1、第三章 平面 3-1求作橋墩形體的W面投影，并將其七個表面與投影面的相對位置名稱填入下表。步驟一：根據(jù)橋墩形體的軸測圖，標出其V面投影各點名稱。（注意重影點的表達方法，標識符號。）步驟二：根據(jù)點的投影規(guī)律，高平齊，寬相等進行作圖，也可以用45度線作圖。步驟三：繪制完成后，檢查各點三面投影標記的字符名稱要齊全，最后整理、加深所求作的圖形，使之更加美觀整潔。 XabkmgfncedYHYWmmk (f)n(k)e(f)n (e)bbZOa (g)c (d)c(a)d(g)寬相等平面名稱AKMB一般位置平面BMNC一般位置平面NCDE側(cè)垂面FKMNE水平面AGFK側(cè)垂面ABCDG水平面GFED側(cè)平面

2、XabkmgfncedYHYWmmk (f)n(k)e(f)n (e)bbZOa (g)c (d)c(a)d(g)45度線3-2圖示平面為側(cè)垂面，求作該平面的H面投影。 XYHYWZO步驟一：根據(jù)點的投影規(guī)律，長對正，寬相等進行作圖。步驟二：繪制完成后，整理、加深所求作的圖形，使之更加美觀整潔。 3-3已知等邊三角形ABC為水平面，并知其AB邊，求此三角形的三面投影。XYHYWcbZOaab6060ccab分析：根據(jù)等邊三角形ABC為水平面，可知，三角形ABC在H水平面投影是實形，在V面和W面的投影積聚。步驟一：以ab為一個邊，在H面作三角形ABC的實形投影。找到c點的H面投影。步驟二：在H面

3、上，分別以a、b為圓心，ab為半徑，畫圓，交點即為c。（注：此處有兩解，在合適的位置，畫一解即可，制圖一般不強調(diào)多解。）步驟三：V面，c的投影和已知ab在一條直線上，根據(jù)點的投影規(guī)律，長對正，求作c的投影。步驟四：根據(jù)已知點的兩面投影，求作第三面投影，求作abc的投影。步驟五：繪制完成后，檢查各點三面投影標記的字符名稱要齊全，最后整理、加深所求作的圖形，使之更加美觀整潔。 3-4已知矩形ABCD為側(cè)垂面，其=30，求此矩形的V、W面投影(只求一解)。ABab ZABa b XABYa b 分析：根據(jù)矩形ABCD為側(cè)垂面，可知，矩形ABCD在H面和V面的投影是矩形的類似形，在W面的投影積聚成一條

4、線。又因為矩形ABCD為側(cè)垂面，側(cè)平線AB（或CD）就是矩形ABCD相對于H面的最大坡度線，所以面ABCD與H投影面所組成的二面角就是側(cè)平線AB（或CD）與H投影面所夾的交。側(cè)平線AB的=30，根據(jù)投影三角形性質(zhì)，已知ab和，就可以求出AB的V面投影的Z。 XYHYWa (d)bZObadccdaABab Z30b (c)步驟一：以ab為一個直角邊，=30作直角投影三角形，求出AB的V面投影的Z。（此三角形可以在繪制圖形的空白處作出，也可以借助已有的ab投影，在合適的位置作出） 步驟二：根據(jù)所求的AB的V面投影的Z，在V面上，以a為線段的一個端點，根據(jù)側(cè)平線AB的性質(zhì)，求得b的投影。（注：此處

5、有兩解，在合適的位置，畫一解即可，制圖一般不強調(diào)多解。）步驟三：V面，作側(cè)垂線AD和BC，根據(jù)長對正作出ad和bc。步驟四：根據(jù)已知點的兩面投影，求作第三面投影，求作abcd的投影。（注意重影點的標法）步驟五：利用側(cè)平線和側(cè)垂線以及側(cè)垂面的性質(zhì)，檢驗所繪制的圖形的正確性。步驟六：繪制完成后，檢查各點三面投影標記的字符名稱要齊全，最后整理、加深所求作的圖形，使之更加美觀整潔。 3-5過點C作平行于V面的正方形ABCD，邊長為25，對角線AC垂直于H面。 XbObadca(c)d25 c分析：根據(jù)正方形ABCD平行于V面，可知，正方形ABCD在V面的投影是實形，在H面的投影積聚成一條線。又因?qū)蔷€

6、AC垂直于H面，所以，AC是鉛垂線，對角線AC在H面上積聚成一點，在V面的投影反映實形；對角線BD是側(cè)垂線，在H面和V面的投影是實形；反映實形的長度都為25。步驟一：在V面，過c作25 長且垂直ox軸的直線，確定a。步驟二：在V面，過ac的中點，作一直線為25，且互相垂直平分，得bd的V面投影。步驟三：順次連接V面的abcd就是ABCD的V面投影。步驟四：在H面，過c點，作25 線段平行于ox軸，且c為中點，即得bd的H面投影。步驟五：因為AC是鉛垂線，注意重影點的標法。步驟六：繪制完成后，檢查各點兩面投影標記的字符名稱要齊全（根據(jù)題運，判斷是完成三面還是兩面的作圖），最后整理、加深所求作的圖

7、形，使之更加美觀整潔。 3-6已知正方形ABCDV面，該平面上有一點E，試完成正方形及E點的三面投影。XYHYWa (b)bZOb(d)adcc (d)eeea(c)分析：根據(jù)已知正方形ABCDV面，可知，正方形ABCD在V面的投影實形。在H面和W面積聚成平行于x軸和z軸的直線段。步驟一：在H面，過e點，作一條平行于ox軸的直線，長對正，求得adbc的水平投影（注意重影點的標法）。步驟二：根據(jù)點的投影，求出點e。步驟三：過e，作一條平行于oz軸的直線，高平齊，求得abcd的側(cè)面投影（注意重影點的標法）。步驟四：繪制完成后，檢查各點三面投影標記的字符名稱要齊全，最后整理、加深所求作的圖形，使之更

8、加美觀整潔。 3-7在ABC上過B點作水平線BD；過C點作側(cè)平線CE。XObdadceab11ec分析：水平線性質(zhì)，在V面的投影是平行于ox的一條直線。在H面投影反映實形。側(cè)平線性質(zhì)，在V面和H面的投影是垂直于ox的直線。在W面投影反映實形。點B和點C在平面ABC上，故水平線BD和側(cè)平線CE的投影都在平面的投影內(nèi)。步驟一：在V面，過b點，作一條平行于ox軸的直線，交ac于d。步驟二：根據(jù)點d在ac和點的投影性質(zhì)，確定d點，即得水平線BD的兩面投影。步驟三：過c和c做直線垂直于ox，于V面連接be，確定e，be交ac于1。步驟四：根據(jù)點的投影性質(zhì)，在H面ac上，確定1點投影，從而確定e點的投影。

9、步驟五：繪制完成后，檢查各點二面投影標記的字符名稱要齊全，最后整理、加深所求作的圖形，使之更加美觀整潔。 3-8過下列平面上的A點，作該平面上的正平線。 XObacab11c分析：正平線性質(zhì)，在H面的投影是平行于ox的一條直線。在V面投影反映實形。正平線過A點且屬于平面ABC，故正平線的投影都在平面的投影內(nèi)。步驟一：在H面，過a點，作一條平行于ox軸的直線，交bc于1。步驟二：根據(jù)點1在直線bc上和點的投影性質(zhì)，確定V面的1點，即得正平線A1的兩面投影。步驟三：繪制完成后，檢查各點二面投影標記的字符名稱要齊全，最后整理、加深所求作的圖形，使之更加美觀整潔。 3-9已知ABC平面上的直線M N及

10、平面圖形P的一個投影，求它們的另一投影。XObaab11ccnmmn分析：已知ABC平面上的直線MN，所以，MN的投影在ABC投影上。步驟一：標出mn與bc的交點投影1。步驟二：根據(jù)點1在直線bc上和點的投影性質(zhì)，確定V面bc上，找到1點。步驟三：延長nm交abc于一點，此處，交點正好是a點，連接a1。步驟四：根據(jù)點的投影性質(zhì)，確定nm點的投影。步驟五：繪制完成后，檢查各點二面投影標記的字符名稱要齊全，最后整理、加深所求作的圖形，使之更加美觀整潔。XOcapcnabdefghb11f22gdhe分析：相交兩直線確定一個平面。所以P平面的兩面投影是確定的?，F(xiàn)在就是平面上確定點的問題。由ab和ab

11、的投影性質(zhì)可以判斷，AB為側(cè)垂線，而cd平行于ab，所以CD也為側(cè)垂線。由ad和a d的投影可知 AD為側(cè)平線。步驟一：由分析可知CD為側(cè)垂線，過c點，得d點。步驟二：根據(jù)線段的定比分性，確定e和h點的投影。步驟三：延長cf和cg交cd于1點和2點。步驟四：根據(jù)點的投影，在V面確定1點和2點。步驟五：根據(jù)點的投影，在V面確定f點和g點。步驟六：順次連接defgha完成P面的V面的投影。步驟七：繪制完成后，檢查各點二面投影標記的字符名稱要齊全，最后整理、加深所求作的圖形，使之更加美觀整潔。 3-10設(shè)正方形ABCD在正垂面EFMN內(nèi)，并知其對角線AC的兩面投影，求作正方形的兩面投影。XOb (d

12、 )aabdcenfmn(e)m(f)c解法一分析：正方形ABCD在正垂面EFMN內(nèi)，所以，正方形ABCD也是正垂面，且AC為正平線，ac為AC的實長；BD為正垂線，bd積聚在ac的中點上，且bd= ac。步驟一：由分析可知，取ac的中點標出b（d）點。步驟二：ac和bd互相垂直平分，且bd= ac。步驟三：順次連接abcd。步驟四：繪制完成后，檢查各點二面投影標記的字符名稱要齊全，最后整理、加深所求作的圖形，使之更加美觀整潔。 XOb (d )aabdcenfmn(e)m(f)c解法二分析：正方形ABCD在正垂面EFMN內(nèi)，所以，正方形ABCD也是正垂面，且AC為正平線，ac為AC的實長；B

13、D為正垂線，bd積聚在ac的中點上，且bd= ac。步驟一：由分析可知，作ac的垂直平分線，標出b（d）點。步驟二：取bd= ac，ac和bd互相垂直平分。步驟三：順次連接abcd。步驟四：繪制完成后，檢查各點二面投影標記的字符名稱要齊全，最后整理、加深所求作的圖形，使之更加美觀整潔。3-11在ABC上取一點D，使D點比B點低15，并在B點之前17。 XObaabddccnmmn1517pqmn步驟一：在V面b之下15個單位，作一輔助水平面P,分別交ab和bc于m點和n點，所要求作的D點的V面投影d必在直線mn上。步驟二：因為M點和N點在直線AB和BC上，根據(jù)直線上點的投影性質(zhì)，在H面，求作m

14、點和n點，確定輔助平面P上的直線MN的水平投影。步驟三：在H面b之前17個單位，作一輔助正平面q，所要求作的D點的H面投影d必在正平面q上。故正平面q與mn的交點即為d點。步驟四：根據(jù)d必在直線mn上和點的投影性質(zhì)，求作出d。步驟五：繪制完成后，檢查各點二面投影標記的字符名稱要齊全，最后整理、加深所求作的圖形，使之更加美觀整潔。 3-12補全五邊形ABCDE平面的H面投影，并補出面上點k。 XOaebcdeabcd211233kk步驟一：連接五邊形ABCDE平面的BE對角，在V面，連接對角ac交于點1。步驟二：根據(jù)點的投影性質(zhì)確定H面1點投影，連接a1，確定H面c點投影。步驟三：在H面上，連接

15、bc。步驟四：在V面，連接對角ad交于點2。步驟五：根據(jù)點的投影性質(zhì)確定H面2點投影，連接a2，確定H面d點投影。步驟六：在H面上，連接cd和de。步驟七：在H面上，連接ak交cd于3，在V面cd上找到3點。步驟八：在V面上，連接a3，根據(jù)點的投影性質(zhì)和直線上點的投影性質(zhì)，確定k點。步驟九：繪制完成后，檢查各點二面投影標記的字符名稱要齊全，最后整理、加深所求作的圖形，使之更加美觀整潔。 3-13求四邊形ABCD面的、傾角。 bXObaa1dcdc122 bXObaadcdc3344 bXObaa1dcdc1223344步驟一：由分析可知，首先在四邊形ABCD面找一條水平線，a1ox軸，完成a1

16、投影。步驟二：根據(jù)直角投影定理，在H面，過b點作a1的垂線，交a1于2點，求作2。步驟三：線段B2就是平面ABCD相對H面的最大坡度線，求線段B2和H面所成的角，就是要求的。步驟四：根據(jù)正投影的性質(zhì)，繪制投影直角三角形，取b2為一直角邊，b2投影的z為另一直角邊，構(gòu)成直角三角形，z所對應(yīng)的角就是要求的。步驟五：同理，在四邊形ABCD面找一條正平線，a3ox軸，完成a3投影。步驟六：根據(jù)直角投影定理，在V面，過b點作a3的垂線，交a3于4點，求作4點。步驟七：線段B4就是平面ABCD相對V面的最大坡度線，求線段B4和V面所成的角，就是要求的。步驟八：根據(jù)正投影的性質(zhì)，繪制投影直角三角形，取b4

17、為一直角邊，b4投影的y為另一直角邊，構(gòu)成直角三角形，y所對應(yīng)的角就是要求的。步驟九：繪制完成后，檢查各點二面投影標記的字符名稱要齊全，最后整理、加深所求作的圖形，使之更加美觀整潔。 3-14在下面投影圖中，過直線AB作正垂面P和鉛垂面Q，過直線CD作側(cè)垂面R。 bbaaXOPhQv12PvQh分析：過AB直線，作正垂面P和鉛垂面Q，則正垂面P和鉛垂面Q包含直線AB，正垂面P的V面積聚，且過ab，與H面相交的跡線垂直ox軸，且與P的V面積聚線交于ox軸上。同理鉛垂面Q的H面積聚，且過ab，與V面相交的跡線垂直ox軸，且與Q的H面積聚線交于ox軸上。步驟一：延長ab交ox軸于1點，則直線1ab就

18、是要求作的正垂面P的V面積聚投影Pv跡線。步驟二：在H面內(nèi)，過1點，作ox軸的垂線，則得要求作的正垂面P與H面的交線Ph跡線。步驟三：直線1ab和交線Ph跡線就構(gòu)成了要求作的正垂面P。步驟四：同理，延長ab交ox軸于2點，則直線ab2就是要求作的鉛垂面Q的H面積聚投影Qh跡線。步驟五：在V面內(nèi)，過2點，作ox軸的垂線，則得要求作的鉛垂面Q與V面的交線Qv跡線。步驟六：直線ab2和交線Qv跡線就構(gòu)成了要求作的鉛垂面Q。ddccXOcdRvYHYWZRhRw34分析：過CD直線作側(cè)垂面R，首先求出CD直線的側(cè)面投影cd，則側(cè)垂面R包含直線CD，側(cè)垂面R的W面積聚，且過cd，交OZ軸和OYw軸于3點

19、和4點，與V面相交的跡線垂直O(jiān)Z軸，且與R的W面積聚線交于OZ軸3點上，與H面相交的跡線垂直O(jiān)YH軸，且與R的W面積聚線交于OYw軸4點寬相等。步驟一：根據(jù)點的投影性質(zhì)，作出側(cè)面投影cd。步驟二：延長cd交OZ軸和OYw軸于3點和4點。則直線4cd3就是要求作的側(cè)垂面R的W面積聚投影Rw跡線。步驟三：在V面內(nèi)，過3點，作OZ軸的垂線，則得要求作的側(cè)垂面R與V面的交線Rv跡線。步驟四：在H面內(nèi)，根據(jù)寬相等，過4點，作OYH軸的垂線，則得要求作的側(cè)垂面R與H面的交線Rh跡線。步驟五：直線4cd3和交線Rh跡線、交線Rv跡線就構(gòu)成了要求作的側(cè)垂面R。步驟六：繪制完成后，檢查各點三面投影標記的字符名稱

20、要齊全，最后整理、加深所求作的圖形，使之更加美觀整潔。 3-15已知四邊形平面ABCD的AD邊平行于V面，BC邊平行于H面，試完成該平面的V面投影。 11bbadccadXO分析：已知四邊形平面ABCD的AD邊平行于V面，BC邊平行于H面，所以，AD邊是正平線，BC邊是水平線，符合相應(yīng)的平行線投影規(guī)律。解法一：步驟一：在H面，過a點作bc的平行線，交cd于1點，則a1也是一條水平線。步驟二：過a點，作一條直線平行于OX軸，其上取點1，則a1和a1就是水平線A1的投影，聯(lián)接b1并延長，c點就應(yīng)該在這條直線上。步驟三：過c點，根據(jù)BC邊是水平線，作cb直線平行于OX軸。根據(jù)點的投影規(guī)律，獲得b點的投影。步驟四：繪制完成后，順次聯(lián)接abcd，完成作圖。檢查各點二面投影標記的字符名稱要齊全，最后整理、加深所求作的圖形，使之更加美觀整潔。 kkbbadccadXO解法二：步驟一：延長cb和da交于k點，則k點同時屬于cb和da。步驟二：延長da，根據(jù)點的投影規(guī)律得k點。步驟三：過k點，根據(jù)BC邊是水平線，作kcb直線平行于OX軸。根據(jù)點的投影規(guī)律，獲得b點和c點的投影。步驟四：繪制完成后，順次聯(lián)接abcd，完成作圖。檢查各點二面投影標記的字符名稱要齊全，最后整理、加深所求作的圖形，使之更加美