二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的三種方法_第1頁
二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的三種方法_第2頁
二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的三種方法_第3頁
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1、2 二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的三種方法(2)如果存在，如何求C?定理 任何一個二次型都可以通過非退化線性替換 化為標(biāo)準(zhǔn)形。(1)若aii不全為零,設(shè)a110則上式可寫成配方它是非退化的,代入后對y2,y3,yn的二次型.當(dāng)aii不全為零時,繼續(xù)上述方法.否則用下述(2)(2)若a ii=0 (i=1,2,n),但至少有一個aij0,設(shè)a120,則它是非退化線性的替換,代入后反復(fù)使用(1)與(2),可以在有限步內(nèi)將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.因為 x=Cy, |C|0y=Dz,|D|0則 x=(CD)z, |CD|=|C|D|0也是非退化線性替換.以上做法中,每一步都是非退化線性替換.因此可以找到一個非退化線性替

2、換化為二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.定理 對任意對稱陣A,存在可逆陣C使得CTAC為對角陣. 即任何對稱矩陣合同于一個對角陣.上述定理的證明實績上給出了一種化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法：配方法.1.若二次型含有 的平方項，則先把含有 的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量同樣進行，直到都配成平方項為止，經(jīng)過非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形 . 拉格朗日配方法的步驟例1解含有平方項去掉配方后多出來的項所用變換矩陣為解:配方化簡代入可得標(biāo)準(zhǔn)形為非退化線性替換矩陣為2.若二次型中不含有平方項，但是 則先作可逆線性變換化二次型為含有平方項的二次型，然后再按 1 中方法配方.解例3由于所給二次型中無平方項，所以再配方，得所用變換矩陣為用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟解step1寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例()()9182-=ll從而得特征值step2求特征向量得正交向量組step3將特

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