1、例：射擊彈著點的位置。須由平面直角坐標(biāo)系的兩個坐標(biāo)確定定義3：設(shè)E為隨機試驗，樣本空間為，X和Y是定義在 上的 兩個隨機變量，向量（ X，Y）稱為二維隨機變量 由于這些隨機變量共處于同一隨機試驗中，它們是相互聯(lián)系的，因此單獨研究某一個是不夠的，必須考慮各個變量的相互關(guān)系，把其作為一個整體（即隨機變量）來討論。同時擲兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)。須由兩個隨機變量來描述3.1 二維隨機變量及及其分布函數(shù) 對于二維隨機變量（ X，Y），既要研究（ X，Y）作為整體的分布及相互關(guān)系，又要研究它們自身的分布 。3.1 二維隨機變量一 二維隨機變量的定義1 二 二維隨機變量的分布 1 二維隨機變量的聯(lián)合分布定義3.

2、1.1 設(shè)（ X，Y）為二維隨機變量，對于任意的x，y， 二元函數(shù) F(x ,y)=p(Xx ,Yy) 稱為（ X，Y）的分布函數(shù)?；蚍Q為 X與Y的聯(lián)合分布函數(shù) 聯(lián)合分布函數(shù)的幾何含義： 聯(lián)合分布函數(shù)在點(x , y)處的函數(shù)值F(x , y) 就表示隨機點落在以(x ,y)為頂點的左下方的無窮矩形區(qū)域 (- u x , - x1時，F(xiàn)(x2 , y) F(x1 , y) 對任意固定的 x，當(dāng) y2 y1時，F(xiàn)(x , y2) F(x , y1) 2oxx1 x2 yy1 y2 (2) 對任意的 x 和 y 都有：0 F(x , y) 1(x , y) xyo (3) 對 x 和 y ， F(

3、x , y) 都是右連續(xù)的 (4) 當(dāng) x1 x2 ， y1 y2 時，有 P(x1X x2 , y1Y y2) = F(x2, y2) - F(x2, y1) - F(x1, y2) + F(x1, y1)3 定義：二維隨機變量 (X,Y ) 中，隨機變量X（或Y）自身的 分布稱為(X ,Y )關(guān)于X （或Y）的邊緣分布。 結(jié)論：設(shè)(X , Y ) 的聯(lián)合分布函數(shù)為 F(x , y)，則有2 邊緣分布邊緣分布函數(shù)：X的分布函數(shù) FX (x) 和 Y的分布函數(shù)FY ( y)邊緣分布函數(shù)可由聯(lián)合分布函數(shù)確定。 邊緣分布從某種意義看，就是一維隨機變量的分布，它具有一維分布的性質(zhì)。只不過邊緣分布在二

4、維空間考慮。4二維離散型隨 機 變 量5定義：如果二維隨機變量 (X , Y ) 所有可能取的數(shù)對是 有限個或可列個，則稱 (X , Y ) 為二維離散型隨機變量。3.2 二維離散型隨機變量 1 二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布 y jy 2y 1x 1x 2x ip 11p 12p 1jp 21p 22p 2jp i1p i2p i j Y X 設(shè)二維離散型隨機變量(X , Y )所有可能取的數(shù)對為 (x i , y j ) (i , j = 1, 2, ) 則 P (X = x i ，Y = y j ) = p i j (i , j = 1, 2, )稱為二維離散型隨機變量(X , Y )的聯(lián)

5、合概率函數(shù)或聯(lián)合分布。 例：同時擲兩枚色子，朝上面的點數(shù)記為X , Y ，則 二維隨機變量(X , Y )為離散型。(X , Y )的聯(lián)合概率函數(shù)表：(1) pi j 0 , i , j = 1 , 2 , 聯(lián)合概率分布的性質(zhì)(2)6（ X , Y）的可能取值為：（i，j）， i，j=1，2，3例： 盒中裝有標(biāo)號1，2，2，3的4個球，從中任取一個并且不再放回，然后再從盒中任取一球。以X , Y分別記為第一，二次取到球上的號碼數(shù)，求（ X , Y）的聯(lián)合分布。解： P(X=1,Y=1)= P(X=1,Y=2)= P(X=1,Y=3)= P(X=2,Y=1)= P(X=2,Y=2)= P(X=2

6、,Y=3)= P(X=3,Y=1)= P(X=3,Y=2)= P(X=3,Y=3)= 0 011Y X 01/ 121/ 61/ 61/ 61/ 61/ 1201/ 62332（ X , Y）的聯(lián)合概率分布表：(X , Y )的聯(lián)合分布函數(shù)7設(shè)二維隨機變量(X , Y )的聯(lián)合分布律為 P (X = x i ，Y= y j ) = p i j (i , j = 1, 2, ) y jy 2y 1x 1x 2x ip 11p 12p 1jp 21p 22p 2jp i1p i2p i jY X 1 p i(1) 行和 p1(1) p2(1) pi(1) pj (2) 列和 p1(2) p 2(2

7、) pj(2)則2 二維離散型隨機變量的邊緣分布稱為二維隨機變量(X , Y )關(guān)于X , Y的邊緣分布8注意：聯(lián)合分布唯一確定邊緣分布，邊緣分布不能唯一地 確定聯(lián)合分布。二維隨機變量(X , Y )關(guān)于X , Y的邊緣分布x1XP2(1)P1(1)Pi(1)xi.x2Pi(1).y1YP2(2)P1(2)Pj(2)yj.y2Pj(2).11Y X 01/ 121/ 61/ 61/ 61/ 61/ 1201/ 62332例：（X , Y）的聯(lián)合概率分布求：X , Y的邊緣分布解：X , Y的邊緣分布1pX 1/21/41/4321pY 1/21/41/432那么其邊緣分布函數(shù)為：9二維連續(xù)型隨

8、 機 變 量10定義： 設(shè)二維隨機向量(X ,Y)的分布函數(shù)為 F(x , y)。 如果存在非負可積函數(shù) f (x , y)，使得3.3 二維連續(xù)型隨機變量則稱 (X , Y) 為二維連續(xù)型隨機變量，f (x, y) 稱為 (X , Y ) 的聯(lián)合概率密度函數(shù)，或簡稱聯(lián)合密度。1 聯(lián)合密度函數(shù) 二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合密度的基本性質(zhì)(1) f (x, y) 0 x , y R(2)11給出聯(lián)合密度 f (x, y) 后，事件 (X ,Y) G的概率都可用二重積分表示，然后化為累次積分計算 OxyabG 1(x) 2(x)當(dāng) G 為長方形時，OxyabGcd將“”改為“”上式仍然成立。例：(均勻

9、分布)設(shè)二維隨機向量(X ,Y)具有概率密度： f (x, y) =c, ( x , y) G 0 , 其他求： 常數(shù) c 解12例：設(shè)二維隨機向量(X ,Y)具有概率密度： f (x, y) =ce - 3(x + y), 0 x + , 0 y +0 , 其他求：(1) 常數(shù) c ; (2) 聯(lián)合分布函數(shù) F(x , y) ; (3) (X ,Y)落入右上圖所示三角形區(qū)域 G 內(nèi)的概率。解OxyG11x+y=1c = 9(2)當(dāng) 0 x + , 0 y + 時當(dāng) x , y 不都大于0 時=(x , y) xyo13求：(1) 常數(shù) c ; (2) 聯(lián)合分布函數(shù) F(x , y) ; (3

10、) (X ,Y)落入右上圖所示三角形區(qū)域 G 內(nèi)的概率。例：設(shè)二維隨機向量(X ,Y)具有概率密度： f (x, y) =ce - 3(x + y), 0 x + , 0 y +0 , 其他解：(3)Oxy1y=1-x1x1- x 0 0 1 14 設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X ,Y)聯(lián)合密度為 f (x , y) ，則其邊緣分布函數(shù)為若記則顯然 fX (x) 0，并且對任意實數(shù) x，都有f X (x) 是 X的密度函數(shù)，稱 fX (x) 是 (X ,Y)關(guān)于X 的邊緣密度函數(shù)。 把稱為(X ,Y)關(guān)于Y的邊緣密度函 數(shù)。 2 邊緣密度函數(shù)求：邊緣密度函數(shù) 例：設(shè)(X ,Y)具有概率密度： f (

11、x, y) =9e - 3(x + y), 0 x ，y 0時 fX (x) =3e - 3x , 0 x +0 , 其他 fY (y) =3e - 3y , 0 y R時當(dāng) x R時 0 x R 0 y R163.5 二維正態(tài)分布 若二維連續(xù)型隨機向量 (X,Y) 的聯(lián)合密度為其中 1 , 2 , 10, 20 ,| |1均為常數(shù)，則稱 (X , Y) 服從參數(shù)為 1 , 2 ,1 , 2 , 的二維正態(tài)分布，記作 (X , Y) N ( 1 , 2 , 12 , 22 , ) ?？汕蟪鲞吘壝芏群瘮?shù)為：表明，二維正態(tài)分布的邊緣分布是一維正態(tài)分布。 X N ( 1 , 12 ) Y N ( 2

12、 ,22 ) 17稱為在Y=y 條件下X 的條件分布（或條件密度函數(shù)）。1 條件密度函數(shù)稱為在X =x 條件下Y的條件分布（或條件密度函數(shù)）。 設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X ,Y)聯(lián)合密度為 f (x , y) ，邊緣密度函數(shù)為fX (x) , fY (y) 18解： 0 其他例：設(shè) (X, Y) f (x, y)=求：條件密度函數(shù) f (x | y)， f (y | x) 0 其他 0 其他對于滿足 y 0，則： 0 其他 0 其他對于滿足 x 0，則：192 連續(xù)型隨機變量的獨立性 設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X ,Y)聯(lián)合密度為 f (x , y) ，邊緣密度函數(shù)為fX (x) , fY (y) ，若f (x , y)= fX (x) fY(y) ，則X ,Y獨立例：設(shè) (X, Y) f (x, y)=判斷X，Y是否獨立 0 其他解：