1、關(guān)于線性方程組的直接方法第一張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月解線性方程組的直接法簡(jiǎn)記為 Ax=b，其中 ( 6.1 ) 常見的線性方程組是方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的n階線性方程組，一般形式為 第二張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月線性方程組的數(shù)值解法一般有兩類：直接法：就是經(jīng)過有限步算術(shù)運(yùn)算，可求得方程組精確解的方法（若計(jì)算過程中沒有舍入誤差），如克萊姆法則就是一種直接法，直接法中具有代表性的算法是高斯(Gauss)消去法。迭代法: 就是用某種極限過程去逐步逼近線性方程組的精確解的方法。也就是從解的某個(gè)近似值出發(fā)，通過構(gòu)造一個(gè)無窮序列去逼近精確解的方法。(一般有限步內(nèi)得不

2、到精確解)第三張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月三、特殊矩陣對(duì)角矩陣三對(duì)角矩陣上三角矩陣上海森伯(Hessenberg)陣對(duì)稱矩陣埃爾米特矩陣對(duì)稱正定矩陣正交矩陣酉矩陣初等置換陣置換陣第四張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月定理1 設(shè)ARnn, A非奇異?定理2 若ARnn對(duì)稱正定矩陣，則?定理3 若ARnn對(duì)稱矩陣，則對(duì)稱正定矩陣0, i=1,2,n 因此存在惟一的分解 A=LU 第五十八張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月L是單位下三角陣, U是上三角陣, 將U再分解 其中D為對(duì)角陣, U0為單位上三角陣，于是 A = L U = L D U0 又 A = AT

3、= U0TD LT由分解惟一性, 即得 U0T=L A=L D LT 第五十九張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月記 又因?yàn)閐et(Ak)0,(k=1,2,n), 故于是對(duì)角陣D還可分解 其中 為下三角陣,令L=L1，定理得證。 第六十張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月將A=LLT展開，寫成 按矩陣乘法展開，可逐行求出分解矩陣L的元素，計(jì)算公式是對(duì)于i=1,2,n j=i+1, i+2,n 這一方法稱為平方根法,又稱喬累斯基(Cholesky)分解,它所需要的乘除次數(shù)約 為數(shù)量級(jí),比LU分解節(jié)省近一般的工作量。 第六十一張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月例6.9 平

4、方根法求解方程組 解: 因方程組系數(shù)矩陣對(duì)稱正定,設(shè)A= ,即： 由Ly=b解得 由 解得 由此例可以看出，平方根法解正定方程組的缺點(diǎn)是需要進(jìn)行開方運(yùn)算。為避免開方運(yùn)算，我們改用單位三角陣作為分解陣，即把對(duì)稱正定矩陣A分解成 的形式，其中 第六十二張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月為對(duì)角陣，而 是單位下三角陣,這里分解公式為 第六十三張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月?lián)丝芍鹦杏?jì)算 運(yùn)用這種矩陣分解方法,方程組Ax=b即可歸結(jié)為求解兩個(gè)上三角方程組 和其計(jì)算公式分別為 和 求解方程組的上述算法稱為改進(jìn)的平方根法。這種方法總的計(jì)算量約為 ，即僅為高斯消去法計(jì)算量的一半。 第六

5、十四張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月記筆記5.7 向量和矩陣的范數(shù) 為了研究線性方程組近似解的誤差估計(jì)和迭代法的收斂性, 有必要對(duì)向量及矩陣的“大小”引進(jìn)某種度量-范數(shù)的概念。向量范數(shù)是用來度量向量長(zhǎng)度的,它可以看成是二、三維解析幾何中向量長(zhǎng)度概念的推廣。用Rn表示n維實(shí)向量空間。第六十五張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月記筆記5.7 向量和矩陣的范數(shù)定義5.2 對(duì)任一向量XRn, 按照一定規(guī)則確定一個(gè)實(shí)數(shù)與它對(duì)應(yīng), 該實(shí)數(shù)記為|X|, 若|X|滿足下面三個(gè)性質(zhì):(1) |X|0；|X|=0當(dāng)且僅當(dāng)X=0；(2) 對(duì)任意實(shí)數(shù)， | X|=| | |X|； 對(duì)任意向量YRn

6、，|X+Y| |X|+|Y| 則稱該實(shí)數(shù)|X|為向量X的范數(shù)第六十六張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月在Rn中，常用的幾種范數(shù)有：記筆記其中x1,x2, ,xn分別是X的n個(gè)分量。以上定義的范數(shù)分別稱為1-范數(shù)，2-范數(shù)和-范數(shù)可以驗(yàn)證它們都是滿足范數(shù)性質(zhì)的，其中 是由內(nèi)積導(dǎo)出的向量范數(shù)。5.7 向量和矩陣的范數(shù)第六十七張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng)不需要指明使用哪一種向量范數(shù)時(shí)，就用記號(hào)|.|泛指任何一種向量范數(shù)。有了向量的范數(shù)就可以用它來衡量向量的大小和表示向量的誤差。設(shè)x*為Ax=b的精確解，x為其近似解，則其絕對(duì)誤差可表示成|x- x* |，其相對(duì)誤差可表示成

7、記筆記5.7 向量和矩陣的范數(shù)或第六十八張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月第六十九張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月例5.10 證明對(duì)任意同維向量x , y 有 證： 即 第七十張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月例5.11 設(shè)x=(1, 0, -1, 2)T, 計(jì)算 解: =1+0+|-1|+2=4第七十一張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月定理7.1 對(duì)于任意向量x ,有證: 即 當(dāng) p， 第七十二張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月定義5.4 ( 向量序列的極限 ) 設(shè) 為 中的一向量序列， , 記 。如果 (i =1,2, n)，則稱 收斂于

8、向量 ，記為 定理7 .2（向量范數(shù)的等價(jià)性）設(shè) 為 上任意兩種向量范數(shù), 則存在常數(shù)C1, C20,使得對(duì)任意 恒有（證:略） 第七十三張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月定理7 其中 為向量中的任一種范數(shù)。 證 由于 而對(duì)于 上的任一種 范數(shù), 由定理3.7知存在常數(shù)C1，C2，使 于是可得 從而定理得證。 第七十四張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月定義5.5（矩陣的范數(shù)）如果矩陣 的某個(gè)非負(fù)的實(shí)值函數(shù) ，滿足則稱 是 上的一個(gè)矩陣范數(shù)(或模) 第七十五張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月矩陣范數(shù)的性質(zhì)可由向量范數(shù)定義直接驗(yàn)證。(1) 設(shè)A0, x0, 使Ax0,

9、 根據(jù)向量范數(shù)的性 質(zhì)Ax 0, 所以0 x0, 使Ax =0, 則=0當(dāng)A=0時(shí), 第七十六張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月矩陣范數(shù)的性質(zhì)可由向量范數(shù)定義直接驗(yàn)證(2)根據(jù)向量范數(shù)的性質(zhì)第七十七張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月矩陣范數(shù)的性質(zhì)可由向量范數(shù)定義直接驗(yàn)證(3)第七十八張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月矩陣范數(shù)定義的另一種方法是這是由于同樣，矩陣范數(shù)和向量范數(shù)密切相關(guān)，向量范數(shù)有相應(yīng)的矩陣范數(shù)，即第七十九張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月第八十張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月定義5.7（矩陣的譜半徑）設(shè) 的特征 值為 , 稱 為

10、A的譜半徑。例 5.12 計(jì)算方陣 的三種常用范數(shù) 第八十一張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月例5.12 計(jì)算方陣 的三種范數(shù) 解 先計(jì)算 所以 ,從而 第八十二張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月定理5.8.1 設(shè)A為n階方陣, 則對(duì)任意矩陣范數(shù)都有證: 設(shè) 為A的特征值，x是 對(duì)應(yīng)于的特征向 量,則 x=Ax。兩端取范數(shù)并依據(jù)其性質(zhì) 得由于x0，故 ，所以第八十三張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月第八十四張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月5.8 誤差分析5.8.1 方程組的性態(tài) 在建立方程組時(shí)，其系數(shù)往往含有誤差（如觀測(cè)誤差或計(jì)算誤差），就是說，所要求

11、解的運(yùn)算是有擾動(dòng)的方程組，因此需要研究擾動(dòng)對(duì)解的影響。 第八十五張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月例5.13 考察方程組 和 上述兩個(gè)方程組盡管只是右端項(xiàng)有微小擾動(dòng), 但解大不相同, 第1個(gè)方程組的解是第2個(gè)方程組的解是 。這類方程組稱為病態(tài)的。第八十六張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月定義5.8 A或b的微小變化(又稱擾動(dòng)或攝動(dòng))引起方程組Ax=b解的巨大變化，則稱方程組為病態(tài)方程組，矩陣A稱為病態(tài)矩陣。否則方程組是良態(tài)方程組，矩陣A也是良態(tài)矩陣 為了定量地刻畫方程組“病態(tài)”的程度，要對(duì)方程組Ax=b進(jìn)行討論，考察A（或b）微小誤差對(duì)解的影響。為此先引入矩陣條件數(shù)的概念。

12、 定義5.9 （矩陣條件數(shù)）設(shè)A為非奇異矩陣，稱 為矩陣A條件數(shù)。 第八十七張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月第八十八張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月第八十九張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月 我們先來考察常數(shù)項(xiàng)b的微小誤差對(duì)解的影響。設(shè)A是精確的, b有誤差 (或擾動(dòng))b, 顯然,方程組 的解與x有差別, 記為即有即 （由設(shè)Ax=b0）于是 （6.18）又 Ax=b0，則有 由（6.18）式及（6.19）式即得如下定理 （6.19）或第九十張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月定理 5.12 (b的擾動(dòng)對(duì)解的影響) 設(shè)A非奇異， Ax=b0，且 則有 證

13、:設(shè)A精確且非奇異,b有擾動(dòng)b,使解x有擾動(dòng)x, 則 消去Ax=b，有又相比較可得 第九十一張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月定理 5.13 (A的擾動(dòng)對(duì)解的影響) 設(shè)A非奇異，Ax=b0，且若 ,則 證 ：略第九十二張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月我們還可證明更為一般的結(jié)論： 當(dāng)方程組的系數(shù)矩陣A非奇異和常數(shù)項(xiàng)b為非零向量時(shí)，且同時(shí)有擾動(dòng)A，b，滿足 ，若x和x+x分別是方程組Ax=b 及 的解則第九十三張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月例6.13 線性方程組 的系數(shù)矩陣帶誤差，成為如下方程組 求方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù), 并說明方程組的性態(tài) 解 因?yàn)?所以 因

14、此方程組是良態(tài)的 第九十四張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月5.7.2 精度分析求得方程組Ax=b的一個(gè)近似解以后,希望判斷其精度，檢驗(yàn)精度的一個(gè)簡(jiǎn)單辦法是將近似解再回代到原方程組去求出余量r. r = b-A 如果r很小，就認(rèn)為解是相當(dāng)精確的。定理6.14 設(shè) 是方程組Ax=b的一個(gè)近似解,其精確解記為 ,r為 的余量。則有 證明見P172第九十五張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月例5.14 設(shè)A為正交矩陣，證明：cond2(A)=1分析：由正交矩陣和條件數(shù)的定義便可推得解：因?yàn)锳是正交矩陣， 故ATA= AAT=I， A-1= AT，從而第九十六張，PPT共一百零七頁，

15、創(chuàng)作于2022年6月例5.15 設(shè)A，B為n階矩陣，證明： cond(AB) cond(A) cond(B)分析: 由矩陣范數(shù)性質(zhì)和條件數(shù)定義 便可證明證： cond (AB) = | AB | | (AB)-1 | |A| |B| |A-1| |B-1| = |A| |A-1| |B| |B-1| = cond (A) cond (B) 第九十七張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月例5.16 設(shè)A，B為n階非奇異矩陣，|表示 矩陣的任一種范數(shù)，證明： | A-1-B-1 | | A-1 | | B-1 | | A-B | cond(AB) cond(A) cond(B)分析: 由矩陣

16、范數(shù)的基本性質(zhì)即可推證證： A-1-B-1 = A-1(B-A)B-1 ,從而 | A-1-B-1 | A-1(B-A)B-1 | |A-1| |B-A| |B-1| | A-1-B-1 | |A-1| |B-A| |B-1| 第九十八張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月例9 求Hilbert矩陣H3的條件數(shù).第九十九張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月如何發(fā)現(xiàn)判斷矩陣是病態(tài)的?如何解決和處理?預(yù)處理方法.第一百?gòu)?，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月例10 設(shè)則化為則第一百零一張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月二、迭代改善法(略去)第一百零二張，PPT共一百零七

17、頁，創(chuàng)作于2022年6月本章小結(jié) 本章介紹了解線性方程組的直接法。直接法是一種計(jì)算量小而精度高的方法。直接法中具有代表性的算法是高斯（Gauss）消去法（在第一章提到的克萊姆算法也是一種直接法，但該算法用于高階方程組時(shí)計(jì)算量太大而不實(shí)用），其它算法大都是它的變型，這類方法是解具有稠密矩陣或非結(jié)構(gòu)矩陣（零元分布無規(guī)律）方程組的有效方法。 第一百零三張，PPT共一百零七頁，創(chuàng)作于2022年6月 選主元的算法有很好的數(shù)值穩(wěn)定性。從計(jì)算簡(jiǎn)單出發(fā)實(shí)際中多選用列主元法。 解三對(duì)角矩陣方程組（A的對(duì)角元占優(yōu)）的追趕法，解對(duì)稱正定矩陣方程組的平方根法都是三角分解法，且都是數(shù)值穩(wěn)定的方法，這些方法不選主元素，也具有較高的精度。 向量、矩陣的范數(shù)、矩陣的條件數(shù)和病態(tài)方程組的概念，是數(shù)值計(jì)算中一些基本概念。線性方程組的病態(tài)程度是其本身的固有特性，因此即使用數(shù)值穩(wěn)定的方法求解，也難以克服嚴(yán)重病態(tài)導(dǎo)致的解的失真。在病態(tài)不十分嚴(yán)重時(shí)，用雙精度求解可減輕病態(tài)的影響 第一百零四張，PPT共一百零七