1、 球體間萬有引力計算的探究南京市第12中學(xué)楊偉高中物理中關(guān)于萬有引力定律是這樣敘述的“自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的大小與物體的質(zhì)量m和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比。這種表達(dá)是很不嚴(yán)密的。因?yàn)榫嚯x應(yīng)該是兩個點(diǎn)之間的，當(dāng)物體可視為質(zhì)點(diǎn)時沒有問題，但當(dāng)物體不能看成質(zhì)點(diǎn)時就為難了。對此人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理必修2P70上有這么一段說明：“兩個物體間的距離”到底是指物體哪兩部分間的距離？對于可以看做質(zhì)點(diǎn)的物體，當(dāng)然就是這兩個點(diǎn)間的距離。如果是地球，月球等球體，牛頓應(yīng)用微積分的方法得知，這個距離應(yīng)該是球心間的距離?！保ㄆ渲屑酉聞澗€的三個“間”是本人加上去的）牛頓

2、是怎樣用微積分的方法得知的，我們都不得而知，所有的教參上也都沒有提到。我想做一件被大家忽略的事或許會有點(diǎn)意思。于是就有了下文，我用兩種方法來證明“對于質(zhì)量分布均勻的球體，在計算萬有引力時，可以把其看成質(zhì)量都集中在球心的質(zhì)點(diǎn)。”方法一：微積分方法。這種方法比較復(fù)雜，為了簡化，我用命題1和命題2做鋪墊。命題1。質(zhì)量分布均勻的圓環(huán)對在其軸線上的質(zhì)點(diǎn)的萬有引力。設(shè)環(huán)質(zhì)量為m，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m2，環(huán)半徑為r,環(huán)中心到質(zhì)點(diǎn)的距離為x，把環(huán)分成許多小段，任取一小段可視為質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量為dm，它對質(zhì)點(diǎn)的引力為dF，再把其分解為沿軸和垂直于軸的兩個分量dF和dF2，由于質(zhì)量分布均勻，由對稱性可知環(huán)上所有d對質(zhì)點(diǎn)引力的

3、dF2分量的矢量和為零，所以環(huán)對質(zhì)點(diǎn)的引力為:mF2F=dF，m #Gmdm-2cosU+X2而dFi=dFCose=r22+X2GmdmGmXdm:,3、r2+x22 # #所以FdmFGmmx(r2 # 命題2:質(zhì)量分布均勻的圓面對在其軸線上的一個質(zhì)點(diǎn)的萬有引力.設(shè)圓面質(zhì)量為M，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m2，圓面半徑為R，圓心到質(zhì)點(diǎn)的距離為x，在圓面內(nèi)任取一半徑為r寬為dr的同心圓環(huán)，則由命題1得此圓環(huán)對質(zhì)點(diǎn)叫的引力為(M_(兀R2(r2+X2/22兀rdmx2r丿,322GMmxrd(12丫R2V2+X2/2 F=RdF=02GMmxdrGMmxR2Rr2GMmx12R2GMm11-R2正題:質(zhì)量分布

4、均勻的球體對其外的一個質(zhì)點(diǎn)的萬有引力.設(shè)球的質(zhì)量為M,質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m,球心到質(zhì)點(diǎn)的距離為L,球半徑為r.為了計算球?qū)|(zhì)點(diǎn)的引力，可以在球中截取一半徑為R厚度為dx并且其軸線與球心和質(zhì)點(diǎn)的連線重合的圓片，設(shè)此圓片的中心到質(zhì)點(diǎn)m的距離為x.則由命題2可得該圓片對質(zhì)點(diǎn)的引力為:2GdF=M4兀r33R2兀R2dxx2R2)2dx=3GMm2r3R2=r2_(L，x)2”3GMmdF=r2，L2Lx)2dxF=3GMmLrL-r2r3xr2-L+2Lx)2dx=3GMm2r3LrdxL，rLrL，rxdx2-L+2Lx)2 # #Lrdx=2rL，rLrL-rC-Ldx 令r2一L=a,2L=b #

5、#則Jx(r2,L+2L4dx=Jdx(a+bx)2 # =丄b2a+bxd(a+bx)(a+bx)2(a+bx)2二丄J(a+bx)2d(a+bx)-1d(a+bx) HYPERLINK l bookmark84b2b2ibb(a+bx牙=(a+bx)2-a(a+bx)2+C HYPERLINK l bookmark803b2b2=(a+bx)2(bx-2a)+C HYPERLINK l bookmark823b22還原二-丄(r2，L+2Lx)2C，L2，Lx)+C3L2L+rxdx=，(r2，L+2Lx)2- HYPERLINK l bookmark90-(r2，L+2Lx)23L2L2

6、r3=2r一.3L所以m2r3=，（2r，議）Mm=G-L # 這說明：對于質(zhì)量分布均勻的球體,在計算萬有引力時,可以把其看成質(zhì)量都集中在球心的質(zhì)點(diǎn)。方法二：類比法,為了數(shù)學(xué)形式的對稱,我引入了萬有引力場強(qiáng)度和萬有引力通量著兩個概念,不知是否恰當(dāng),請專家指點(diǎn)。庫侖定律：二丄電48r2萬有引力定律二丄-Mm,引48r2E=電電場強(qiáng)度:電1萬有引力場強(qiáng)度:F引一m電通量:d二Eds電萬有引力通量:高斯定律：（q為閉合面內(nèi)的總電量）電球體在其外任一點(diǎn)p的電場強(qiáng)度。，帶電量為Q,球心到p點(diǎn)的距離為r.勺球面S,因?yàn)殡姾煞植季鶆蛴蓪ΨQ性可知S面上各點(diǎn)的場強(qiáng)大小相等設(shè)為E,方向沿徑向,JJE-ds，E-4r2s電應(yīng)用高斯定彳設(shè)球半徑為過p點(diǎn)作與通過S的電通量為:由高斯定律得:E-4r2，Q即電4r2其中為徑r2由于數(shù)學(xué)表達(dá)式完全對稱,因此，同理可得，質(zhì)量分布均勻的球體在其外任一點(diǎn)的萬有引力場強(qiáng)度M，r4-r2M為球的質(zhì)量，r為球心到所取點(diǎn)的距離.因?yàn)镚，-1-4所以E，GMrTOC o 1-5 h z引r2又因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)的引入不會影響球體的質(zhì)量分布，故在所取點(diǎn)上放入一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)時，球?qū)υ撡|(zhì)點(diǎn)的萬有引LF，E引-m，GMmr.引引r2（其中的r為沿球心和質(zhì)點(diǎn)的連線向內(nèi)的單位矢量