葉定律對(duì)微元體直接列出能量平衡?？紤]圖2-14(b)所示的微元，由能量守恒：(2-64)其中x是導(dǎo)入微元的熱量，x+dx是導(dǎo)入微元的熱量，s是微元和環(huán)境間的換熱。由傅里葉定律和牛頓冷卻公式，上式各項(xiàng)分別為：式中Ac為截面積。微元和環(huán)境間的換熱為：其中P肋片截面周長(zhǎng)。將上面各項(xiàng)代入式(2-64)得：(2-65)令，為過余溫度，則式(2-65)變?yōu)椋?2-66)這是一個(gè)二階

43、線性齊次常微分方程，通解為：x = 0處的邊界條件為：(2-67)另一邊界條件取決于肋片端部x = H處的條件，有如下三種可能：（1）肋片高度H很大，肋片端部溫度趨近周圍流體溫度：（2）肋片為有限高度，端部參與和周圍流體換熱；（3）肋片端部絕熱：第一種情況下的特解很簡(jiǎn)單，積分常數(shù)為：c1 = 0, c2 = 0肋片的溫度分布為：(2-68)第二種情況下的特解相對(duì)復(fù)雜，求解過程可參閱文獻(xiàn)8-10，最后的結(jié)果為：(2-69)其中雙曲函數(shù)的定義為：相比之下，第三情況假定肋片端部絕熱的結(jié)果最實(shí)用，得出的結(jié)果相對(duì)簡(jiǎn)單。由于肋片端部面積較小，這一假定所帶來的誤差不大。先由邊界條件確定積分常數(shù)：解得：故溫度

44、分布為：(2-70)此溫度分布曲線見圖2-14(c)。當(dāng)時(shí)：現(xiàn)在來計(jì)算肋片表面的傳熱量，從肋片的結(jié)構(gòu)可知，由肋片表面散入外界的全部熱量都必須通過x = 0處的肋根截面。(2-71)為了表征肋片散熱的有效程度，經(jīng)常要用到肋效率的概念。肋效率f定義如下：對(duì)于等截面直肋，其肋效率為：圖2-15 矩形及三角形直肋的效率曲線故肋效率與（mH）有關(guān)，即與肋片的幾何參數(shù)，材料的導(dǎo)熱系數(shù)及表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)有關(guān)。由于肋片寬度l比厚度大得多，可取單位長(zhǎng)考慮(l = 1)，這時(shí)：其中是肋片縱剖面積。這樣肋效率f既可表示為mH的函數(shù)，也可表示為2h/(AL)1/2H3/2的函數(shù)。圖2-15表示了矩形及三角形直肋的效率曲線

45、。由圖2-15可知，mH愈大，肋片效率愈低。對(duì)于矩形肋，由mH的表達(dá)式可知影響矩形肋片效率的主要因素有：肋片材料的熱導(dǎo)率：熱導(dǎo)率愈大，肋片效率愈高；肋片高度H：肋片愈高，肋片效率愈低，故肋片不宜太高；肋片厚度：肋片愈厚，肋片效率愈高；表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h：h愈大，即對(duì)流換熱愈強(qiáng)，肋片效率愈低。一般總是在表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)較低的一側(cè)加裝肋片。在上面的分析中假設(shè)肋端面的散熱量為零，這對(duì)于工程中采用的大多數(shù)薄而高的肋片來說，用上述公式進(jìn)行計(jì)算已足夠精確。如果必須考慮肋端面的散熱，也可以采用近似修正方法11，將肋端面面積折算到側(cè)面上去，這時(shí)可用假想肋高代替實(shí)際肋高H。2) 通過環(huán)肋及三角形截面直肋的導(dǎo)熱對(duì)環(huán)肋和三

46、角形肋片，理論分析表明，肋效率f也是mH的函數(shù)，通常將f與mH或2h/(AL)1/2H3/2的關(guān)系繪制成圖表。三角形直肋的效率曲線見圖2-15，環(huán)肋的效率曲線見圖2-16。圖2-16 環(huán)形剖面肋片的效率曲線例題2-5 如圖2-17所示，一厚度為10mm，導(dǎo)熱系數(shù)為50W/(mK)的不銹鋼板兩端維持固定溫度50C，已知鋼板兩端之間的距離為20cm，在垂直紙面方向很長(zhǎng)。鋼板上表面絕熱，下表面和20C的空氣對(duì)流進(jìn)行對(duì)流換熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為32W/(m2K)，試導(dǎo)出此鋼板的中心的溫度。圖2-17鋼板導(dǎo)熱問題解 由于對(duì)稱性，此問題等效為原厚度兩倍，長(zhǎng)度一半的肋片問題，溫度分布為：鋼板中心處：C故鋼板中心

47、溫度為：t = 22.39 + 20 = 42.39 C 圖2-18 套管溫度計(jì)示意圖例題2-6 為了測(cè)量管道內(nèi)的熱空氣溫度和保護(hù)熱電偶測(cè)溫元件，采用金屬測(cè)溫套管，熱電偶端點(diǎn)鑲嵌在套管的端部，如圖2-18所示。套管長(zhǎng)mm，外徑mm，壁厚mm，套管材料的導(dǎo)熱系數(shù)W/(mK)。已知熱電偶的指示溫度為200，套管根部的溫度t0=50，套管外表面與空氣之間對(duì)流換熱的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為 W/(m2K)。試分析產(chǎn)生測(cè)溫誤差的原因并求出測(cè)溫誤差。解 由于熱電偶是鑲嵌在套管的端部，所以熱電偶指示的是測(cè)溫套管端部的溫度tH。測(cè)溫套管與周圍環(huán)境的的熱量交換情況如下：熱量以對(duì)流換熱的方式由熱空氣傳給測(cè)溫套管，測(cè)溫套管再

48、通過熱輻射和導(dǎo)熱將熱量傳給空氣管道壁面。有關(guān)套管和周圍環(huán)境之間的輻射換熱引起的測(cè)溫誤差將在第七章進(jìn)行討論，這里只考慮套管的導(dǎo)熱。在穩(wěn)態(tài)情況下，測(cè)溫套管熱平衡的結(jié)果使測(cè)溫套管端部的溫度不等于空氣的溫度，測(cè)溫誤差就是套管端部的過余溫度。如果忽略測(cè)溫套管橫截面上的溫度變化，并認(rèn)為套管端部絕熱，則套管可以看成是等截面直肋，故有：或： (a)套管截面面積，套管換熱周長(zhǎng)，根據(jù) m的定義 查數(shù)學(xué)手冊(cè)或直接由定義式計(jì)算可求得cosh(2.98) = 9.87，最后可解得于是測(cè)溫誤差為 由式(a)可以看出，測(cè)溫誤差取決于表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)、套管的長(zhǎng)度、厚度以及套管材料的導(dǎo)熱系數(shù)。由于cosh(x)是增函數(shù)，mH越大，

49、則測(cè)溫誤差越小。因此，要減小測(cè)溫誤差，可減小套管的壁厚和導(dǎo)熱系數(shù)，或增加套管長(zhǎng)度或增加氣體與套管的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)。*2-3 多維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱前面一節(jié)我們分析了簡(jiǎn)單的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，對(duì)于多維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，分析解法要困難得多，只有對(duì)少數(shù)幾何形狀、邊界條件簡(jiǎn)單情況，才能獲得分析解，得出溫度分布和熱流密度等。對(duì)于多維導(dǎo)熱問題，有三種可能的求解方法，即分析解法、數(shù)值解法和形狀因子法。當(dāng)無法得出分析解時(shí)，可采用數(shù)值解法，借助計(jì)算機(jī)求得問題的解。第三種方法是形狀因子法。本節(jié)我們先簡(jiǎn)單介紹二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的分析解，然后介紹求解多維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的形狀因子法。對(duì)于多維問題更多的討論可參閱文獻(xiàn)12, 13圖2-19 二維穩(wěn)

50、態(tài)導(dǎo)熱分析1二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解考慮一矩形物體的導(dǎo)熱，若物體在垂直紙面方向很長(zhǎng)，則可認(rèn)為是二維問題，如圖2-19所示。矩形的長(zhǎng)和寬分別為a和b，若物體的導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，無內(nèi)熱源，三個(gè)邊界上的溫度均為t1，而第四個(gè)邊界為復(fù)雜的溫度分布，如正弦分布，則可以得到問題的分析解。問題的數(shù)學(xué)描述為：微分方程邊界條件; ; tm可為任一不同于t1的函數(shù)。為方便求解，定義過余溫度為 = t t1，則微分方程和邊界條件變?yōu)椋?2-72)(2-73)(2-74)(2-75)(2-76)可用分離變量法來求解此問題，設(shè)問題的解有如下形式：(2-77)代入微分方程可得：由于上式左邊只與x有關(guān)，而右邊只與y有關(guān)，故左右兩

51、邊應(yīng)恒等于同一常數(shù)l，分析可知，只有l(wèi) 0才能滿足第四個(gè)邊界條件。令l = 2，這樣可得兩個(gè)常微分方程：微分方程的特解為：代入式(2-70)得：由邊界條件式(2-66)至(2-68)得：又由sin(a) = 0得：n = n/a,n = 1, 2, , 對(duì)每一個(gè)，都可以得到一個(gè)特解：通解是所有這些特解之和，這樣通解便為無窮級(jí)數(shù)：(2-78)其中cn是對(duì)應(yīng)n的常數(shù)項(xiàng)，由邊界條件式(2-76)確定。由傅里葉級(jí)數(shù)展開可得：,cn = 0,n = 2, 3, , 圖2-20 二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱分析最終得二維溫度分布為：(2-79)值得一提的是，若第四個(gè)邊界的溫度不是正弦分布，而是另一常數(shù)t2，如圖（2-20

52、）所示，則按照上面類似的求解過程可得，最終解不是一項(xiàng)，而是一無窮級(jí)數(shù)：(2-80)2形狀因子法在2-2節(jié)中，我們得到了一些一維問題導(dǎo)熱量的計(jì)算式，如平壁導(dǎo)熱：圓筒壁導(dǎo)熱：球壁導(dǎo)熱：這些熱流量的計(jì)算式有個(gè)共同的特點(diǎn)，即兩個(gè)等溫面間導(dǎo)熱熱流量可以表示成：式中S只與物體的形狀及尺寸有關(guān)，稱為形狀因子，單位為m。如對(duì)平壁導(dǎo)熱：對(duì)于一般的一維情況，由2-2節(jié)式(2-53)可知，形狀因子為：(2-81)對(duì)二維或三維導(dǎo)熱問題，理論分析表明形狀因子仍然適用。形狀因子和熱阻是有聯(lián)系的，若已知導(dǎo)熱熱阻R，由于R = 1/(S)則形狀因子為：S = 1/(R)對(duì)許多常見的工程問題，已通過分析解或數(shù)值解得出了其形狀因

53、子，匯總成表。表2-1給出了幾種幾何條件下的形狀因子，更多的結(jié)果見文獻(xiàn)14。表2-1 幾種幾何條件下的形狀因子S (m)半無限大物體表面與水平埋管表面之間的導(dǎo)熱 管長(zhǎng)、時(shí)：管長(zhǎng)、時(shí)：半無限大物體表面與垂直埋管表面之間的導(dǎo)熱 管長(zhǎng)時(shí)：管道表面與偏心熱絕緣層表面之間的導(dǎo)熱 管長(zhǎng)時(shí)：無限大物體中兩圓管表面之間的導(dǎo)熱 管長(zhǎng)時(shí)： 思 考 題1. 寫出傅里葉導(dǎo)熱定律表達(dá)式的一般形式，說明其適用條件及式中各符號(hào)的物理意義。2. 請(qǐng)寫出直角坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)方向上的傅里葉定律表達(dá)式。3. 為什么導(dǎo)電性能好的金屬導(dǎo)熱性能也好？4. 對(duì)一個(gè)具體導(dǎo)熱問題的完整數(shù)學(xué)描述應(yīng)包括哪些方面？5. 何謂導(dǎo)熱問題的單值性條件？它包

54、含哪些內(nèi)容？6. 試說明在什么條件下平板和圓筒壁的導(dǎo)熱可以按一維導(dǎo)熱處理。7. 兩根不同直徑的蒸汽管道，外表面均敷設(shè)厚度相同、材料相同的絕熱層。若兩管子表面和絕熱層外表面的溫度相同，試問兩管每米管長(zhǎng)的熱損失是否相同?8. 若平壁和圓管壁的材料相同，厚度相同，溫度條件也相同且平壁的表面積等于圓管的內(nèi)表面積，試問哪種情況導(dǎo)熱量大?9. 試用傳熱學(xué)觀點(diǎn)說明為什么冰箱要定期除霜。10. 為什么有些物體要加裝肋片？加肋一定會(huì)使傳熱量增加嗎？11. 試說明影響肋片效率的主要因素。12. 什么是接觸熱阻？接觸熱阻的主要影響因素有哪些？習(xí) 題習(xí)題2-2 附圖2-1 一平面墻厚度為20 mm，導(dǎo)熱系數(shù)為1.3

55、W/(mK)，兩側(cè)面的溫度分別為1300和30。為了使墻的散熱不超過1830W/m2，計(jì)劃給墻加一保溫層，所使用材料的導(dǎo)熱系數(shù)為0.11 W/(mK)，求保溫層的厚度。2-2 在如圖所示的平板導(dǎo)熱系數(shù)測(cè)定裝置中，試件厚度遠(yuǎn)小于直徑d ； 由于安裝制造不好，試件與冷、熱表面之間存在著一厚度為 = 0.1 mm的空氣隙。設(shè)熱表面溫度t1 = 18，冷表面溫度t2 = 30，空氣隙的導(dǎo)熱系數(shù)可分別按t1、t2查取。試計(jì)算空氣隙的存在給導(dǎo)熱系數(shù)的測(cè)定帶來的誤差。通過空氣隙的輻射換熱可以忽略不計(jì) (實(shí)驗(yàn)時(shí)熱流量為 = 58.2 W, 試件直徑為d = 120 mm)。2-3 厚度為50 mm的銅板，一個(gè)

56、側(cè)面溫度為260，另一側(cè)覆蓋一層25 mm厚的纖維玻璃，導(dǎo)熱系數(shù)為0.05 W/(mK)，纖維玻璃的外側(cè)維持38的溫度。若流過復(fù)合層的熱流量為44 kW，求銅板的截面積。2-4 一烘箱的爐門由兩種保溫材料A和B做成，且A = 2B (見附圖)。已知A = 0.1 W/mK，B = 0.06 W/(mK)。烘箱內(nèi)空氣溫度tf1 = 400，內(nèi)壁面的總表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h1 = 50 W/(m2K)。為安全起見，希望烘箱爐門的外表面溫度不得高于50。設(shè)可把爐門導(dǎo)熱作為一維導(dǎo)熱問題處理，試決定所需保溫材料的厚度。環(huán)境溫度tf2 =25，外表面總表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h2 = 9.5 W/(m2K)。習(xí)題2-4 附圖

57、2-5 一復(fù)合壁面由20 mm厚的銅，30 mm厚石棉（導(dǎo)熱系數(shù)為0.166 W/(mK)）和60 mm厚的纖維玻璃（導(dǎo)熱系數(shù)為0.05 W/(mK)）組成，若復(fù)合材料兩側(cè)的總溫差為500，求流過它的熱流密度。2-6 一種材料，其導(dǎo)熱系數(shù)和溫度的關(guān)系可以表示為 = 0(1 + t2)。對(duì)以這種材料做成的大平壁，在第一類邊界條件下，推導(dǎo)出其溫度分布。2-7 厚度為4.0 mm，導(dǎo)熱系數(shù)為16 W/(mK)的不銹鋼板，兩側(cè)面覆蓋有相同的保溫層，保溫層兩外側(cè)分別和冷熱流體進(jìn)行對(duì)流換熱。若冷熱流體的溫差為60，系統(tǒng)的總熱阻為0.008 m2K/W，求不銹鋼兩側(cè)的溫差。2-8 一蒸汽管道，內(nèi)徑為50 m

58、m，厚度為5.0 mm，導(dǎo)熱系數(shù)為32 W/(mK)，已知管道的內(nèi)外壁溫度分別為64和42，求單位管長(zhǎng)的散熱損失。2-9 圓筒壁的外徑為l00 mm，壁厚l0 mm，內(nèi)、外壁的溫度分別為100 和60。測(cè)得通過管壁每米管長(zhǎng)的熱損失為50 W/m，試求此圓管材抖的導(dǎo)熱系數(shù)。2-10 一內(nèi)徑為80 mm，厚度為5.5 mm，導(dǎo)熱系數(shù)為45 W/mK的蒸汽管道，內(nèi)壁溫度為250，外壁覆蓋有兩層保溫層，內(nèi)保溫層厚45 mm，導(dǎo)熱系數(shù)為0.25 W/mK，外保溫層厚20 mm，導(dǎo)熱系數(shù)為0.12 W/(mK)。若最外側(cè)的壁面溫度為30，求單位管長(zhǎng)的散熱損失。2-11 蒸汽溫度為250，流過一內(nèi)徑為72

59、mm，厚度為5.5 mm，導(dǎo)熱系數(shù)為45 W/mK的管道，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為56W/(m2K)，管道外壁覆蓋有保溫層，厚度為35 mm，導(dǎo)熱系數(shù)為0.12 W/mK。若保溫層外側(cè)流體溫度為20，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為15 W/(m2K)，求單位管長(zhǎng)的散熱損失。2-12 蒸汽溫度為250，流過一內(nèi)徑為80 mm，厚度為5.5 mm，導(dǎo)熱系數(shù)為45 W/mK的管道，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為56W/(m2K)，管道外壁覆蓋有兩層保溫層，內(nèi)保溫層厚45 mm，導(dǎo)熱系數(shù)為0.25 W/(mK)，外保溫層厚20 mm，導(dǎo)熱系數(shù)為0.12 W/(mK)。若保溫層外側(cè)流體溫度為20，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為20 W/(m2K)，求單位管長(zhǎng)的散熱損失。2-13 一直徑為30 mm、壁溫為100的管子向溫度為20的環(huán)境散熱，熱損失率為100 W/m。為把熱損失減小到50 W/m，有兩種材料可以同時(shí)被利用。材料A的導(dǎo)熱系數(shù)為0.5 W/(mK)，可利用度為3.14 10-3m3/m；材料B的導(dǎo)熱系數(shù)為0.1 W/(mK)，可利用度為4.0 10-3 m3/m。試分析如何敷設(shè)這兩種材料才能達(dá)到上述要求。假設(shè)敷設(shè)這兩種材料后，外表面與環(huán)境間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)與原來一樣。2-14 一鋁制空心球，內(nèi)徑為40 mm，外徑為80 mm，內(nèi)外壁溫度分別為100和5