1、數(shù)學二次根式比較大小方式I I I I I 11 11 I I I I I 11 11 I I I I I 11 11 I I I I I 11 11 I I I I I 11 11 I I I I I 11 11 I I I I I 1111 1111二次根式是初中數(shù)學的重點內(nèi)容之一，而比較二次根式的大小又是中考和數(shù)學競賽的常見題型.解決這種問 題，除必需把握二次根式的大體性質(zhì)和運算法那么，還要依照問題的具體結(jié)構(gòu)特點，多角度地探討試探，靈活選用 不同的思維方式.為幫忙同窗們把握好這種問題，本文介紹幾種比較二次根式大小經(jīng)常使用的方式和比較技術(shù)，供 同窗們參考。一：常規(guī)比較法：系數(shù)比較法（觀看被

2、開方數(shù)化簡后能成為同類二次根式）此方式適用于兩個單個二次根式的比較或一個根式與一個有理數(shù)的比較。被開方數(shù)相同（不是最簡的化為最 簡后）的幾個二次根式比較大小。把要比較大小的幾個二次根式化為除系數(shù)外完全相同的根式即同類二次根式， 系數(shù)大的值就大。例如：5、/2與3比較大小。被開方數(shù)比較法（觀看被開方數(shù)化簡后不相同）此方式適用于兩個單個二次根式的比較，系數(shù)不相同且被開方數(shù)不同的幾個二次根式。一樣地，把要比較大 小根式的根號外的數(shù)值（正系數(shù)或正因式）移入根號內(nèi)，轉(zhuǎn)化為比較被開方數(shù)的大小，被開方數(shù)大的值就大。大體思路：當aQ,b0時，假設要比較形如a與b的兩數(shù)大小，可先把根號外的正因數(shù)a與b的平方后移

3、入根號內(nèi)，再依 照被開放數(shù)的大小進行比較。（1）例如：比較76與67的大小.解析因為 76 f 72 x 6 296 ； 6頂=代2 x 7 = 422,而 296252，那么 如252，因此7（6 6顯03 2 0,那么a b ；假設a b 0 ,那么a b；假設a b = 0 ,那么a = b。大體思路：設a、b為任意兩個實數(shù)，先求出a與b的差，再依照當ab0時，ab；當ab=0時，a=b；當ab0 時，ab”來比較a與b的大小。(1)例如：比較5 - 3和2 + %.：3的大小解:.(再( +容)=3 2 板3 =、 V12 05 -、* 0因此 3 / 76 2例如：比較 V2003-

4、1/V2004-1 與2003+1/2004+1 的大小.分析觀看到兩個式子的分母相乘可用平方差公式，結(jié)果為一整數(shù)，于是作差進行比較.“比差法”是一種經(jīng)常使用的比較方式，一樣說若是兩個二次根式顯現(xiàn)某些同類二次根式，就要考慮采納 這種方式。(3)例如：比較亍i與打1的大小。解：由，。一1有意思的條件，a 1 0，得a 1，于是ta 1 0，.(.a1)G1)=2 拓2=2(.a)= 2(a) 0, a 1比平方式：兩邊同時平方，轉(zhuǎn)化為比較幕的大小確實是先將兩個根式各自平方，然后比較平方后的大小，再說明原數(shù)的大小，即，假設a 0，b 0，且a2 b2，那么 a b ；假設 a 0，b b2，那么

5、a 0,b0時，可由a2b2取得ab”來比較大小，這種方式經(jīng)常使用 于比較無理數(shù)的大小。例如：(1)試比較5+13，7+11與8十”10的大??；(1)分析觀看發(fā)覺，每組均為兩個二次根式之和，可將其平方后再進行比較;（2）進一步觀看發(fā)覺，每組中兩個二次根式的被開方數(shù)之和相等，兩個被開方數(shù)愈來愈接近。結(jié)合考慮每組 的大小關系，即可提出猜想.解答略。猜想：假設 0abWcd,那么a+db+c（1）例如：比較 0 偵 7 +七8 0而（否 +而）2 = 15 + 250（3 + *）2 = 15 + 2.席又 15 + 2質(zhì) 15 + 56.（拓+而2 （*7 +盈）2偵5 + v 10 0； t百

6、+拓 0,而 20 + 2 ；克 20 + 2%希，因此 &3 +、7 、 +3.比值法（求商法）：通過比較兩式的商與1的大小來確信原式的大小若是a、b都是正實數(shù)，假設a 1,那么a b ；假設a 1,那么a b；假設a = 1,那么a = b。bbb大體思路：設a、b為任意兩個實數(shù)，先求出a與b的商，再依照“當 比值1時，a1時，ab”來比較a與b的大小。(1)例如：假設a b 0,試比較：b與ta + 2008 一招b + 2008的大小.解析 因為a b 0,因此 y a 、,：b 0,、ja + 2008 y b + 2008 0，* Jb(新3 )(va + 2008 +、b + 2

7、008)而= ，一.a 一 bv a + -b因此 *a -污 v a + 2008 、b + 2008例如：比較a+1/a+4與a+2/a+3的大小。分析觀看發(fā)覺，此題仍可運用“比差法”比較大小，但作商進行比較，計算也很方便.解答略（2）例如：比較二7與亳5的大小、.：52解：巨二宜 奠12375:超級規(guī)法：倒數(shù)法:先求出各自的倒數(shù),通過比較倒數(shù)的大小來確信原式的大小大體思路：設a、b為任意兩個正實數(shù)，先別離求出a與b的倒數(shù)，再依照當1/a 1/b時，ab；當1 /a =1/b時，a=b； 當1/a1/b時，ab”來比較a與b的大小。例如：比較如2008 2001與V 2007 *2006的

8、大小解析 2008 - 2007 =扣2008 + 氣；2007 ；_2= = v 2007 + * 2006 即一:一:2008 - * 20072007 - 2006因此 v2008 -、2007 * 2003 + *2002, * 2004 - 2003 、2003 -、2002分母有理化法:各自先分母有理化,再進行比較（1）例如： 比較 3 1 -與 萬氣 的大小.解析各自先分母有理化,3 + W 17 + 3=2 寸7 -、/：523 +目 （2）例如：比較.麗1 兩奉與.面4 芯f的大小解：-=、15 +.: W4 , 1995 - 1994-= 、1994 1993.11 , 七

9、麗-麗4 （1W -、193對根式瑚。-b與c -、d，假設a b = c d，可用此法。分子有理化法:將各自先分子有理化，再比較大小先將分式里分子中的根號化去后，再把結(jié)果進行比較，即能夠判定原先的根式的大小。7 -、： 6 . x 6 %：5 時（1）例如：比較一 J與的大小 TOC o 1-5 h z 3七32攔解：=_1,解 3撲3*（萬+據(jù)）.6 - t5 _12巨 一2克（而+3）*而 3 打 2, m + -J6 J6 +3v7 -優(yōu) 據(jù)-*51,試比較如a 一、。-1與飛a + 1 一 。的大小.一 :7 (va a 1)G a + %a 1)解析 a 、：a 1 =a +、：

10、a 11v a + %： a 1： a +1 a =(%，a +1 x a )(a +1 + 4a)x a +1 + a因為 ka + a 1 , .a + x a 1 x a +1 + 氣 a即 卬+17.1,1. 49 + 而 而 +、.1：19 .18 v v18 -(4)例如：比較話-3與仍一JH的大小。足一厄二解：因為而應十妲)如十應22因此如十如如十TH因此邱-扼十如-面10.比中介值法(傳遞法)：通過兩式對第三量的比較，來確信原式的大小這種方式確實是利用不等式的傳遞性：若是a b, b c。(1)例如：比較v 2006 1與1949 +1的大小.解析 2006 -1 v 2025

11、 -1 = 45 -1 = 44 ；1849 +1 = 43 +1 = 44 因此略2006 -1 瑚149 +1例如：已知 0 xl,比較1+x”2+1+(1 x)”2 與 22 1 的大小分析由條件 0 x1,可知1+x21,1+(1 x)”2l，于是1+x2+1+(1 x)”22，而 22 1 0, m 2003 2004, m - 2004 0, 2n點m- 2004 2n +1 m 2004.例如：比較拓7 - 2與再+ 2的大小解：6 37 4又.1 * 2. * + 2 、；b + C，且氣.m Jn，那么 A B ； 假設、a + xb tb + x C，且 tm yn，那么

12、A B。例1， 比較13 - /42 + 2與11-2打0 + .日的大小 解：. 13 - 2.知 +、2 = ( 7 -拓)11 - 2 氣旬 +、3 = (7 -、.6)而由方式六可知(.7 -插)(6 -否)(.7-.柘)+ 2 (6-弟)即 13 - /42 + 巨 11 - 2 （旬 + 里運用放縮變換局部放縮比較1111(1)例如：比較1+ ?= + ?= + = +與75的大小。7 2 J5 4 - + + - + + = - = V3 V? /5 V5 5 V5 V5 x/5 J5.1 + 土 + 土 +上+ 土思 J2 3 J4 J5(2)例如：M依+ 2與姊一2的大小。解

13、：因為，而3，7757履因此癡 + 2 5 /57 - 2比較整數(shù)部份例如：比較213與3 + 27的大小。解：. 213 = V52 ,而72 52 82. 7 52 8故2應 的整數(shù)部份為7。一樣可得3 + 2/7的整數(shù)部份為8,213 3 + 27設參比較法例如：比較 A = J54321x54324 與8 = J54323 x 54322 的大小。解：設54321 =尤，則 A = x(x + 3) = vx2 + 3x,B = (x + 2)(* + 1)= Jx2 + 3x + 2%2 + 3x + 3x + 2.A B.先平方再開方比較例如：比較（3 + .污+聲-：朽與仃1的大小。解： 板 3 + 打 5 + 1： 3 -、；5=%：（拓 +、：5 + 后;5 ）2 =面，而 10 v11,.,.弋 3 + *5 + 匕；3 、：5 qll.反證法比較例8.比較v： 3 - 1與3 - 3 ：5,則t3 +甘5 4,兩邊平方得：8 + 2多 16,* 15 4。這與氣套 v16 = 4矛盾.舌1 AD, 3 + v10