1、試論數(shù)學(xué)分析中極限的化歸轉(zhuǎn)化思想方法(圖文)論文導(dǎo)讀：作為數(shù)學(xué)思想方法的主梁;之一，化歸轉(zhuǎn)化思想已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中。特殊化和一般化以及他們之間的彼此轉(zhuǎn)化和相互作用，是數(shù)學(xué)分析中的重要思想和方法。1、數(shù)列極限化歸為函數(shù)極限來求。關(guān)鍵詞：化歸轉(zhuǎn)化思想，極限，數(shù)學(xué)分析當(dāng)我們面對的數(shù)學(xué)問題不能用模型加以解決時(shí)，就會考慮其它意義上的解題策略，其中首要的一個(gè)就是化歸轉(zhuǎn)化策略。作為數(shù)學(xué)思想方法的主梁;之一，化歸轉(zhuǎn)化思想已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中?；褪亲兓瓎栴}，轉(zhuǎn)化原問題，變換原問題；歸就是變化，轉(zhuǎn)化，變換原問題是有目的，有方向的，其目的就是變化出一個(gè)數(shù)學(xué)模型，就是通過變化使面臨的問題轉(zhuǎn)化為自己會

2、解決的問題?；瘹w是指把待解決或未解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或比擬容易解決的問題中去，最終求得原問題解答的一種手段和方法。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，假設(shè)按照思維習(xí)慣處理陷入困境時(shí)，可以把思維轉(zhuǎn)到另外的可逆方向，眼光不能完全落在原問題的結(jié)論上，而應(yīng)該是去尋覓，追溯一些熟知的結(jié)果，促使要解決的問題轉(zhuǎn)化為某個(gè)已經(jīng)解決了的問題，從而通過化歸轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化并解決原問題，其根本思維過程如下：化歸根本思維通過分析?數(shù)學(xué)分析?中的極限局部，對其中所蘊(yùn)含的化歸轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行了分析和探討，并挖掘出常用的五種化歸轉(zhuǎn)化的思想：一般與特殊、有限與無限、數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化以及映射變換、化正為反的化歸轉(zhuǎn)化思想：一、特

3、殊與一般之間的轉(zhuǎn)化：特殊化和一般化以及他們之間的彼此轉(zhuǎn)化和相互作用，是數(shù)學(xué)分析中的重要思想和方法。論文參考。一般化與特殊化之間的轉(zhuǎn)化綜觀數(shù)學(xué)分析中有關(guān)根本概念的形成和引入，有關(guān)根本理論與方法的建立與開展，都經(jīng)歷著由特殊到一般的認(rèn)識開展過程。1、數(shù)列極限化歸為函數(shù)極限來求。海涅定理實(shí)現(xiàn)了數(shù)列極限與函數(shù)極限之間的相互轉(zhuǎn)化：對任意以為極限的數(shù)列例 求分析：將所求轉(zhuǎn)化為，這樣就可以利用羅必達(dá)法那么來計(jì)算了。函數(shù)數(shù)極限柯西準(zhǔn)那么充分性的證明，是通過歸結(jié)原那么，利用化歸轉(zhuǎn)化的一般與特殊轉(zhuǎn)化數(shù)列極限的柯西準(zhǔn)那么充分性來證明的。例 證明函數(shù)極限柯西準(zhǔn)那么的充分性：設(shè)內(nèi)有定義，對任意的，使得對任何都有，那么極限

4、存在。證明；設(shè)數(shù)列含于，且。由假設(shè)對給定的正數(shù)，存在相應(yīng)的正數(shù)，只要 便有 。對上述的，由于 ，那么由數(shù)列極限的柯西準(zhǔn)那么知，存在相應(yīng)的正數(shù)，對一切,都有 因此 。于是由數(shù)列的柯西準(zhǔn)那么知，它的極限存在，記為，即設(shè) 為含于 的另外一個(gè)使的數(shù)列，如上所證，存在，記為 ，現(xiàn)證為此，考察數(shù)列 ，易見且。仍如上所證， 也收斂。于是作為的兩個(gè)子列，必有相同的極限。故由歸結(jié)原那么得：。2、極限與級數(shù)之間的轉(zhuǎn)化。1、證明數(shù)列的極限為0，化歸為級數(shù)收斂的必要條件。例 證明分析：將此題轉(zhuǎn)化為討論級數(shù)的收斂性，由正項(xiàng)級數(shù)的比值判別法可知，此級數(shù)收斂，故由級數(shù)收斂的必要條件得證。2、求極限轉(zhuǎn)化為級數(shù)。例 求極限解:

5、記又 收斂,故在上一致收斂.顯然在上連續(xù),故有在上連續(xù).所以例 求極限分析：此極限為錯(cuò)項(xiàng)級數(shù)的前n項(xiàng)和。并且我們知道f(x)=Ln1+x的泰勒展開式與此式較為接近，可以用該級數(shù)解決此問題。解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=lnx在x=1時(shí)的泰勒展開式為:所以當(dāng)x=1時(shí):所以原極限為:=ln(1+1)=ln2.3、極限轉(zhuǎn)化為定積分。定積分是一種特殊的極限，這種極限不同于數(shù)列極限，也不同于函數(shù)極限。它是一種復(fù)雜的和式的極限，對于表達(dá)自變過程的變量的每一個(gè)值，不僅區(qū)間的分法有無窮多種，而且對每一種分法，介點(diǎn)也有無窮多種取法，因而相應(yīng)的和式一般都有無窮多個(gè)值。但它仍然有著與數(shù)列極限、函數(shù)極限的本質(zhì)上相同之處，即當(dāng)

6、無限變小時(shí)，相應(yīng)的一切和式與某一定數(shù)I的距離：能夠變得并且保持任意的小。例 求.分析：此題為求有限和的極限，通過恒等變形，可以轉(zhuǎn)化為定積分來求。解：設(shè)=故。利用定積分定義，得：。所以原極限為：二、有限與無限之間的轉(zhuǎn)化：有限與無限是對立的統(tǒng)一，在數(shù)學(xué)分析中，我們往往通過有限來認(rèn)識無限，也通過無限來確定有限。數(shù)學(xué)分析的根本思想方法極限法，就是借助有限來認(rèn)識無限的典型方法。通過有限認(rèn)識、確定、證明無限的思維過程如下圖： 無限與有限的化歸思維過程1、函數(shù)極限與無窮小之間的轉(zhuǎn)換：其中2、無窮級數(shù)和與有限局部和的極限：無窮級數(shù)求和在數(shù)學(xué)上，為了到達(dá)不確定的、無限的東西，必須從確定的、有限的東西出發(fā)。為了計(jì)

7、算上式無限和，先計(jì)算有限項(xiàng)的和：令。假設(shè)，S是個(gè)有限數(shù)，那么S就定義了無窮級數(shù)的和，其和是由局部和有限和開始，然后求極限而得到的。實(shí)際上，每個(gè)都是有限的數(shù)，是一個(gè)界限，但又是可以超越的界限，最后到達(dá)的無限;是一個(gè)不能超越;的界限，是一個(gè)超越仍然是自身的東西;。例 求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和.解:令那么:.(1)根據(jù)萊布尼茲判別法知級數(shù)(1)收斂,假設(shè)其和為S,再令冪級數(shù)s(x)為(2) 于是可求得收斂區(qū)間為(-1,1再由阿貝耳定理知:但s(0)=0,所以 (3)(4)將(4)代入(3)得:3、數(shù)學(xué)歸納法要實(shí)現(xiàn)對無窮多個(gè)命題正確性的證明，要一個(gè)一個(gè)地證將永世證不完竭，一般是通過數(shù)學(xué)歸納法來通過有限把握無限，

8、來實(shí)現(xiàn)對無窮多個(gè)命題正確性的證明，數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)，是人們用有限來認(rèn)識無限的一種方法。例 證明數(shù)列收斂，并求它的極限。容易觀察，該題要運(yùn)用單調(diào)有界原理，為證明其單調(diào)性與有界性，我們只要用數(shù)學(xué)歸納法即可。解：令首先證明數(shù)列，從而，故由數(shù)學(xué)歸納法，對一切 ，都有，即數(shù)列遞增。其次證明數(shù)列有上界：顯然 ，假設(shè)，那么，故由數(shù)學(xué)歸納法，對一切，都有即數(shù)列有上界根據(jù)單調(diào)有界原理，數(shù)列收斂。設(shè)，那么也有，由有，在兩邊令去極限，得，取正根得，故三、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微。;數(shù)學(xué)的研究對象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，而通常某一對象的數(shù)和形又是相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的。因此，研究問題時(shí)，我們可以把

9、其數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來考察，通過相互轉(zhuǎn)化到達(dá)化繁為簡，化難為易的目的。數(shù)化形代數(shù)化幾何根本思維過程例 重要極限的證明。分析：在數(shù)學(xué)分析中，許多數(shù)量關(guān)系方面的抽象概念和解析式，假設(shè)賦予幾何意義，往往便得非常形象直觀，并使一些關(guān)系明朗化、簡單化；而一些圖形的性質(zhì)，又可以賦予數(shù)量意義，尋找恰當(dāng)?shù)谋磉_(dá)問題的數(shù)量關(guān)系式，即可使幾何問題代數(shù)化，以數(shù)助形，用代數(shù)的方法使問題得到解決。論文參考。其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與形象直觀圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來，發(fā)揮數(shù)與形兩種信息的轉(zhuǎn)換及其優(yōu)勢互補(bǔ)與整合。此重要極限的證明借助幾何圖形，對式中的量賦予幾何意義而得以解決的。 由于當(dāng)時(shí)可以從原點(diǎn)近旁

10、無限趨于0。并且或時(shí)比值不變。于是在推證過程中我們不妨設(shè)，作單位圓如圖，設(shè)圓心角弧度，顯然半徑。圓弧。切線線段，又因?yàn)榈拿娣e扇形的面積的面積，所以 即上式同除以，那么或由單位圓可知，當(dāng)時(shí)，線段的長1即由夾逼定理可得：四、映射變換映射變換是指將復(fù)雜問題通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)挠成滢D(zhuǎn)化為比擬簡單的問題的一種思想方法如變量替換就是映射變換的一種形式：由我國數(shù)學(xué)家徐利治教授提出的RMI原那么如下列圖所示表達(dá)了此方法的思維過程：RMI根本思維過程1、在解數(shù)學(xué)題時(shí)，會遇到一些問題從外表看非常復(fù)雜，但是如果通過變量替換，常常可以改變問題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和外部形式，使之轉(zhuǎn)化為我們熟悉或較簡單的問題了。例 求極限分析：此題是求

11、一個(gè)結(jié)構(gòu)比擬復(fù)雜的不定式(型)的極限。按平常的做法應(yīng)轉(zhuǎn)化為之一來解，但是做到這一點(diǎn)并不容易。為此，考慮作變量代換x1/t，那么有：2、在解一些二元函數(shù)極限計(jì)算問題的時(shí)候，假設(shè)可經(jīng)適當(dāng)?shù)淖儞Q.可以使得二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的極限轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)在點(diǎn)P(t)的極限，那么可將其轉(zhuǎn)化。例 討論極限是否存在。解：設(shè)五、化正為反數(shù)學(xué)問題千差萬別、千變?nèi)f化，如果拘泥于某幾種習(xí)慣，是不會游刃有余的。在數(shù)學(xué)解題時(shí)，人們思考的 大多是正面的、順向的，可是，有些數(shù)學(xué)問題如果正面的、順向的進(jìn)行，那么很難以解決，這時(shí)就應(yīng)該轉(zhuǎn)為反面的、逆向思考，這就需要化正為反。順向推導(dǎo)有困難時(shí)就逆向推導(dǎo)，正面求解困難時(shí)就反

12、面求解，直接求解不奏效時(shí)就間接求解，肯定命題有困難時(shí)就轉(zhuǎn)而舉反例加以否認(rèn)。這種逆反轉(zhuǎn)換思維實(shí)際上是一種逆向思維，表達(dá)了思維的靈活性，也反映著數(shù)學(xué)問題因果關(guān)系的辨證統(tǒng)一。論文參考。將正面問題化為反面問題去求解，如反證法與反例法都是這種化歸方式的具體化。1、反證法原理：這里P與P是不相容命題。即通過否認(rèn)原命題而實(shí)現(xiàn)命題的轉(zhuǎn)換。從而改變原命題的內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)問題的標(biāo)準(zhǔn)化。例 假設(shè)數(shù)列都收斂，且證明：用反證法。設(shè)存在，當(dāng)時(shí)，有于是，取那么當(dāng)時(shí)不等式1，2和同時(shí)成立，但由1，2兩式得即這與矛盾。故必有即2、就命題的真假性而言，存在著如下關(guān)系：假設(shè)命題P在一般情況下為真，那么在特殊條件下，P也真，我們把這種關(guān)

13、系叫做關(guān)系A(chǔ)。為方便計(jì)，我們把關(guān)系A(chǔ)的逆否條件陳述如下，并稱之為關(guān)系B：假設(shè)命題P在特殊情況下為假，那么在一般條件下，P也假。關(guān)系A(chǔ)和關(guān)系B在化歸轉(zhuǎn)化時(shí)有著不可低估的作用：利用反例;去否認(rèn)一個(gè)命題或猜測，是數(shù)學(xué)中常用的思想方法，這種方法就是憑借關(guān)系B，我們就可以利用特殊;而否認(rèn)一般;，從而實(shí)現(xiàn)化歸。特別當(dāng)一個(gè)猜測長期得不到證明時(shí)人們就會利用關(guān)系B去尋找反例。但假設(shè)經(jīng)過屢次試圖否認(rèn)而否認(rèn)不了時(shí)，那么又會鼓勵(lì)人們?nèi)ヌ剿餍碌淖C明途徑，從而推動了數(shù)學(xué)的開展，哥德巴赫猜測便是一例。例 討論在0，0是否存在極限。分析：要討論極限是否存在，有兩種做法：1假設(shè)認(rèn)為極限存在，那么需將其求出方可證明；2假設(shè)認(rèn)為極

14、限不存在，那么只需舉出一個(gè)反例。而判別一個(gè)二元函數(shù)的二重極限不存在有多種方法，其中一種是證明沿某個(gè)特殊路徑其極限不存在，即只需找出一條路徑使得該函數(shù)的極限不存在即可。當(dāng)y=-x時(shí)，函數(shù)的分母為零，因此可以考慮沿與y=-x相切的曲線的路徑的極限，如：沿曲線趨于0，0時(shí)解：沿曲線趨于0，0時(shí)：不存在。所以在0，0極限不存在?；睘楹?，化生為熟，化新為舊，化未知為，這就是人類認(rèn)識的根本規(guī)律，因此可以說解決數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì)就是實(shí)現(xiàn)化歸。化歸轉(zhuǎn)化策略涉及三個(gè)根本要素：化歸的對象，目標(biāo)和方法?；瘹w的對象就是我們面臨的數(shù)學(xué)問題，化歸的目標(biāo)就是某一個(gè)數(shù)學(xué)模型，化歸的方法就是數(shù)學(xué)思想方法。在化歸一個(gè)問題時(shí)化歸的目標(biāo)和方法對于我們來說都是待定的，而化歸的對象即問題本身可以從不同的角度考慮，所以要實(shí)現(xiàn)一個(gè)成功的化歸即應(yīng)善于對未知結(jié)論或條件進(jìn)行變形，又應(yīng)善于對整個(gè)問題進(jìn)行變形。一言以蔽之，就是應(yīng)當(dāng)用變化的觀點(diǎn)，而不要用靜止的眼光來看待問題。參考文獻(xiàn):(1)?數(shù)學(xué)分析?華東師大數(shù)學(xué)系，高等教育出版社，19912?數(shù)學(xué)分析?復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社，1983(3)?數(shù)學(xué)思想方法縱橫論?解思澤、趙樹智，科學(xué)出版社，1987(4)?數(shù)學(xué)分析的思想與方法?明清河，山東大學(xué)出版社，2004(5)?數(shù)學(xué)方法論選講?徐利治，華中工學(xué)院，1988(6)?數(shù)學(xué)方法論與解題研究?張雄、李得虎，高等