1、第三章 柯西定理 柯西積分第一節(jié) 復(fù)變積分的概念及其簡(jiǎn)單性質(zhì)第二節(jié) 柯西積分定理及其推廣第三節(jié) 柯西積分公式及其推廣 復(fù)變函數(shù)積分理論是復(fù)變函數(shù)的核心內(nèi)容，關(guān)于復(fù)變函數(shù)的許多結(jié)論都是通過(guò)積分來(lái)討論的，更重要的是我們要討論解析函數(shù)積分的性質(zhì)，并給出解析函數(shù)積分的基本定理與基本公式，這些性質(zhì)是解析函數(shù)理論的基礎(chǔ)，我們還將得到解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)這個(gè)重要的結(jié)論。1.1 定義 有向曲線 在討論復(fù)變函數(shù)積分時(shí)，將要用到有向曲線的概念，如果一條光滑或逐段光滑曲線規(guī)定了其起點(diǎn)和終點(diǎn)，則稱該曲線為有向曲線，曲線的方向是這樣規(guī)定的： (1) 如果曲線 是開(kāi)口弧段，若規(guī)定它的端點(diǎn) 為起點(diǎn)， 為終點(diǎn)，則沿曲

2、線 從 到 的方向?yàn)榍€ 的正方向（簡(jiǎn)稱正向），把正向曲線記為 . 而由 到 的方向稱為負(fù)方向（簡(jiǎn)稱負(fù)向）， 負(fù)向曲線記為 .一、復(fù)變函數(shù)積分的概念(2) 如果 是簡(jiǎn)單閉曲線，通?？傄?guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较?，順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)方向(3) 如果 是復(fù)平面上某一個(gè)復(fù)連通域的邊界曲線，則 的正方向這樣規(guī)定：當(dāng)人沿曲線 行走時(shí)，區(qū)域總保持在人的左側(cè)，因此外部邊界部分取逆時(shí)針?lè)较?，而?nèi)部邊界曲線取順時(shí)針為正方向1.2 定義 復(fù)變函數(shù)的積分 設(shè)函數(shù) 在給定的光滑或逐段光滑曲線 上有定義，且 是以 為起點(diǎn)， 為終點(diǎn)的一條有向曲線，如圖所示 把 曲線任意分成n個(gè)小弧段，設(shè)分點(diǎn)依次為 ,在某小弧段 上任意取一點(diǎn) ，并

3、作和 其中 ，記 的最大長(zhǎng)度為 則當(dāng)n無(wú)限增大，且 時(shí)，如果無(wú)論對(duì)C 的分法及 的取法如何， 都有惟一的極限存在，那么稱這個(gè)極限值為函數(shù)沿曲線C的積分，記作 ，即 我們稱之為復(fù)變函數(shù)的積分，簡(jiǎn)稱復(fù)變積分 由此可知，當(dāng) 且小弧段長(zhǎng)度的最大值 時(shí)，不論對(duì)C的分法如何，點(diǎn) 的取法如何，只要上式右端的兩個(gè)和式極限存在，那么左端的和式極限也存在，由于 連續(xù)，則 都是連續(xù)函數(shù)，根據(jù)曲線積分存在的充分條件，以及曲線積分的定義得到 即我們可以把復(fù)積分 的計(jì)算化為兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的曲線積分為便于記憶公式，可把 理解為 ，則 上式說(shuō)明了兩個(gè)問(wèn)題： (1) 當(dāng) 是連續(xù)函數(shù)，且C是光滑曲線時(shí)，積分 一定存在； (2)

4、 可以通過(guò)兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的線積分來(lái)計(jì)算. 1.3 閉合環(huán)路積分 當(dāng)C為封閉曲線時(shí)，那么沿C 的積分為 并稱為復(fù)變函數(shù) 的閉合環(huán)路積分（或圍線積分）。 若沿正方向積分， 若沿順時(shí)針?lè)较蚍e分呢？二、 復(fù)變積分的基本性質(zhì) (1)若 沿 可積，且 由 和 連接而成，則 (2) 常數(shù)因子 可以提到積分號(hào)外，即 (3) 函數(shù)和（差）的積分等于各函數(shù)積分的和（差），即 (4)若積分曲線的方向改變，則積分值改變符號(hào)，即 為 的負(fù)向曲線(5)積分的模不大于被積表達(dá)式模的積分，即這里 表示弧長(zhǎng)的微分，即 證： 因?yàn)?，其中 分別表示曲線 上弧段 對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)和弧長(zhǎng)，兩邊取極限就得到（6）積分估值定理 若沿曲線 ，

5、 連續(xù)，且 在 上滿足 ，則 其中 為曲線 的長(zhǎng)度證： 由于 在 上恒有 ，所以又 ，則 成立。三、 復(fù)變積分的計(jì)算典型實(shí)例 上面提供了一種復(fù)積分的計(jì)算方法，即把復(fù)積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)的曲線積分當(dāng)曲線積分的積分路徑C由參數(shù)方程給出時(shí)，復(fù)積分又可以轉(zhuǎn)化為單變量的定積分 例1 計(jì)算 ，其中C為從原點(diǎn)到點(diǎn)3+4i的直線段 解： 直線的方程可寫(xiě)成 或 于是 又因 由高等數(shù)學(xué)理論，其復(fù)積分的實(shí)部、虛部滿足實(shí)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，所以 的值不論 是怎樣的曲線都等于 ，這說(shuō)明有些函數(shù)的積分值與積分路徑無(wú)關(guān)復(fù)變積分的計(jì)算方法1. 歸為二元函數(shù)的第二型積分來(lái)計(jì)算，計(jì)算公式為2. 參數(shù)方程的表達(dá)形式C:

6、 z=z(t) (t:)3.2 柯西積分定理一、柯西積分定理 早在1825年柯西給出了如下定理，它是復(fù)變函數(shù)論中的一條基本定理，現(xiàn)稱為柯西積分定理（簡(jiǎn)稱柯西定理） 定理 柯西積分定理 如果函數(shù) 在單連通區(qū)域 內(nèi)及其邊界線L上解析（即為在單連通閉區(qū)域 解析），那么函數(shù) 沿邊界L或區(qū)域 內(nèi)任意閉曲線 的積分為零，即 或 證：由于對(duì)函數(shù) 在閉區(qū)域解析概念的理解，故函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即 在區(qū)域內(nèi)部及其邊界是存在的，而且可以證明也是連續(xù)的再有 由于函數(shù)在閉區(qū)域解析，故滿足C-R條件代入即得 如果我們?cè)谠撻]區(qū)域 內(nèi)任選某一單連通閉區(qū)域 ，其邊界為 由上述推導(dǎo)中 將 , 則同理可證明 故結(jié)論成立. 這個(gè)定理是柯西(

7、Cauchy)于1825年發(fā)表的，古莎(Goursat)于1900年提出了修改，故又稱為柯西古莎定理. 說(shuō)明：1 根據(jù)第二章，函數(shù)在單連通區(qū)域D內(nèi)及閉曲線L上解析，即為在閉區(qū)域 解析，我們應(yīng)該理解為函數(shù)在比邊界稍大一些的區(qū)域內(nèi)部也是解析的； 2 邊界正方向規(guī)定：當(dāng)沿邊界線環(huán)行時(shí)，其邊界線所包圍的解析區(qū)域始終在左邊，則前進(jìn)的方向?yàn)檫吔缇€的正方向據(jù)此規(guī)定，故有界單連通區(qū)域積分的邊界線沿逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较蚨鴮?duì)于有界復(fù)連通區(qū)域，外邊界取逆時(shí)針為邊界線的正方向，內(nèi)邊界取順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较颍ㄗ⒁猓簩?duì)于無(wú)界區(qū)域則相反，內(nèi)邊界取順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檫吔缇€的正方向）； 3 進(jìn)一步指出，經(jīng)修改后的柯西古莎積分定理成立的條

8、件可以弱化為在區(qū)域 內(nèi)解析，在邊界上連續(xù)以后使用中，當(dāng)滿足此條件時(shí)柯西積分定理仍然成立二、不定積分 定理 由前述定理 知道，解析函數(shù) 在單連通域 內(nèi)的積分只與起點(diǎn) 和終點(diǎn) 有關(guān)，假設(shè) 是區(qū)域 內(nèi)連接 和 的兩條簡(jiǎn)單曲線，則 和 分別稱為積分的上限和下限，當(dāng)下限 固定，而上限 在 內(nèi)變動(dòng)時(shí)，積分 可以看作是上限的函數(shù)，記為 對(duì) ，有以下的定理：定理 如果 在單連通域 內(nèi)處處解析，則 在D內(nèi)也解析，并且證： 令 則 因?yàn)?和 是與路徑無(wú)關(guān)的，因此 定理 任何兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù) 證： 若 均為 的原函數(shù)，則 利用原函數(shù)這個(gè)關(guān)系，我們可以得出： 定理 若函數(shù) 在單連通域內(nèi)處處解析，且 為 的一個(gè)原函數(shù)，那么 其中 , 為 中任意兩點(diǎn)上式稱為復(fù)積分的牛頓萊布尼茲公式。三、柯西積分定理推廣到復(fù)圍線的情況 不失一般性，取n1進(jìn)行證明。 （1） （2） 設(shè) L和 為復(fù)連通區(qū)域內(nèi)的兩條簡(jiǎn)單閉曲線， 如圖 所示， 在L內(nèi)部且彼此不相交，以 和L為邊界所圍成的閉區(qū)域 全含于D則對(duì)于區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù) 有 總結(jié)：?jiǎn)芜B通和復(fù)連通區(qū)域的柯西定理可以表述為： 1 在閉單連通區(qū)域中的解析函數(shù)，沿邊界線或區(qū)域內(nèi)任一閉合曲線的積分為零； 2 在閉復(fù)連通區(qū)域中的解析函數(shù)，