1、第三節(jié)平行關(guān)系1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理若平面外一條直線與此_的一條直線平行,則該直線與此平面平行(線線平行線面平行)_,_,_,l性質(zhì)定理如果一條直線與一個(gè)平面平行,那么過該直線的任意一個(gè)平面與已知平面的_與該直線平行(線面平行線線平行)_,_,_,lb平面內(nèi)交線laalll=b2.平面與平面平行的判定與性質(zhì)文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條_都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行(線面平行面面平行)_,_,_,_,_,性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面_,那么它們的_平行_,_,_,ab相交直線abab=Pab相交交線=a=b判斷

2、下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”).(1)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行.()(2)如果兩個(gè)平面平行,那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.()(3)若直線a與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行,則a.()(4)若直線a平面,P,則過點(diǎn)P且平行于直線a的直線有無數(shù)條.()(5)若平面平面,直線a平面,則直線a平面.()【解析】(1)錯(cuò)誤.當(dāng)這兩條直線為相交直線時(shí),才能保證這兩個(gè)平面平行.(2)正確.如果兩個(gè)平面平行,則在這兩個(gè)平面內(nèi)的直線沒有公共點(diǎn),則它們平行或異面.(3)錯(cuò)誤.若直線a與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行,則a或a.(4)錯(cuò)誤.有且只有一條直線,且該直線為過直

3、線a和點(diǎn)P的平面與平面的交線.(5)錯(cuò)誤.若平面平面,直線a平面,則a或a.答案:(1)(2)(3)(4)(5)1.下列命題中,正確的是()(A)若ab,b,則a(B)若a,b,則ab(C)若a,b,則ab(D)若ab,b,a,則a【解析】選D.由直線與平面平行的判定定理知選項(xiàng)D正確.2.已知直線l,m,平面,下列條件能得出的是()(A)l,m,且l,m(B)l,m,且lm(C)l,m,且lm(D)l,m,且lm【解析】選C.如圖,在正方體AC1中,AA1平面ABCD,BB1平面A1B1C1D1且AA1BB1,則平面ABCD平面A1B1C1D1,故選C.3.直線a不平行于平面,則下列結(jié)論成立的

4、是()(A)內(nèi)的所有直線都與a異面(B)內(nèi)不存在與a平行的直線(C)內(nèi)的直線都與a相交(D)直線a與平面有公共點(diǎn)【解析】選D.因?yàn)橹本€a不平行于平面,則直線a與平面相交或直線a在平面內(nèi),所以選項(xiàng)A,B,C均不正確.故選D.4.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,下列結(jié)論中,正確的結(jié)論是_(只填序號(hào)).AD1BC1;平面AB1D1平面BDC1;AD1DC1;AD1平面BDC1.【解析】借助圖形可知AD1與DC1所在的直線為異面直線,故錯(cuò)誤.答案:考向 1 線面平行的判定與性質(zhì) 【典例1】(1)若一條直線和兩個(gè)相交平面都平行,則這條直線和它們的交線的位置關(guān)系是.(2)如圖,在正方體ABCD-A1

5、B1C1D1中,點(diǎn)N在BD上,點(diǎn)M在B1C上,并且CM=DN.求證:MN平面AA1B1B.【思路點(diǎn)撥】(1)把文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)化為符號(hào)敘述,然后利用線面平行的性質(zhì),把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行.(2)“線線平行”“線面平行”“面面平行”是可以互相轉(zhuǎn)化的.本題可以采用任何一種轉(zhuǎn)化方式.【規(guī)范解答】(1)已知a,a,=l,設(shè)過a的平面=m,a,am.設(shè)過a的平面=n,a,an,mn.n,m,m.又m,=l,ml.al.答案:平行(2)方法一:如圖所示,作MEBC交BB1于E;作NFAD交AB于F,連接EF,則在正方體ABCD-A1B1C1D1中,CM=DN,BD=B1C,B1M=BN.又BD=B1C,又BC

6、=AD,ME=NF.又MEBCADNF,四邊形MEFN為平行四邊形,MNEF.又EF平面AA1B1B,MN平面AA1B1B,MN平面AA1B1B.方法二:過M作MQBB1交BC于Q,連接NQ.MQ平面AA1B1B,BB1平面AA1B1B,MQ平面AA1B1B.由MQBB1得又CM=DN,CB1=DB,NQDC,NQAB.NQ平面AA1B1B,AB平面AA1B1B,NQ平面AA1B1B.又MQNQ=Q,平面MQN平面AA1B1B.又MN平面MQN,MN平面AA1B1B.【互動(dòng)探究】若將本例題(2)中的條件“CM=DN”改為則如何證明?【證明】將 轉(zhuǎn)化為CM=DN.以下同例題.【拓展提升】1.判斷

7、或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn)).(2)利用線面平行的判定定理(a,b,aba).(3)利用面面平行的性質(zhì)(,aa).(4)利用面面平行的性質(zhì)(,a,a,aa).(5)利用空間向量,證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.2.判斷或證明兩直線平行的常用方法(1)利用公理4(ab,bcac).(2)利用線面平行的性質(zhì)定理(a,a,=bab).(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(,=a,=bab).(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理(a,bab).(5)利用向量共線證明.【提醒】利用線面平行的性質(zhì)或判定定理時(shí),適當(dāng)添加輔助線(或面)是解題的常用方法.【變式備選】(1)如圖,四邊形AB

8、CD是平行四邊形,點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn),M是PC的中點(diǎn),在DM上取一點(diǎn)G,過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證:APGH.【證明】如圖,連接AC交BD于點(diǎn)O,連接MO,四邊形ABCD是平行四邊形,O是AC的中點(diǎn).又M是PC的中點(diǎn),APOM.又AP平面BDM,AP平面BDM.平面PAHG平面BDM=GH,PAGH.(2)如圖,在四棱錐P-ABCD中,CDAB,DC= AB,試在線段PB上找一點(diǎn)M,使CM平面PAD,并說明理由.【解析】當(dāng)M為PB的中點(diǎn)時(shí),CM平面PAD.方法一:取AP的中點(diǎn)F,連接CM,FM,DF.則FMAB,FM= AB.CDAB,CD= AB,FMCD,FM=CD,四

9、邊形CDFM為平行四邊形,CMDF.DF平面PAD,CM平面PAD,CM平面PAD.方法二:在四邊形ABCD中,設(shè)BC的延長(zhǎng)線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q,連接PQ,CM.CDAB,QCD=QBA.CQD=BQA,CQDBQA,C為BQ的中點(diǎn).M為BP的中點(diǎn),CMPQ.PQ平面PAD,CM平面PAD,CM平面PAD.方法三:取AB的中點(diǎn)E,連接EM,CE,CM.在四邊形ABCD中,CDAB,CD= AB,E為AB的中點(diǎn),AEDC,且AE=DC,四邊形AECD為平行四邊形.CEDA.DA平面PAD,CE平面PAD,CE平面PAD.同理,根據(jù)E,M分別為BA,BP的中點(diǎn),得EM平面PAD.CE平面CEM

10、,EM平面CEM,CEEM=E,平面CEM平面PAD.CM平面CEM,CM平面PAD.考向 2 面面平行的判定與性質(zhì) 【典例2】(1)(2013西安模擬)設(shè)m,n是平面內(nèi)的兩條不同直線,l1,l2是平面內(nèi)的兩條相交直線,則的一個(gè)充分而不必要條件是()(A)m且l1 (B)ml1且nl2(C)m且n (D)m且nl2(2)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點(diǎn),求證:B,C,H,G四點(diǎn)共面;平面EFA1平面BCHG.【思路點(diǎn)撥】(1)逐項(xiàng)驗(yàn)證,既要驗(yàn)證充分性,還要驗(yàn)證必要性.(2)要證明B,C,H,G四點(diǎn)共面,可證明直線GH與直線BC共面;

11、可利用面面平行的判定定理證明.【規(guī)范解答】(1)選B.對(duì)于選項(xiàng)A,不合題意;對(duì)于選項(xiàng)B,由于l1與l2是相交直線,而且由l1m可得l1,同理可得l2,故可得,充分性成立,而由不一定能得到l1m,l2n,它們也可以異面,故必要性不成立,故選B;對(duì)于選項(xiàng)C,由于m,n不一定相交,故是必要非充分條件;對(duì)于選項(xiàng)D,由nl2可轉(zhuǎn)化為n,同選項(xiàng)C,故不符合題意.綜上選B.(2)G,H分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),GH是A1B1C1的中位線,GHB1C1.又B1C1BC,GHBC,B,C,H,G四點(diǎn)共面.E,F分別是AB,AC的中點(diǎn),EFBC.EF平面BCHG,BC平面BCHG,EF平面BCHG.A1G

12、EB,四邊形A1EBG是平行四邊形,A1EGB.A1E平面BCHG,GB平面BCHG,A1E平面BCHG.A1EEF=E,平面EFA1平面BCHG.【互動(dòng)探究】在本例(2)條件下,若D1,D分別為B1C1,BC的中點(diǎn),求證:平面A1BD1平面AC1D.【證明】如圖所示,連接A1C交AC1于點(diǎn)H,四邊形A1ACC1是平行四邊形,H是A1C的中點(diǎn),連接HD,D為BC的中點(diǎn),A1BHD.A1B平面A1BD1,DH平面A1BD1,DH平面A1BD1.又由三棱柱的性質(zhì)知,D1C1BD,四邊形BDC1D1為平行四邊形,DC1BD1.又DC1平面A1BD1,BD1平面A1BD1,DC1平面A1BD1,又DC

13、1DH=D,平面A1BD1平面AC1D.【拓展提升】1.判定面面平行的四個(gè)方法(1)利用定義:即判斷兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn).(2)利用面面平行的判定定理.(3)利用垂直于同一條直線的兩平面平行.(4)利用平面平行的傳遞性,即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行.2.面面平行的性質(zhì)(1)兩平面平行,則一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一平面.(2)若一平面與兩平行平面相交,則交線平行.【變式備選】如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABC=ACD=90, BAC=CAD=60,PA平面ABCD,E為PD的中點(diǎn),AB=1.證明:直線CE平面PAB.【證明】取AD中點(diǎn)F,連接EF,CF,在PAD中,EF是中位

14、線,可得EFPA.EF平面PAB,PA平面PAB,EF平面PAB.RtABC中,AB=1,BAC=60,又RtACD中,CAD=60,AD=4,結(jié)合F為AD中點(diǎn),得ACF是等邊三角形,ACF=BAC=60,可得CFAB.CF平面PAB,AB平面PAB,CF平面PAB.EF,CF是平面CEF內(nèi)的相交直線,平面CEF平面PAB.CE平面CEF,CE平面PAB.【典例3】如圖所示,平面平面,點(diǎn)A,點(diǎn)C,點(diǎn)B,點(diǎn)D,點(diǎn)E,F分別在線段AB,CD上,且AEEB=CFFD.(1)求證:EF.(2)若E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角為60,求EF的長(zhǎng).考向 3 平行關(guān)系

15、的綜合應(yīng)用 【思路點(diǎn)撥】(1)要證EF,可轉(zhuǎn)化為證明EF與內(nèi)的某一直線平行或證明EF所在的平面與平行.(2)以EF為邊構(gòu)造三角形可求得EF的長(zhǎng).【規(guī)范解答】(1)當(dāng)AB,CD在同一平面內(nèi)時(shí),由,平面平面ABDC=AC,平面平面ABDC=BD,ACBD.AEEB=CFFD,EFBD.又EF,BD,EF. 當(dāng)AB與CD異面時(shí),設(shè)平面ACD=DH,且DH=AC.,平面ACDH=AC,ACDH,四邊形ACDH是平行四邊形.在AH上取一點(diǎn)G,使AGGH=CFFD,得GFHD.又AEEB=CFFD=AGGH,EGBH.又EGGF=G,平面EFG平面.又EF平面EFG,EF.綜上,EF.（2）如圖所示，連接

16、AD，取AD的中點(diǎn)M，連接ME，MF.E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，MEBD，MFAC，且ME= BD=3，MF= AC=2，EMF為AC與BD所成的角（或其補(bǔ)角），EMF=60或120.在EFM中由余弦定理得即EF= 或EF=【拓展提升】三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化方向及注意事項(xiàng)(1)轉(zhuǎn)化方向如圖所示:(2)注意事項(xiàng)在應(yīng)用線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時(shí),一定要注意定理成立的條件,嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟,如把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí),必須說清經(jīng)過已知直線的平面與已知平面相交,則直線與交線平行.【變式訓(xùn)練】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心

17、,P是DD1的中點(diǎn),設(shè)Q是CC1上的點(diǎn),問:當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí),平面D1BQ平面PAO?【解析】當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí),平面D1BQ平面PAO.證明如下:Q為CC1的中點(diǎn),P為DD1的中點(diǎn),QBPA.P,O分別為DD1,DB的中點(diǎn),D1BPO.又D1B平面PAO,PO平面PAO,QB平面PAO,PA平面PAO,D1B平面PAO,QB平面PAO,又D1BQB=B,D1B,QB平面D1BQ,平面D1BQ平面PAO.【滿分指導(dǎo)】平行關(guān)系證明題的規(guī)范解答 【典例】(12分)(2012山東高考)如圖,幾何體E-ABCD是四棱錐,ABD為正三角形,CB=CD,ECBD.(1)求證:BE=DE.(2)若BCD

18、=120,M為線段AE的中點(diǎn),求證:DM平面BEC.【思路點(diǎn)撥】已知條件條件分析ABD為正三角形三角形三個(gè)內(nèi)角相等,三邊相等CB=CDCBD為等腰三角形,若O為DB的中點(diǎn),則COBDECBD證明線面垂直M為AE的中點(diǎn)可構(gòu)造三角形的中位線【規(guī)范解答】（1）取BD的中點(diǎn)O，連接CO，EO.由于CB=CD，所以COBD.1分又ECBD，ECCO=C，CO，EC平面EOC，所以BD平面EOC，所以BDOE.3分又O為BD的中點(diǎn)，所以BE=DE.5分（2）方法一：取AB的中點(diǎn)N，連接DM，DN，MN.因?yàn)镸是AE的中點(diǎn)，所以MNBE.6分又MN平面BEC，BE平面BEC，所以MN平面BEC.7分又因?yàn)锳

19、BD為正三角形,所以BDN=30.又CB=CD，BCD=120，因此CBD=30，所以DNBC.9分又DN平面BEC，BC平面BEC，所以DN平面BEC.又MNDN=N，故平面DMN平面BEC.11分又DM平面DMN，所以DM平面BEC.12分方法二：延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)F，連接EF.因?yàn)镃B=CD，BCD=120，所以CBD=30.7分因?yàn)锳BD為正三角形，所以BAD=ABD=60，ABC=90，所以AFB=30，所以AB= AF.9分又AB=AD，所以D為線段AF的中點(diǎn).10分連接DM，由點(diǎn)M是線段AE的中點(diǎn)，因此DMEF. 11分又DM平面BEC，EF平面BEC，所以DM平面BEC.12

20、分【失分警示】(下文見規(guī)范解答過程)1.(2012四川高考)下列命題正確的是()(A)若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等,則這兩條直線平行(B)若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,則這兩個(gè)平面平行(C)若一條直線平行于兩個(gè)相交平面,則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行(D)若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行【解析】選C.利用線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)解答.A錯(cuò)誤,如圓錐的任意兩條母線與底面所成的角相等,但兩條母線相交;B錯(cuò)誤,ABC的三個(gè)頂點(diǎn)中,A,B在的同側(cè),而點(diǎn)C在的另一側(cè),且AB平行于,此時(shí)可有A,B,C三點(diǎn)到平面距離相等,但兩平面相交;D錯(cuò)誤,如教室中兩個(gè)相鄰墻面都與地面

21、垂直,但這兩個(gè)面相交.2.(2013衡水模擬)已知直線m,n和平面,則mn的一個(gè)必要不充分條件是()(A)m,n (B)m,n(C)m,n (D)m,n與成等角【解析】選D.對(duì)于A,m,n為mn的既不充分也不必要條件;對(duì)于B,m,n為mn的充分不必要條件;對(duì)于C,m,n為mn的既不充分也不必要條件;對(duì)于D,m,n與成等角為mn的必要不充分條件,故選D.3.(2013新余模擬)已知直線m,n與平面,給出下列三個(gè)命題:若m,n,則mn;若m,n,則mn;m,m,則.其中真命題的個(gè)數(shù)是()(A)0(B)1(C)2(D)3【解析】選C.對(duì)于,m,n可能平行、相交或異面,正確,所以真命題的個(gè)數(shù)為2.4.

22、(2012遼寧高考改編)如圖,直三棱柱ABC-ABC,BAC=90,AB=AC= AA=1,點(diǎn)M,N分別為AB和BC的中點(diǎn).證明:MN平面AACC.【證明】方法一:連接AB,AC,由已知BAC=90,AB=AC,三棱柱ABC-ABC為直三棱柱, 所以M為AB的中點(diǎn).又因?yàn)镹為BC的中點(diǎn),所以MNAC.又MN平面AACC,AC平面AACC,因此MN平面AACC.方法二:取AB中點(diǎn)P,連接MP,NP,而M,N分別為AB與BC的中點(diǎn),所以MPBBAA,PNAC.因?yàn)镸P,PN平面AACC,AA,AC平面AACC,所以MP平面AACC,PN平面AACC.又MPNP=P,因此平面MPN平面AACC.而M

23、N平面MPN,因此MN平面AACC.1.設(shè),為三個(gè)不同的平面,m,n是兩條不同的直線,在命題“=m,n,且,則mn”中的橫線處填入下列三組條件中的一組,使該命題為真命題.,n;m,n;n,m.可以填入的條件有()(A)或 (B)或(C)或 (D)或或【解析】選C.由面面平行的性質(zhì)定理可知,正確;當(dāng)n,m時(shí),n和m在同一平面內(nèi),且沒有公共點(diǎn),所以平行,正確.2.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱AB,CC1的中點(diǎn),在平面ADD1A1內(nèi)且與平面D1EF平行的直線()(A)不存在 (B)有1條(C)有2條 (D)有無數(shù)條【解析】選D.平面ADD1A1與平面D1EF有公共點(diǎn)D1,

24、由平面的基本性質(zhì)中的公理知必有過該點(diǎn)的公共線l,在平面ADD1A1內(nèi)與l平行的線有無數(shù)條,且它們都不在平面D1EF內(nèi),由線面平行的判定定理知它們都與平面D1EF平行,故選D.第四節(jié)垂直關(guān)系1.直線與平面垂直(1)定義條件:直線l與平面內(nèi)的_一條直線都垂直.結(jié)論:直線l與平面垂直.任何（2）判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條_直線都垂直,那么該直線與此平面垂直_,_,_,_,_,l性質(zhì)定理如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線_,_,ab相交lalbabab=Aab平行2.二面角二面角的定義從一條直線出發(fā)的_所組成的圖形叫作二面角.這條直線叫作

25、二面角的_,這兩個(gè)半平面叫作二面角的_二面角的度量二面角的平面角以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作_棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角.平面角是_的二面角叫作直二面角兩個(gè)半平面棱面垂直于直角3.平面與平面垂直(1)定義:兩個(gè)平面相交,如果所成的二面角是_,就說這兩個(gè)平面互相垂直.直二面角(2)定理 文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條_,那么這兩個(gè)平面互相垂直.AB_性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們_的直線垂直于另一個(gè)平面.=MNAB_AB垂線AB交線ABMN于點(diǎn)B判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”).

26、(1)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直,則l.()(2)若直線a平面,直線b,則直線a與b垂直.()(3)異面直線所成的角與二面角的取值范圍均為(0, .()(4)二面角是指兩個(gè)相交平面構(gòu)成的圖形.()(5)若兩個(gè)平面垂直,則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.()(6)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,則.()【解析】(1)錯(cuò)誤.直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直時(shí),直線l與平面可平行,可相交,直線l也可在平面內(nèi).(2)正確.由b可得b平行于內(nèi)的一條直線,設(shè)為b,因?yàn)閍,所以ab,從而ab.(3)錯(cuò)誤.異面直線所成角的范圍是(0, ,而二面角的范圍是0,.(4)錯(cuò)誤.二面角

27、是從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形.(5)錯(cuò)誤.若平面平面,則平面內(nèi)的直線l與可平行,可相交,也可在平面內(nèi).(6)錯(cuò)誤.平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,不能保證該直線垂直于此平面,故不能推出.答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)1.設(shè),為不重合的平面,m,n為不重合的直線,則下列命題正確的是()(A)若,=n,mn,則m(B)若m,n,mn,則n(C)若n,n,m,則m(D)若m,n,mn,則【解析】選C.C選項(xiàng)中,n,n,.又m,m.2.設(shè)a,b,c表示三條不同的直線,表示兩個(gè)不同的平面,則下列命題中不正確的是() 【解析】選D.由a,ba可得,b與的位置關(guān)系有:b,b

28、,b與相交,所以D不正確.3.直線a平面,b,則a與b的位置關(guān)系是.【解析】由b可得b平行于內(nèi)的一條直線,設(shè)為b.因?yàn)閍,所以ab,從而ab,但a與b可能相交,也可能異面.答案:垂直4.將正方形ABCD沿AC折成直二面角后,DAB=.【解析】如圖,取AC的中點(diǎn)O,連接DO,BO,則DOAC,BOAC,故DOB為二面角的平面角,從而DOB=90.設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1,則DO=BO= 所以DB=1,故ADB為等邊三角形,所以DAB=60.答案:60考向 1 直線與平面垂直的判定和性質(zhì) 【典例1】(1)(2013海淀模擬)設(shè)l,m,n為三條不同的直,為兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()若l,m,

29、則lm;若m,n,lm,ln,則l;若lm,mn,l,則n;若lm,m,n,則ln.(A)1(B)2(C)3(D)4(2)(2013鷹潭模擬)如圖,三棱錐P-ABC中,PA底面ABC,ABBC,DE垂直平分線段PC,且分別交AC,PC于D,E兩點(diǎn),PB=BC,PA=AB.求證:PC平面BDE;若點(diǎn)Q是線段PA上任一點(diǎn),判斷BD,DQ的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)線面平行、面面平行及線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐個(gè)判斷.(2)利用線面垂直的判定定理證明;證明BD平面PAC即可.【規(guī)范解答】(1)選B.對(duì)于,直線l,m可能互相平行,不正確;對(duì)于,直線m,n可能是平行直線,此時(shí)不

30、能得l,不正確;對(duì)于,由“平行于同一條直線的兩條直線平行”與“若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面”得知,正確;對(duì)于,由lm,m得l,由n,得n,因此有l(wèi)n,正確.綜上所述,其中命題正確的個(gè)數(shù)是2,故選B.(2)DE垂直平分線段PC,PB=PC,DEPC,BEPC,又BEDE=E,PC平面BDE.由得,PCBD.PA底面ABC,PABD.又PCPA=P,BD平面PAC,當(dāng)點(diǎn)Q是線段PA上任一點(diǎn)時(shí)都有BDDQ.【互動(dòng)探究】本例題(2)若改為“設(shè)Q是線段PA上任意一點(diǎn),求證:平面BDQ平面PAC”,如何證明?【證明】由(2)的解法可知BD平面PAC.又BD平面BDQ,平面B

31、DQ平面PAC.【拓展提升】1.判定線面垂直的四種方法方法一:利用線面垂直的判定定理.方法二:利用“兩平行線中的一條與平面垂直,則另一條也與這個(gè)平面垂直”.方法三:利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè),則與另一個(gè)也垂直”.方法四:利用面面垂直的性質(zhì)定理.2.線面垂直性質(zhì)的重要應(yīng)用當(dāng)直線和平面垂直時(shí),則直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直,給我們提供了證明空間兩線垂直的一種重要方法.【提醒】解題時(shí)一定要嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫過程,如用判定定理證明線面垂直時(shí),一定要體現(xiàn)出“平面中的兩條相交直線”這一條件.【變式備選】如圖,幾何體ABCDPE中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,PA平面ABCD,P

32、AEB,且PA=2BE= (1)證明:BD平面PEC.(2)若G為BC上的動(dòng)點(diǎn),求證:AEPG. 【證明】(1)連接AC交BD于點(diǎn)O,取PC的中點(diǎn)F,連接OF,EF,EBPA,且EB= PA,又OFPA,且OF= PA,EBOF,且EB=OF,四邊形EBOF為平行四邊形,EFBD.又EF平面PEC,BD平面PEC,BD平面PEC.(2)連接BP, EBA=BAP=90,EBABAP,PBA=BEA,PBA+BAE=BEA+BAE=90,PBAE.PA平面ABCD,PA平面APEB,平面ABCD平面APEB.BCAB,平面ABCD平面APEB=AB,BC平面APEB,BCAE.又BCPB=B,A

33、E平面PBC.G為BC上的動(dòng)點(diǎn),PG平面PBC,AEPG.考向 2 面面垂直的判定與性質(zhì)【典例2】(2013惠州模擬)如圖所示,ABC為正三角形,CE平面ABC,BDCE,CE=CA=2BD,M是EA的中點(diǎn).求證:(1)DE=DA.(2)平面BDM平面ECA.【思路點(diǎn)撥】(1)由于CE=2BD,故可考慮取CE的中點(diǎn)F,通過證明DEFADB來證明DE=DA.(2)證明面面垂直,應(yīng)先證明線面垂直.【規(guī)范解答】(1)取CE的中點(diǎn)F,連接DF.CE平面ABC,CEBC.BDCE,BD= CE=CF=FE,四邊形FCBD是矩形,DFEC.又BA=BC=DF,RtDEFRtADB,DE=DA.(2)取AC

34、中點(diǎn)N,連接MN,NB,M是EA的中點(diǎn),MN CE.由BD CE,且BD平面ABC,可得四邊形MNBD是矩形,于是DMMN.DE=DA,M是EA的中點(diǎn),DMEA.又EAMN=M,DM平面ECA,而DM平面BDM,平面BDM平面ECA.【拓展提升】 1.面面垂直的兩個(gè)證明思路(1)用面面垂直的判定定理,即先證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線.(2)用面面垂直的定義,即證明兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角,把證明面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題.2.面面垂直的性質(zhì)應(yīng)用技巧兩平面垂直,在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面.這是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù).運(yùn)用時(shí)要注意“平面

35、內(nèi)的直線”.【變式訓(xùn)練】(2013寶雞模擬)如圖,矩形ABCD中,ABBC,E,F分別在線段BC和AD上,EFAB,將矩形ABEF沿EF折起,記折起后的矩形為MNEF,且平面MNEF平面ECDF.(1)求證:NC平面MFD.(2)若EC=CD,求證:NDFC.【證明】(1)因?yàn)樗倪呅蜯NEF,ECDF都是矩形,所以MNEFCD,MN=EF=CD.所以四邊形MNCD是平行四邊形,所以NCMD.因?yàn)镹C平面MFD,MD平面MFD,所以NC平面MFD.(2)連接ED,因?yàn)槠矫鍹NEF平面ECDF,且NEEF,所以NE平面ECDF,所以FCNE.又EC=CD,四邊形ECDF為正方形,所以FCED.又N

36、EED=E,所以FC平面NED.又ND平面NED,所以NDFC.考向 3 垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用【典例3】如圖所示,M,N,K分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,C1D1的中點(diǎn).求證:(1)AN平面A1MK.(2)平面A1B1C平面A1MK.【思路點(diǎn)撥】(1)要證線面平行,需證線線平行.(2)要證面面垂直,需證線面垂直. 【規(guī)范解答】(1)如圖所示,連接NK.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,四邊形AA1D1D,DD1C1C都為正方形,AA1DD1,AA1=DD1,C1D1CD,C1D1=CD.N,K分別為CD,C1D1的中點(diǎn),DND1K,DN=D1K,四邊形DD1KN為平行

37、四邊形.KNDD1,KN=DD1,AA1KN,AA1=KN,四邊形AA1KN為平行四邊形,ANA1K.A1K平面A1MK,AN平面A1MK,AN平面A1MK.(2)連接BC1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,ABC1D1,AB=C1D1.M,K分別為AB,C1D1的中點(diǎn),BMC1K,BM=C1K,四邊形BC1KM為平行四邊形,MKBC1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1B1平面BB1C1C,BC1平面BB1C1C,A1B1BC1.MKBC1,A1B1MK.四邊形BB1C1C為正方形,BC1B1C.MKB1C.A1B1平面A1B1C,B1C平面A1B1C,A1B1B1C=B1,M

38、K平面A1B1C.又MK平面A1MK,平面A1B1C平面A1MK.【拓展提升】垂直關(guān)系綜合題的類型及解法(1)三種垂直的綜合問題,一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.(2)垂直與平行結(jié)合問題,求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.(3)垂直與體積結(jié)合問題,在求體積時(shí),可根據(jù)線面垂直得到表示高的線段,進(jìn)而求得體積.【變式訓(xùn)練】(2013唐山模擬)如圖,已知三棱錐A-BPC中,APPC,ACBC,M為AB的中點(diǎn),D為PB的中點(diǎn),且PMB為正三角形.(1)求證:DM平面APC.(2)求證:平面ABC平面APC.【證明】(1)M為AB中點(diǎn),D為PB中點(diǎn),DMAP.又DM平面APC

39、,AP平面APC,DM平面APC.(2)PMB為正三角形,且D為PB中點(diǎn),DMPB.又由(1)知DMAP,APPB.又APPC,PBPC=P,AP平面PBC,APBC.又ACBC,APAC=A,BC平面APC.又BC平面ABC,平面ABC平面APC.【滿分指導(dǎo)】解決垂直關(guān)系綜合問題的規(guī)范解答【典例】(12分)(2012廣東高考)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,AB平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB的中點(diǎn),F是DC上的點(diǎn)且DF= AB,PH為PAD中AD邊上的高.(1)證明:PH平面ABCD.(2)若PH=1,AD= ,FC=1,求三棱錐E-BCF的體積.(3)證明:EF平面PAB.【

40、思路點(diǎn)撥】已知條件條件分析AB平面PADAB垂直平面PAD內(nèi)的所有直線E是PB的中點(diǎn)三棱錐E-BCF的高為PH的一半E為PB的中點(diǎn),DF AB可作出PA的中點(diǎn)G,利用三角形的中位線可得GE DF【規(guī)范解答】(1)由于AB平面PAD,PH平面PAD,故ABPH.1分又PH為PAD中AD邊上的高,故ADPH.2分ABAD=A,AB平面ABCD,AD平面ABCD,PH平面ABCD.4分（2）由于PH平面ABCD，E為PB的中點(diǎn)，PH=1，故E到平面ABCD的距離h= PH= .5分又因?yàn)锳BCD，ABAD，所以ADCD，6分故 7分因此 8分（3）過E作EGAB交PA于G，連接DG.由于E為PB的中

41、點(diǎn)，G為PA的中點(diǎn).AD=PD，故DPA為等腰三角形，DGAP.AB平面PAD，DG平面PAD，ABDG. 10分9分又ABPA=A，AB平面PAB，PA平面PAB，DG平面PAB.11分又GE AB,DF AB,GE DF.四邊形DFEG為平行四邊形，故DGEF.EF平面PAB.12分【失分警示】(下文見規(guī)范解答過程)1.(2013宿州模擬)已知兩條不同的直線m,n,兩個(gè)不同的平面,則下列命題中的真命題是()(A)若m,n,則mn(B)若m,n,則mn(C)若m,n,則mn(D)若m,n,則mn【解析】選A.由m,可得m或m,又n,故mn,即A正確;如圖(1),m,n,但mn,故C錯(cuò);如圖(2)知B錯(cuò);如圖(3)正方體中,m,n,但m,n相交,故D錯(cuò).2.(2013上饒模擬)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,線段AC1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F,且EF= .給出下列四