1、第三節(jié) CT圖像重建一、從投影重建圖像的原理 中心切片定理二、從投影重建圖像的算法第1頁(yè)，共26頁(yè)。一、圖像構(gòu)成概念（1）體層、像素、體素（2）圖像矩陣（3）投影投照受檢體后出射的X線束強(qiáng)度I稱為投影，投影的數(shù)值稱為投影值，投影值的分布稱為投影函數(shù)。第2頁(yè)，共26頁(yè)。二、圖像重建的基本要求CT的圖像重建是根據(jù)采集的數(shù)據(jù)，由計(jì)算機(jī)求解出圖像矩陣中各個(gè)像素所對(duì)應(yīng)的吸收系數(shù)，在求解計(jì)算過程中應(yīng)滿足圖像重建的基本要求。應(yīng)不失真地反映被測(cè)人體層面上的圖像信息；要在盡可能短的時(shí)間內(nèi)完成計(jì)算；要在理論上和技術(shù)上可行。第3頁(yè)，共26頁(yè)。00Rxyf(x,y)g(R)投影線L三、從投影重建圖像的原理 中心切片定

2、理0vuf(u,v)1DFTG()第4頁(yè)，共26頁(yè)。物體空間f(x,y)Radon空間g(R)傅立葉空間F(,)RR-1F1F2F2-1中心切片定理指出：密度函數(shù)f(x,y)在某一方向上的投影函數(shù)g(R)的一維傅立葉變換函數(shù)G()是原密度函數(shù)f(x,y)的二維傅立葉變換函數(shù)F(, )在(, )平面上沿同一方向且過原點(diǎn)的直線上的值。第5頁(yè)，共26頁(yè)。投影函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式：密度函數(shù)的二維傅立葉變換：第6頁(yè)，共26頁(yè)。2D IFT空間域頻域1D FT插值第7頁(yè)，共26頁(yè)。四、圖像重建算法 平行束反投影重建算法（1）直接反投影法（2）濾波反投影法（3）卷積反投影法第8頁(yè)，共26頁(yè)。（1）直接反投影法基

3、本原理是將所測(cè)得的投影值按其原路徑反投影到投影線的各個(gè)像素上（即指定投影線上所有點(diǎn)的值等于所測(cè)得的投影值），再將所有反投影數(shù)據(jù)進(jìn)行疊加，從而推斷出原圖像。缺點(diǎn)是：圖像四周會(huì)出現(xiàn)云暈狀陰影，造成影像邊緣的不清晰。第9頁(yè)，共26頁(yè)。注：運(yùn)算中的基數(shù)等于所有體素的特征參數(shù)的總和。第10頁(yè)，共26頁(yè)。重建的物體圖像不是正方形，變成了“星”狀物，中心處吸收系數(shù)值越大，離中心越遠(yuǎn)，這就是圖像的邊緣失銳。第11頁(yè)，共26頁(yè)。消除云暈狀陰影的數(shù)理基礎(chǔ)直接反投影得到的密度函數(shù)：反投影密度函數(shù)與實(shí)際密度函數(shù)之間的關(guān)系：第12頁(yè)，共26頁(yè)。時(shí)域中兩個(gè)函數(shù)的卷積的傅立葉變換是這兩個(gè)函數(shù)的傅立葉變換的乘積。第13頁(yè)，共

4、26頁(yè)。2D IFT空間域頻域2D FT直接反投影第14頁(yè)，共26頁(yè)。（2）濾波反投影法原理：對(duì)一維投影函數(shù)作濾波處理，得到修正后的投影函數(shù)。然后再將此投影后的函數(shù)作反投影運(yùn)算，得出原始的密度函數(shù)。關(guān)鍵問題：如何修正投影函數(shù)使之在作反投影后能重建得出原始密度函數(shù)。第15頁(yè)，共26頁(yè)。密度函數(shù)的二維傅立葉反變換：第16頁(yè)，共26頁(yè)。1D FT空間域頻域1D IFT第17頁(yè)，共26頁(yè)。（3）卷積反投影法卷積反投影函數(shù)改寫成卷積的形式：算法特點(diǎn)：將投影函數(shù)g(R)直接在空域中進(jìn)行修正，即將g(R)與一個(gè)事先設(shè)計(jì)好地卷積函數(shù)C(R)進(jìn)行卷積運(yùn)算，然后將卷積后的結(jié)果作反投影。卷積函數(shù)C(R)第18頁(yè)，共

5、26頁(yè)。卷積函數(shù)因不可積，故對(duì)重新定義如下：最后得卷積函數(shù)的選擇是卷積反投影方法中的關(guān)鍵問題。在實(shí)際的系統(tǒng)中選擇卷積函數(shù)時(shí)還要考慮到許多其他的因素，包括系統(tǒng)的帶寬、信噪比與分辨率等。第19頁(yè)，共26頁(yè)。五、圖像重建算法 扇形束反投影重建算法（1）等角度扇形束掃描的 圖像重建（2）檢測(cè)器等距扇形束掃 描的圖像重建（3）數(shù)據(jù)重排算法第20頁(yè)，共26頁(yè)。（1）等角度扇形束掃描的圖像重建注：射線SA相當(dāng)于平行束中投影角為,距離RDsin的那一條射線。0 xySDmRA檢測(cè)器排列X射線源第21頁(yè)，共26頁(yè)。平行束卷積反投影重建圖像的公式：利用積分式展開，可表示如下：第22頁(yè)，共26頁(yè)。由+，R=Dsin可得：假設(shè)條件，當(dāng)時(shí)，g(R)=0，則第23頁(yè)，共26頁(yè)。（2）檢測(cè)器等距扇形束掃描的圖像重建0 xySDRB檢測(cè)器排列X射線源tAsWD1D2D1D2注：射線SA相當(dāng)于平行束中投影角為,距離Rscos的那一條射線。第24頁(yè)，共26頁(yè)。將代入平行束投影的圖像重建表達(dá)式，則：第25頁(yè)，共26頁(yè)。（3）數(shù)據(jù)重排算法原理：將扇形束情況下得到的全部投影數(shù)據(jù)重新組合成平行