1、第十章 微分方程1微分方程 第十章 為尋求變量間的函數(shù)關(guān)系，得到含待求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，即為微分方程。一階微分方程可降階的高階微分方程二階常系數(shù)線性微分方程2引例1.一曲線通過點(diǎn)(1,2) ,在該曲線上任意點(diǎn)處的解: 設(shè)所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關(guān)系式:(C為任意常數(shù))由 得 C = 1,因此所求曲線方程為由 得切線斜率為 2x , 求該曲線的方程 . 一、引例第一節(jié) 微分方程的基本概念3引例2. 列車在平直路上以的速度行駛, 制動時(shí)獲得加速度求制動后列車的運(yùn)動規(guī)律.解: 設(shè)列車在制動后 t 秒行駛了s 米 ,由已知得對前一式兩次積分, 可得利用后兩式可得因此所求運(yùn)動規(guī)律

2、為即求 s = s (t) .41.微分方程：含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程 .二、微分方程的基本概念實(shí)質(zhì)：聯(lián)系自變量，未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的式子 .區(qū)別：與以往學(xué)習(xí)的代數(shù)方程的區(qū)別是：代數(shù)方程是含未知數(shù)的等式，微分方程是含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的等式 .常微分方程：所含未知函數(shù)是一元函數(shù).偏微分方程分類2.微分方程的階：方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程的階.高階(n階)微分方程的一般形式：5三、微分方程的主要問題-求方程的解 使方程成為恒等式的函數(shù).通解 解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同.特解1.微分方程的解 通解中的任意常數(shù)被確定后的解. 引例2引例1 通解:特解:6

3、確定通解中任意常數(shù)的條件.n 階方程的初始條件(或初值條件):2.定解條件 初值問題: 求微分方程滿足初始條件的解的問題.3.解的幾何意義 微分方程的解的圖形稱為微分方程的積分曲線. 通解的圖形是一族積分曲線(稱為微分方程的積分曲線族).而微分方程的某個(gè)特解的圖形是積分曲線族中某一條特定的積分曲線. 7例1. 驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的解,的特解 . 解: 這說明是方程的解 . 是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù),利用初始條件易得: 故所求特解為故它是方程的通解.并求滿足初始條件 8第二節(jié) 一階微分方程1.可分離變量的微分方程兩邊積分, 得 9(2)解法：為微分方程的解.這種解法叫分離變量法1.分離變量:2.兩邊

4、積分分離變量法步驟:1.分離變量;2.兩端積分-隱式通解.10例1. 求微分方程的通解.解: 分離變量得兩邊積分得即( C 為任意常數(shù) )或說明: 在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.( 此式含分離變量時(shí)丟失的解 y = 0 )11注意:例2. 解初值問題解: 分離變量得兩邊積分得即由初始條件得 C = 1,( C 為任意常數(shù) )故所求特解為12例3:解： 分離變量即( C 0 )兩邊積分得13例4解兩邊同時(shí)對 求導(dǎo)142.齊次微分方程(1)定義：形如的方程叫做齊次方程 .(2)解法:-變量代換法令代入原方程得：即則即求此可分離變量方程的解，并回代15例1 求解微分方程故微分方程的解為解原方程可變?yōu)椋杭磩t即16例1 求解微分方程微分方程的解為另解原方程可變?yōu)椋杭醇磩t即17例2. 解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說明: 顯然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(C 為任意常數(shù))求解過程中丟失了. 18例3求解微分方程解則于是即分離變量得積分得將代入上面式子得：注意：的方程可用將其化為可分離變量的方程.代換，形如19內(nèi)容小結(jié)1. 微分方程的概念微分方程;定解條件;2. 可分離變量方程的求解方法:解; 階;通解;特解分離變量法步驟:1.分離變量;2.兩端積分的微分方程解法：作變量代換3.齊次方程20作業(yè)：P