1、2021-2022學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1若，下列命題正確的是（）A若，則B，若，則C若，則D，若，則C【分析】利用特值法可判斷ABD，利用不等式的性質(zhì)可判斷C.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，故A錯(cuò)誤； 對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，故D錯(cuò)誤，故選：C.2直線l：的傾斜角為，則的值為（）ABCD3D【分析】由題知，然后利用兩角差的正切公式即得.【詳解】由題可知，所以.故選：D.3已知，則的值為（）A2BCDB【分析】首先根據(jù)正弦兩角和差公式得到，再利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系求解即可.【詳解】由題知：，解得，所以.故選：B4某四面體的三視

2、圖如圖所示（三個(gè)三角形都為等腰直角三角形），該四面體的外接球的表面積為（）ABCDA【分析】根據(jù)三視圖把幾何體還原到正方體中，體對(duì)角線即球的直徑，計(jì)算表面積即可.【詳解】在正方體內(nèi)將三視圖還原為直觀圖，如圖，棱錐為三視圖的直觀圖，四個(gè)頂點(diǎn)均為正方體的頂點(diǎn)，故棱錐的外接球?yàn)檎襟w的外接球，由三視圖知正方體的棱長(zhǎng)為1，則，即，所以.故選：A.5等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，已知且則使成立的最小正整數(shù)n的值為（）A4B5C8D9D【分析】利用等差數(shù)列求和公式結(jié)合條件可得，然后解不等式即得.【詳解】因?yàn)?，所以，又，由，可得，即，所以使成立的最小正整?shù)n的值為9.故選：D.6正方體中，P、Q分別為棱、

3、的中點(diǎn)，則異面直線與BD所成角的大小為（）A30B45C60D90C【分析】連接，可得，即為所求，然后利用正方體的性質(zhì)即得.【詳解】連接，P、Q分別為棱、的中點(diǎn)，故即為所求，由正方體的性質(zhì)可知為等邊三角形，所以，即異面直線與BD所成角的大小為.故選：C.7在正項(xiàng)等比數(shù)列中，則（）A5B10C50D10000A【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因此?故選：A.8過(guò)點(diǎn)，在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為（）AB或CD或B【分析】根據(jù)直線過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)兩種情況討論，分別設(shè)出所求直線的方程，結(jié)合過(guò)點(diǎn)，即可求解.【詳解】當(dāng)所求直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線的方程為

4、，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，代入可得，即；當(dāng)所求直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，代入可得，即，綜上可得，所求直線的方程為或.故選：B.9已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A若，則一定是等邊三角形B若，則一定是等腰三角形C若，則一定是等腰三角形D若，則一定是鈍角三角形B【分析】根據(jù)正余弦定理中，邊角互化即可求解.【詳解】對(duì)于A:由正弦定理以及得，因?yàn)?所以,故是等邊三角形，故A對(duì)，對(duì)B:由以及正弦定理得：,由于，因此,或者,即,或者，故為等腰三角形或者直角三角形，故B錯(cuò)誤，對(duì)C:由正弦定理得,由于在中，,因此可得,由于,故,故C正確，對(duì)于D:由得，故為鈍角，因此

5、D正確故選：B10若等比數(shù)列的前n項(xiàng)，前2n項(xiàng)，前3n項(xiàng)的和分別為A，B，C，則（）ABCDD【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，進(jìn)行整理可得答案【詳解】有題意可知：,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，所以，整理可得：進(jìn)而得故選：D11圓錐頂點(diǎn)為S，SA和SB是兩條互相垂直的母線，SA與底面所成的角大小為30，若，則該圓錐的體積為（）ABCDA【分析】由題可知，然后結(jié)合條件可得圓錐的高和底面半徑，再根據(jù)圓錐的體積公式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?所以，所以圓錐的高，底面半徑，所以該圓錐的體積為.故選：A.12若一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)成公差為2的等差數(shù)列，且最大角為120，則這個(gè)三角形的面積為（）A24BCDD

6、【分析】設(shè)三邊長(zhǎng)為x，x+2，x+4，利用余弦定理及面積公式即得【詳解】最大角為，且三邊長(zhǎng)成公差為2的等差數(shù)列，不妨設(shè)三邊長(zhǎng)為，則由余弦定理可得：解得或（舍去），三角形三邊長(zhǎng)為3,5,7，三角形的面積為故選：D二、填空題13若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則的最小值是_1【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出不等式組表示的可行域，再根據(jù)的幾何意義求解即可.【詳解】由題知：不等式組表示的可行域如圖所示：，因?yàn)?，所以，表示直線的軸截距的相反數(shù)，當(dāng)直線過(guò)時(shí)，取得最小值，.故14已知直線平面，直線平面，有下面四個(gè)；.其中正確命題序號(hào)是_ 【分析】由線面、面面位置關(guān)系，根據(jù)平面的基本性質(zhì)判斷線線、面面的位置關(guān)系即可.【詳解】

7、當(dāng)時(shí)，由有，而，故，對(duì)；當(dāng)時(shí)，由則或，故位置關(guān)系不能確定，錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，由有，而，故，對(duì)；當(dāng)時(shí)，平行、相交或均有可能，故不能確定成立，錯(cuò)故15直線被直線和所截得的線段中點(diǎn)恰為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線l的方程為_(kāi)【分析】設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，根據(jù)題意得到，求得的值，進(jìn)而求得直線的方程.【詳解】設(shè)直線與和，分別交于點(diǎn)和，因?yàn)樗氐玫木€段中點(diǎn)恰為坐標(biāo)原點(diǎn)，可得，解得，所以和，則，可得直線的方程為，即.故答案為.三、雙空題16小茗同學(xué)愛(ài)好氣象研究小茗用數(shù)列記錄其生活城市2022年5月份31天中每天是否下過(guò)雨，方法為：當(dāng)?shù)趉天下過(guò)雨時(shí)，記；當(dāng)?shù)趉天沒(méi)下過(guò)雨時(shí)，記（）他用數(shù)列記錄該地區(qū)該月每天氣象臺(tái)預(yù)報(bào)是否有雨，方法為

8、：當(dāng)預(yù)報(bào)第k天有雨時(shí)，記；當(dāng)預(yù)報(bào)第k天沒(méi)有雨時(shí)，記（）記錄完畢后，小茗計(jì)算出，若已知5月氣象臺(tái)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確27天，則m=_；若（），則氣象臺(tái)k天中預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的天數(shù)為_(kāi)（用n，k表示） 23 【分析】根據(jù)題意，已知天氣預(yù)報(bào)是否有雨的表達(dá)式，按照條件要求求解即可.【詳解】由題意知，當(dāng)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確時(shí)，當(dāng)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)不準(zhǔn)確時(shí)，有下面兩種情況第一種情況：第二種情況：，若全準(zhǔn)確，此時(shí)該式的值為31，則預(yù)報(bào)不準(zhǔn)確的天數(shù)為：（天），而預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的天數(shù)為：（天），已知5月氣象臺(tái)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確27天， ，解得；若（），假設(shè)氣象臺(tái)k天中預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的天數(shù)為天，即等式的左邊有個(gè)1，,個(gè)-1，則，解得，即氣象臺(tái)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的天數(shù)為.故23；

9、.四、解答題17已知直線過(guò)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)若與OM垂直，求直線的方程；(2)若O到的距離為2，求直線的方程(1)(2)或【分析】（1）由點(diǎn)，求得直線的斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解；（2）分直線斜率存在和斜率不存在，兩種情況，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】(1)解：因?yàn)辄c(diǎn)，可得，則直線的斜率，所以直線的方程為，即(2)解：當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，即，由，解得，直線l方程為；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，的方程為，原點(diǎn)到的距離為2，綜上可得，直線的方程為或18在中，角所對(duì)的邊分別為在，這三個(gè)條件中選擇一個(gè)做條件(1)求角的大小；(2)若，求面積的最大值（注：如果選擇多個(gè)條件分別

10、解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）(1)條件選擇見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）分別選擇條件，結(jié)合正弦定理和余弦定理，以及余弦的倍角公式，化簡(jiǎn)求得的值，進(jìn)而求得的大?。唬?）根據(jù)余弦定理和基本不等式，求得，結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.【詳解】(1)解：選條件：由，可得，整理得，又由余弦定理得，因?yàn)?，所以選條件：因?yàn)?，由正弦定理得，即，在中，因?yàn)?，可得因?yàn)椋赃x條件：由，可得，在中，因?yàn)?，所以因?yàn)椋?2)解：由，且，根據(jù)余弦定理，可得，又由，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，所以，所以面積取最大值19已知函數(shù).(1)求的最小正周期和最小值；(2)若，求的值(1)，最小值(2)【分析】（1）由二倍角公式以及輔助角

11、公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而可求最小值和周期，（2）由二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】(1)由題意得，的最小正周期為令,則（）時(shí)，有最小值(2)由得，所以，所以20數(shù)列是等差數(shù)列，其中(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)數(shù)列為遞增數(shù)列時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為（），求的前n項(xiàng)和(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出的值，然后代入、求出通項(xiàng)公式.（2）利用遞增數(shù)列的要求求出通項(xiàng)公式，求出，然后表達(dá)出的通項(xiàng)公式后，利用裂項(xiàng)求和求解即可.【詳解】(1)解：由題意得：由解得：或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，(2)由題意，數(shù)列為遞增數(shù)列時(shí)，得，所以當(dāng)時(shí)21如圖，三棱柱中，(1)證明：；(2)若，求三棱柱的體積(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形可得線線垂直，進(jìn)而根據(jù)線線垂直可證明線面垂直，（2）根據(jù)線線垂直可知線面垂直進(jìn)而可得柱體的高，根據(jù)體積公式即可求解.【詳解】(1)證明：取BC中點(diǎn)O，連接OA，因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以為等邊三角形所以，又因?yàn)椋云矫嬗忠驗(yàn)槠矫?，所?2)在中，所以同理，又因?yàn)?，所以，所以，又，所以平面ABC所以22已知函數(shù)（）(1)解關(guān)于x的不等式；(2)若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)