1、運籌學在企業(yè)管理中的應用摘要：運籌學作為一門基礎(chǔ)學科，在企業(yè)管理過程中發(fā)揮著越來越重要的作用，特 別是在模型的應用，更是為企業(yè)管理各領(lǐng)域提供了一種較好的問題決策分析方法，本文 主要從企業(yè)管理幾個不同角度，通過建立數(shù)學模型來解決實際問題，從而說明運籌學在 企業(yè)管理中的應用。關(guān)鍵詞：運籌學數(shù)學模型企業(yè)管理前言運籌學是一門應用科學，至今還沒有統(tǒng)一且確切的定義。莫斯和金博爾曾對運籌學下的定義是： “為決策結(jié)構(gòu)在對其控制下業(yè)務活動運行決策時，提供以數(shù)量化為基礎(chǔ)的科學方法?！彼紫葟娬{(diào)的 是科學方法，這含義不單是某種研究方法的分散和偶然的應用，而是可用于整個一類問題上，并能 傳授和有組織地活動。它強調(diào)以量

2、化為基礎(chǔ)，必然要用數(shù)學。但任何決策都包含定量和定性兩個方 面，而定性方面又不能簡單地用數(shù)學表示，如政治、社會等因素，只要綜合多種因素的決策才是全 面的。運籌學工作者的職責是為決策者提供可以量化方面的分析，指出那些定性的因素。另一定義 是：“運籌學是一門應用科學，它廣泛應用現(xiàn)有的科學技術(shù)知識和數(shù)學方法，解決實際中提出的專門 問題，為決策者選者最優(yōu)提供定量依據(jù)?！边@定義表明運籌學具有多學科交叉的特點，如綜合運用經(jīng) 濟學、心理學、物理學、化學中的一些方法。運籌學是強調(diào)最優(yōu)決策，“最”是過分理想了，在實際 生活中往往用次優(yōu)、滿意等概念代替最優(yōu)。所以，運籌學的又一定義是:“運籌學是一種給出問題壞 的答案

3、的藝術(shù)，否則的話問題的結(jié)果會更壞?！痹诩夹g(shù)高度發(fā)展的時代，企業(yè)的競爭由此變得更加激烈。如何在自己的技術(shù)方面趕超別人，同 時最大程度地節(jié)約成本呢，減少開支，是每個企業(yè)必須關(guān)注的問題，更是企業(yè)管理中的首要問題。 日本豐田汽車公司第一次提出了著名的精益生產(chǎn)方法，包括零庫存與即時生產(chǎn)等，以實現(xiàn)成本最小 化。一時風靡全球。世界上成功的企業(yè)無不是在成本上進行控制，技術(shù)上進行創(chuàng)新得以生存與發(fā)展 內(nèi)的。因此，科學管理越來越被企業(yè)管理者所重視，發(fā)揮著越來越大的作用，而運籌學作為管理科 學的核心與基礎(chǔ)，其作用顯然是首當其沖的。在企業(yè)管理學科的發(fā)展中，可以感受到運籌學的重要性。運籌學作為工具，在企業(yè)產(chǎn)品定價問 題，

4、余數(shù)問題，生產(chǎn)庫存問題等等一系列方面可以提供最優(yōu)化模型合理分配材料使利潤最大的問題2.2模型分析企業(yè)生產(chǎn)過程中常常會遇到生產(chǎn)不同的產(chǎn)品所需要的各種材料只是數(shù)量不一樣，而這些材料的 合理分配將導致產(chǎn)品最后利潤的不同。假設某企業(yè)生產(chǎn)m種產(chǎn)品j#為1#，2#m#，生產(chǎn)j#所需的n材料i*為1*,2*n*,已知單位產(chǎn)品材料定額%, i*的材料上限為,單位產(chǎn)品j #利潤為七，有關(guān)信息如表1所示，問如何安排生產(chǎn) 計劃，使得企業(yè)獲得最大利潤。表1古口 產(chǎn)品材料1#2#m#材料上限b1*a11a12a1mb12*a21a22a2 mb2n*a n1an 2anmbnAAACm設七表示產(chǎn)品j#的產(chǎn)量，由此可建立

5、數(shù)學模型:maxm az=乙 c xj jj=1s.t.a x + a x +. + a b11 112 21m1a x + a x +. + a b21 122 22 m 2a x + a x +. + a bn1 1 n 2 2nm n此問題可用線性規(guī)劃來求解。2.2案例分析某企業(yè)生產(chǎn)3種產(chǎn)品，有關(guān)信息如表2所示。問如何安排生產(chǎn)計劃，使得企業(yè)獲得最大利潤?表2單位產(chǎn)品的材料定額a.jj #產(chǎn)品i*材料上限b1#2#3#i*材 料1*3426002*2124003*132800單位產(chǎn)品利潤Cj243解設產(chǎn)品的產(chǎn)量為）則得線性規(guī)劃模型:max z= X c x = 2x + 4x + 3x ;

6、j=1s.t.3x + 4x + 2x 600,2x1 + x2 + 2x3 400,x1 + 3x2 + 2x3 0 ,j=1,2,3.將它化成標準型（LP）：min f= c x = 2x 4x 3x ; TOC o 1-5 h z j j 123j=1s.t.3x + 4x + 2x + x = 600, HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 12342x + x + 2x + x = 400,1235x + 3x + 2x + x = 800,1236X 0 ,j=1,2,3,4,5,6.用單純形法求解(LP)，得到最優(yōu)單純形表如表3所示。

7、表3XBXXXXXXbX1/3101/3-1/30200/3X5/601-1/62/30500/3X-5/300-2/3-1/31800/3r11/6005/62/302300/3最優(yōu)解 X *=(氣,x2,x3)T = (0,2OO/3,500/3)t，最優(yōu)值 z*=2300/3。運輸問題3.1模型分析一類典型的運輸問題可描述為:設某種產(chǎn)品有m個產(chǎn)地A1,A2,. A，產(chǎn)量分別為a1,a2,九; 有n個銷地B1,B2B.，銷量分別為b1,b2氣。已知從第i個產(chǎn)地運送單位產(chǎn)品到第j個銷地 的費用為%(i=1,2,m;j=1,2,n)。問如何調(diào)運產(chǎn)品才能使總運費最小。為了直觀起見，列出表4,其中

8、乂可(i=1,2,m;j=1,2,n)為產(chǎn)地A到銷地B的運輸量，匕 為A到B的單位運價。i i表4產(chǎn)地 銷地A1A2Am銷量B1(C11, X11)(1, X21)CL ”b1B2、2, X12)(J, X22)(Cm2, Xm2)b2氣(C1n，七)(C2n，(Cmn，Xmnbn產(chǎn)量a1a2a m TOC o 1-5 h z 由于總產(chǎn)量弋a(chǎn)與總銷量Eb之間可能存在“” “” =”三種關(guān)系，故下分三種情況討論 Zji=1j=1模型的建立：（1）產(chǎn)銷平衡（Ea =Eb（1）產(chǎn)銷平衡（iji=1j=1該種情況下數(shù)學模型為min z= EE C x ij ij i=1 j =1Ex = a (i =

9、 1,2.m)j=1 s.t x = b (j = 1,2.刀)i=1七(2)總產(chǎn)量大于總銷量( EaEb) ij i=1j=1該種情況下數(shù)學模型為min z= EE C x ij iji =1 j=1Ex a (i = 1,2.m)j=1 ls.t x = b (j = 1,2.刀)i=1x（3）總銷量大于總產(chǎn)量（ Ea Eb） ij i=1j=1min z= EEcxij iji=1 j=1Ex a (i = 1,2.m)s.t 0第k階段庫存費用氣（s ）= psk故第k階段成本費用為* （氣）+ （sk）因而上述問題數(shù)學模型為k=1_k=1_ min g乙h (s )k k曰s = s

10、 , s = 0s = s +交(x -d ) 0(k = 2,.,n-1 )i=10 x m(k = 1,2,.n)kx 為整數(shù)(k =1,2,.n)此問題可用動態(tài)方法求解。4.2案例分析已知三個時期內(nèi)對某種產(chǎn)品的需求量,、各時期的定貨費用Cq及存存儲費用cp如表9所示， 又生產(chǎn)費用函數(shù)為：C (q ) = 10%0 ， 4)ii要求確定各個時期最佳定貨批量q*，使三個時期各項費用和為最小。已知第1時期初有一件 i庫存，第3時期末庫存為零。表9idCDDc p133122733462解：利用動態(tài)規(guī)劃的算法，當i=3時，因有d =4而q + x d，故0 x 4，0 q 4，333333計算過

11、程見表10表10q3xCd + C3( q3)f (x )33q *0123406+5056416+3036326+2026236+101614000當i=2時，有d q + x d + d = 6,故0 x 6 , 0 q 6，計算過程見表112222322表11q2A x2A * +C (x ) + f (x ) p233 3f (x )22q *012345607+107+207+307+507+707+90027+5637+3957+3277+2597+12763117+5627+3937+3257+2577+1266220+5617+3927+3237+2557+1256030+39

12、17+3227+2537+1239040+3217+2527+1232050+2517+1225060+12120* A = CC + C2(qJ當k=1時，有q1+x1 d1+d2+d3=9，因已知x1=1，故2 q1 8。計算過程見表12表12q1Ax1A * +C (x2) + 匕(x2)f(氣)q *23456783+203+303+503+703+903+1103+130123+7633+6753+5873+4293+36113+30133+18992由計算結(jié)果知：x1=1，q1*=2； x2=0，q2*=3； x3=1，q3*=3；三個時期最小費用總和為99。設備更新問題5.1模型

13、分析企業(yè)管理中經(jīng)常會遇到因設備老化，損壞，后審查后效率底下而需要更新的問題。一臺機器使用 的太久，必然性能低下，影響效率與生產(chǎn)質(zhì)量，因而影響利潤。但如果更新過快，必然需要增大投資， 增加成本，也影響到利潤。如果更新可提高年凈收入，但是當年要指出一筆數(shù)額巨大的購買費，為 了選擇最優(yōu)決策，常常要在一個較長時間內(nèi)考慮更新決策問題?，F(xiàn)以一臺機器為例，隨著使用年限的增加，機器的使用效率降低，收入減少，維修費用增加。而 且機器使用內(nèi)線越長，它本身的價值就越小，因而跟心時所需的凈支出費用就越多。設：匕(t)-在第j年機器役齡為t年的一臺機器運行所得的收入。OJ(t)-在第j年機器役齡為t年的一臺機器運行時所

14、需的運行費用。C.(t) 在第j年機器役齡為t年的一臺機器更新時所需凈費用。a-折扣因子(0 a 1)，表示一年以后的單收入的價值視為現(xiàn)年的a單位。T-在第一年開始時，正在使用的機器的役齡。n-計劃的年限總數(shù)。g. (t)-在第j年開始使用一個役齡為t年的機器時，從第j年至第n年內(nèi)的最佳收入。x.(t)給出g .(t)時，在第j年開始時的決策(保留或是更新)。為了寫出遞推關(guān)系式，先從兩方面分析問題。若在第j年開始時購買了新機器，則從第j年至 第n年得到的總收入應等于在第j年中由新機器獲得的收入，減去在第j年中的運行費用，減去在 第j年開始時役齡為t年的機器的更新凈費用，加上在第j+1年開始使用

15、役齡為1年的機器從第j+1 年至第n年的最佳收入；若在第j年開始時繼續(xù)使用役齡為t年的機器，則從第j年至第n年的總 收入應等于在第j年由役齡為t年的機器得到的收入，減去在第j年中役齡為t年的機器的運行費 用，加上在第j+1年開始使用役齡為t+1年的機器從第j+1年至第n年的最佳收入。然后，比較他 們的大小，選取達到，并的出是該更新還是保留的決策。將上面這段話寫成數(shù)學形式，即得到遞推關(guān)系式為：_ m *F ： I.(0) -O.(0) - C (t) + ag.+i(1) g.=心K : / (t) - O： (t) + ag.+i (t + if _(t=1,2,n t=1,2,j-1,j+t

16、T)其中“K”是Keep的縮寫，表示保留使用；“R”是Replacement的縮寫，表示更新機器。由于研究的是n的計劃，故還要求：g (t) =0n+1對于gi(.)來說，允許的t值只能是T。因為當進入計劃過程時，機器必然已使用了丁年。應指出的是：這里研究的設備更新問題，是以機齡作為狀態(tài)變量，決策是保留和更新兩種。但 它可推廣到多維情形，如還考慮對使用的機器進行大修作為一種決策，那時所需的費用和收入，不 僅取決于機齡和購置的年限，也取決于上次大修后的時間。因此，必須使用兩個狀態(tài)變量來描述系 統(tǒng)的狀態(tài)，其過程與此類似。5.2案例分析假設n=5, a=1，T=1，其有關(guān)數(shù)據(jù)如表13所示。試制定5年

17、中的設備更新策略，使在5年內(nèi)的 總收入達到最大。表13產(chǎn)品 年序機齡項目第一年第二年第三年第四年第五 年期前0 1 2 3 40 1 2 30 1 20 101 2 3 4 5收入22 21 20 18 1627 25 24 2229 26 2430 283218 16 16 14 14運行 費用6 6 8 8 105 6 8 95 5 64 548 8 9 9 10更新 費用27 29 32 34 3729 31 34 3631 32 3332 333432 34 36 36 38解：因第j年開始機齡為t年的機器，其制造年序應為j-t年，因此，15(0)為第五年新產(chǎn)品 的收入，故15(0)=

18、32。13(2)為第一年的產(chǎn)品起機齡為2年的收入，故13(2) =20。同理05(0) =4, 03(2) =8。而C5(1)是第5年機齡為1年的機器(應為第四年的產(chǎn)品)的更新費用，故C5(1)二33。同 理C5(2) =33，C3(1)=31，其余類；當j=5時，由于設T=1，故從第5年開始計算事，機器使用了 1、2、3、4、5年，則遞推關(guān)系 式為 g (t) = maxR I5(0) -05(0) - C5(t)+1g65 LK : 15(t)-05(t) + 1g t +1)因此幻=maxR :32 - 4 - 33 + 0 = 5K :28 - 5 + 0 = 23=23 所以 (1)

19、 = Kg (2)二 maxR :32 - 4 - 33 + 0 = -5K :24 - 6 + 0 = 18=18 所以 (2) = K同理A=13, X=K ；X5(4) = K ； g5=4, %=K當j=4時遞推關(guān)系為g (t) = maxR: I (0) - O (0) - C (t) + g (1)14445K : 14(t) - O4(t) + g5(t +1)_故 g 4(1) = maxR :30 - 4 - 32 + 23 = 17K :26 - 5 +18 = 39=39所以氣(1) = K同理 g (2) = 29, x (2) = K ； g (3) = 16, x

20、(3) = K ； g =13,x =K444444當j=3時，有g(shù) (t) = maxR: I (0) - O (0) - C (t) + g (1)13334K : I (t) - O (t) + g (t +1) 334故土=maxR :29 - 5 - 31 + 39 = 32K :25 - 6 + 29 = 48=48 所以 x3(1) = K同理 g (2) = 31,x (2) = R ； g (3) = 27, x (3) = R3333當j=2時，有g(shù) (t) = maxR: I (0) - O (0) - C (t) + g (1)12223K : 12(t) - O2(t) + g3(t +1)_故 g2(1) = maxR :27 - 5 - 29 + 48 = 41K :21 - 6 + 31 = 46=46 所以 x2(1) = Kg (2)二 maxR :27 - 5 - 34 + 48 = 36K :16 - 8