1、4.6統(tǒng)計(jì)作圖4.6.1正整數(shù)的頻率表命令正整數(shù)的頻率表函數(shù)tabulate格式table=tabulate(X)%X為正整數(shù)構(gòu)成的向量，返回3列：第1列中包含X的值第2列為這些值的個(gè)數(shù)，第3列為這些值的頻率。例4-49A=l225638A=1225638tabulate(A)ValueCountPercent1114.29%228.57%114.29%00.00%114.29%114.29%00.00%114.29%4.6.2經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)圖形函數(shù)cdfplot格式cdfplot(X)%作樣本X(向量)的累枳分布函數(shù)圖形h=cdfplot(X)%h表示曲線的環(huán)柄h,stats=cdfplo

2、t(X)%stats表示樣本的一些特征例4-50X=normrnd(0,1,50,1);h,stats=cdfplot(X)h=3.0013stats=min:-1.8740%樣本最小值max:1.6924%最人值mean:0.0565%平均值median:0.1032%中間值std:0.7559%樣本標(biāo)準(zhǔn)差I(lǐng)mprksilflOli圖4-104.6.3最小二乘擬合直線函數(shù)Isline格式Isline%最小乘擬合直線h=Isline%h為直線的句柄4-51X=23.45.681112.313.81618.819.9;plot(X/+)4.6.4繪制正態(tài)分布概率圖形函數(shù)normplot格式nor

3、mplot(X)%若X為向量，則顯示正態(tài)分布概率圖形，若X為矩陣，則顯示每一列的正態(tài)分布概率圖形。h=normplot(X)%返回繪圖直線的句柄說明樣本數(shù)據(jù)在圖中用+”顯示；如果數(shù)據(jù)來自正態(tài)分布，則圖形顯示為直線，而其它分布可能在圖中產(chǎn)生彎曲。例4-53X=normrnd(0,1,50,1);normplot(X)nnni*.-*30-W5amas你g圖4-124.6.5繪制威布爾(Weibull)概率圖形函數(shù)weibplot格式weibplot(X)%若X為向量,則顯示威布爾(Weibull)概率圖形,若X為矩陣，則顯示每一列的威布爾概率圖形。h=weibplot(X)%返回繪圖直線的柄說明

4、繪制威布爾(Weibull)概率圖形的目的是用圖解法估計(jì)來自威布爾分布的數(shù)據(jù)X,如呆X是威布爾分布數(shù)據(jù)，其圖形是直線的，否則圖形中可能產(chǎn)生彎曲。例4-54r=weibrnd(l.2,1.5,50,1);weibplot(r)圖4-134.6.6樣本數(shù)據(jù)的盒圖函數(shù)boxplot格式boxplot(X)%產(chǎn)生矩陣X的每一列的盒圖和“須”圖，“須”是從盒的尾部延伸出來，并表示盒外數(shù)據(jù)長度的線，如果“須”的外面沒有數(shù)據(jù)，則在“須”的底部有一個(gè)點(diǎn)。boxplot(X,notch)%當(dāng)notch=l時(shí)，產(chǎn)生一凹盒圖，notch=0時(shí)產(chǎn)生一矩箱圖。boxplot(X,notch/sym)%sym表示圖形符號

5、，默認(rèn)值為+”。boxplot(X,notch/symvert)%當(dāng)vert=0時(shí)，生成水平盒圖，vert=l時(shí)，生成豎直盒圖(默認(rèn)值vert=l)oboxplot(X,notch,sym：vert,whis)%whis定義須圖的長度,默認(rèn)值為1.5,若whis=0則boxplot函數(shù)通過繪制sym符號圖來顯示盒外的所有數(shù)據(jù)值。例4-55xl=normrnd(5,1,100,1)；x2=normrnd(6zl,100,1)；x=xlx2;boxplot(x,l,g+：l,0)圖4-144.6.7給當(dāng)前圖形加一條參考線函數(shù)refline格式refline(slopejntercept)%slop

6、e表示直線斜率tintercept表示截距refline(slope)slope=ab,圖中加一條直線:y=b+axo例4-56y=3.02.61;plot(y；+)refline(0,3)圖4454.6.8在當(dāng)前圖形中加入一條多項(xiàng)式曲線函數(shù)refcurve格式h=refcurve(p)%在圖中加入一條多項(xiàng)式曲線，h為曲線的壞柄，p為多項(xiàng)式系數(shù)向量,p=pl,p2zp3,.,pn,其中pl為最高幕項(xiàng)系數(shù)。例4-57火箭的高度與時(shí)間圖形，加入一條理論高度曲線，火箭初速為100m/秒。h=85162230289339381413437452458456440400356;plot(h；+)refc

7、urve(-4.91000)圖4464.6.9樣本的概率圖形函數(shù)capaplot格式p=capaplot(data,specs)ta為所給樣本數(shù)據(jù)，specs指定范闈，p表示在指定范I制內(nèi)的概率。說明該函數(shù)返回來自于估計(jì)分布的隨機(jī)變量落在指定范I判內(nèi)的概率例4-58data=normrnd(0,1,30,1);p=capaplot(data/-2/2)P=0.9199圖4-174.6.10附加有正態(tài)密度曲線的直方圖函數(shù)histfit格式histfit(data)0ta為向量，返回直方圖和正態(tài)曲線。histfit(data,nbins)%nbins指定bar的個(gè)數(shù)，缺省時(shí)為data中數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的平

8、方根。例4-59r=normrnd(10,1,100,1);histfit(r)囹4184.6.11在指定的界線之間畫正態(tài)密度曲線函數(shù)normspec格式p=normspec(specs/mu/sigma)%specs指定界線，mu,sigma為正態(tài)分布的參數(shù)p為樣本落在上、下界之間的概率。例4-60normspec(10Inf,11.5,1.25)圖4-194.7參數(shù)估計(jì)4.7.1常見分布的參數(shù)估計(jì)命令P分布的參數(shù)a和b的最人似然估計(jì)值和置信區(qū)間函數(shù)betafit格式PHAT=betafit(X)PHAEPCI=betafit(X,ALPHA)說明PHAT為樣本X的B分布的參數(shù)a和b的估計(jì)量

9、PCI為樣本X的B分布參數(shù)a和b的置信區(qū)間，是一個(gè)2X2矩陣，其第1例為參數(shù)a的置信下界和上界，第2例為b的置信下界和上界，ALPHA為顯著水平，(1，)X100%為置信度。例4-61隨機(jī)產(chǎn)生100個(gè)B分布數(shù)據(jù)，相應(yīng)的分布參數(shù)真值為4和3。則4和3的最人似然估計(jì)值和置信度為99%的置信區(qū)間為：解：X=betarnd(4,3,100,1);%產(chǎn)生100個(gè)B分布的隨機(jī)數(shù)PHAT,PCI=betafit(X,0.01)%求置信度為99%的置信區(qū)間和參數(shù)a、b的估計(jì)值結(jié)果顯示PHAT=3.90102.6193PCI=2.52441.74885.27763.4898說明估計(jì)值3.9010的置信區(qū)間是2.

10、52445.2776,估計(jì)值2.6193的置信區(qū)間是1.74883.4898o命令正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)函數(shù)normfit格式muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(X)muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(X,alpha)說明muhat,sigmahat分別為正態(tài)分布的參數(shù)卩和c的估計(jì)值,muci,sigmaci分別為置信區(qū)間,其置信度為；alpha給出顯著水平a,缺省時(shí)默認(rèn)為0.05,即置信度為95%。例4-62有兩組(每組100個(gè)元素)正態(tài)隨機(jī)數(shù)據(jù)，其均值為10,均方差為2,求95%的置信區(qū)間和參數(shù)估計(jì)值。解：r=normrn

11、d(10,2,100,2);%產(chǎn)生兩列正態(tài)隨機(jī)數(shù)據(jù)mu,sigma,muci,sigmaci=normfit(r)則結(jié)果為mu=10.145510.0527%各列的均值的估計(jì)值sigma=1.90722.1256%各列的均方差的估計(jì)值muci=9.76529.628810.525810.4766sigmaci=1.67451.86632.21552.4693說明muci,sigmaci中各列分別為原隨機(jī)數(shù)據(jù)各列估計(jì)值的置信區(qū)間，置信度為95%。例4-63分別使用金球和鉗球測定引力常數(shù)用金球測定觀察值為:6.6836.6816.6766.6786.6796.672用鉗球測定觀察值為:6.6616

12、.6616.6676.6676.664設(shè)測定值總體為，卩和。為未知。對(1)、(2)兩種情況分別求卩和。的置信度為0.9的置信區(qū)間。解：建立M文件：LX0833.mX=6.6836.6816.6766.6786.6796.672;Y=6.6616.6616.6676.6676.664;mu/sigma,muci/sigmaci=normfit(X,0.1)%金球測定的估計(jì)MU/SIGMA,MUCI3IGMACI=normfit(X0.1)%tt球測定的估計(jì)運(yùn)行后結(jié)果顯示如下：mu=6.6782sigma=0.0039muci=6.67506.6813sigmaci=0.00260.0081MU

13、=6.6640SIGMA=0.0030MUCI=6.66116.6669SIGMACI=0.00190.0071由上可知,金球測定的卩估計(jì)值為6.6782,置信區(qū)間為6.6750,6.6813；o的估計(jì)值為0.0039,置信區(qū)間為0.0026,0.00810泊球測定的U估計(jì)值為6.6640,置信區(qū)間為6.6611,6.6669：。的估計(jì)值為0.0030,置信區(qū)間為0.0019,0.0071o命令利用mle函數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)函數(shù)mle格式phat=mle%返回用dist指定分布的最人似然估計(jì)值phat,pci=mle%置信度為95%phat,pci=mle%置信度由alpha確定phat,pci=

14、mle%僅用于二項(xiàng)分布，pl為試驗(yàn)次數(shù)。說明dist為分布函數(shù)名，如：beta(分布)、bino(二項(xiàng)分布)等，X為數(shù)據(jù)樣本，alpha為顯著水平a,為置信度。例4-64X=binornd(20,0.75)%產(chǎn)生二項(xiàng)分布的隨機(jī)數(shù)x=16p,pci=mle(bino：X,0.05,20)%求概率的估計(jì)值和置信區(qū)間，置信度為95%P二0.80000.56340.9427常用分布的參數(shù)估計(jì)函數(shù)表牛7參數(shù)估計(jì)函數(shù)表函數(shù)名調(diào)用形式PHAT=binofit(X,N)binofitPHAT,PCI=binofit(X,N)PHAT,PCI=binofit(X,N,ALPHA)Lambdahat=poissf

15、it(X)poissfitLambdahat,Lambdaci=poissfit(X)Lambdahat,Lambdaci=poissfit(X,ALPHA)函數(shù)說明二項(xiàng)分布的概率的最人似然估計(jì)置信度為95%的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間返回水平a的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間泊松分布的參數(shù)的最大似然估計(jì)置信度為95%的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間返回水平a的入?yún)?shù)和置信區(qū)間normfitmuhatsigmahatmuciigmaci=normfit(X)muhat,sigmahat,mucizsigmaci=normfit(X,ALPHA)正態(tài)分布的最人似然估計(jì)，置信度為95%返回水平a的期望、方差值和置信區(qū)間betaf

16、itPHAT=betafit(X)PHAT,PCI=betafit(X,ALPHA)ahat,bhat=unifit(X)unifitahatbhatACLBCI=unifit(X)ahat,bhat/ACI,BCI=unifit(X/ALPHA)muhat=expfit(X)expfitmuhat,muci=expfit(X)muhat,muci=expfit(X,alpha)phat=gamfit(X)gamfitphat,pci=gamfit(X)phat,pci=gamfit(X,alpha)返回P分布參數(shù)a和b的最人似然估計(jì)返回最人似然估計(jì)值和水平a的置信區(qū)間均勻分布參數(shù)的最大似然估

17、計(jì)置信度為95%的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間返回水平a的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間指數(shù)分布參數(shù)的最大似然估計(jì)置信度為95%的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間返回水平a的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間Y分布參數(shù)的最大似然估計(jì)置信度為95%的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間返回最人似然估計(jì)值和水平a的置信區(qū)間韋伯分布參數(shù)的最人似然估計(jì)phat=weibfit(X)weibfitphat,pci=weibfit(X)phat,pci=weibfit(X,alpha)置信度為95%的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間返回水平a的參數(shù)估計(jì)及其區(qū)間估計(jì)返回水平a的最人似然估計(jì)值和置信區(qū)間分布函數(shù)名為dist的最人似然估計(jì)置信度為95%的參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間僅用于二項(xiàng)分布，pl為

18、試驗(yàn)總次數(shù)說明各函數(shù)返回已給數(shù)據(jù)向量X的參數(shù)最人似然估計(jì)值和置信度為(:1)X100%的置信區(qū)間。a的默認(rèn)值為0.05,即置信度為95%。4.7.2非線性模型置信區(qū)間預(yù)測命令高斯一牛頓法的非線性最小二乘數(shù)據(jù)擬合函數(shù)nlinfit格式beta=nlinfit(X,y,FUN,betaO)%返回在FUN中描述的非線性函數(shù)的系數(shù)。FUN為用戶提供形如的函數(shù)，該函數(shù)返回已給初始參數(shù)估計(jì)值卩和自變量X的y的預(yù)測值。betajJ=nlinfit(X,y,FUN,betaO)0ta為擬合系數(shù)，r為殘差，J為Jacobi矩陣，betaO為初始預(yù)測值。說明若X為矩陣，則X的每一列為自變量的取值，y是一個(gè)相應(yīng)的列

19、向量。如果FUN中使用了，則表示函數(shù)的柄。例4-65調(diào)用MATLAB提供的數(shù)據(jù)文件reaction.matloadreactionbetafit=nlinfit(reactantsjate”hougen,beta)betafit=1.25260.06280.04000.11241.1914命令非線性模型的參數(shù)估計(jì)的置信區(qū)間函數(shù)nlparci格式ci=nlparci(beta,rj)%返回置信度為95%的置信區(qū)間，beta為非線性最小二乘法估計(jì)的參數(shù)值，r為殘差，J為Jacobian矩陣。nlparci可以用nlinfit函數(shù)的輸出作為其輸入。例4-66調(diào)用MATLAB中的數(shù)據(jù)reactiono

20、loadreactionbetajesids二nlinfit(reactantsjate,hougen：beta)beta=1.25260.06280.04000.11241.1914resids=0.1321-0.1642-0.09090.03100.11420.0498-0.02620.3115-0.02920.10960.0716-0.1501-0.3026J=6.8739-90.6536-57.8640-1.92880.16143.4454-48.5357-13.6240-1.70300.30345.3563-41.2099-26.3042-10.52171.509569500.109

21、10.01860.02791.79132.2967-35.5658-6.0537-0.75670.20238670-89.5655-170.1745-8.95660.44004.4973-14.4262-11.5409-9.37702.57444.1831-41.7896-16.8937-5.77941.008211.8286-51.3721-154.1164-27.74101.50019.1514-25.5948-76.7844-30.71382.57903.33730.09000.07200.10803.52699.3663-102.0611-107.4327-3.58110.22004.

22、7512-24.4631-16.3087-10.30022.1141ci=nlparci(betazresidsj)ci=-0.74673.2519-0.03770.1632-0.03120.1113-0.06090.2857-0.73813.1208命令非線性擬合和顯示交互圖形函數(shù)nlintool格式nlintool(x,y,FUN,betaO)%返回?cái)?shù)據(jù)(x,y)的非線性曲線的預(yù)測圖形，它用2條紅色曲線預(yù)測全局置信區(qū)間。betaO為參數(shù)的初始預(yù)測值，置信度為95%。nlintool(x“FUN,betaO,alpha)%置信度為(l-alpha)xlOO%例4-67調(diào)用MATLAB數(shù)據(jù)lo

23、adreactionnlintool(reactantsjate/hougen:beta)04-20命令非線性模型置信區(qū)間預(yù)測函數(shù)nlpredci格式y(tǒng)pred=nlpredcifFUNJnputs.betaJ)%ypred為預(yù)測值，F(xiàn)UN與前面相同,beta為給出的適當(dāng)參數(shù)，r為殘差，J為Jacobian矩陣inputs為非線性函數(shù)中的獨(dú)立變量的矩陣值。ypred,delta=nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J)Ita為非線性最小二乘法估計(jì)的置信區(qū)間長度的一半，當(dāng)r長度超過beta的長度并且J的列滿秩時(shí)，置信區(qū)間的計(jì)算是有效的。ypred-delta,ypred+del

24、ta為置信度為95%的不同步置信區(qū)間。ypred=nlpredci(FUN,inputs,beta,rzJ,alpha/simopt7predopt)%控制置信區(qū)間的類型,置信度為lOO(l-alpha)%。simopF=on或off(默認(rèn)值)分別表示同步或不同步置信區(qū)間。predopt=curve(默認(rèn)值)表示輸入函數(shù)值的置信區(qū)間，predoptobservation表示新響應(yīng)值的置信區(qū)間。nlpredci可以用nlinfit函數(shù)的輸出作為其輸入。例4-68續(xù)前例，在10030080處的預(yù)測函數(shù)值ypred和置信區(qū)間一半寬度deltaloadreactionbetajesidsJ=nlinf

25、it(reactantsjate,hougen,beta);ypred,delta=nlpredci(hougen/10030080,betajesids)結(jié)果為：ypred=10.9113delta=0.3195命令非負(fù)最小二乘函數(shù)nnls(該函數(shù)已被函數(shù)Isnonneg代替，在6.0版中使用nnls將產(chǎn)生警告信息)格式x=nnls(A,b)%最小二乘法判斷方程AXx=b的解，返回在xR的條件下使得最小的向量x,其中A和b必須為實(shí)矩陣或向量。x=nnls(A,b,tol)%tol為指定的誤差x,w=nnls(A,b)%當(dāng)x中元素時(shí)，當(dāng)時(shí)。x,w=nnls(A,b,tol)例4-69A=0.0

26、3720.2869;0.68610.7071;0.62330.6245;0.63440.6170：b二0.85870.17810.07470.84051；x二nnls(A,b)Warning:NNLSisobsoleteandhasbeenreplacedbyLSQNONNEGNNLSnowcallsLSQNONNEGwhichusesthefollowingsyntax:X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAGQUTPUT丄AMBDA=lsqnonneg(A,b/X0/Options);UseOPTIMSETtodefineoptimizationoptions,ortypee

27、ditnnlstoviewthecodeusedhere.NNLSwillberemovedinthefuture;pleaseuseNNLSwiththenewsyntax.x=00.6929命令有非負(fù)限制的最小二乘函數(shù)Isqnonneg格式x=lsqnonneg(Czd)%返回在x0的條件下使得最小的向量x,其中C和d必須為實(shí)矩陣或向量。x=Isqnonneg(CdxO)%x0為初始點(diǎn),x00 x=lsqnonneg(CdxO,options)%options為指定的優(yōu)化參數(shù)，參見options函數(shù)。x,resnorm=Isqnonneg()%resnorm表示norm(C*x-d).A2

28、的殘差x,resnormzresidual=Isqnonneg()%residual表示C*x-d的殘差例4-70A=0.03720.2869;0.68610.7071;0.62330.6245;0.63440.6170：b二0.85870.17810.07470.8405；x,resnormjesidual=Isqnonneg(A,b)00.6929resnorm=0.8315residual=0.6599-0.3119-0.35800.41304.7.3對數(shù)似然函數(shù)命令負(fù)分布的對數(shù)似然函數(shù)函數(shù)Betalike格式logL=betalike(params/data)%返回負(fù)分布的對數(shù)似然函數(shù)，params為向量a,b,是分布的參數(shù)，data為樣本數(shù)據(jù)。logL/info=betalike(params/data)%返回Fisher逆信息矩陣info。如果params中輸入的參數(shù)是極大似然估計(jì)值，那么info的對角元素為相應(yīng)參數(shù)的漸近方差。說明betalike是分布最大似然估計(jì)的實(shí)用函數(shù)。似然函數(shù)假設(shè)數(shù)據(jù)樣本中，所有的元素相互獨(dú)立。因?yàn)閎etalike返回負(fù)對數(shù)似然函數(shù)，用fmins函數(shù)最小化betalike與最人似然估計(jì)的功能是相同的。例4-71本例所取的數(shù)據(jù)是隨機(jī)產(chǎn)生的分布數(shù)據(jù)。r=betarnd(33100,l);lo