1、2.4 等比數(shù)列第1課時(shí)操作題1. 請(qǐng)同學(xué)們寫(xiě)出下面數(shù)列: (1) 一種細(xì)菌進(jìn)行分裂繁殖, 1 個(gè)細(xì)菌一次分裂成 2個(gè), 且每分鐘分裂一次, 寫(xiě)出 1 個(gè)這種細(xì)菌經(jīng)過(guò) 1, 2, 3, 4, , 分鐘后的細(xì)菌個(gè)數(shù); (2) 一個(gè)容器中盛有10升某種溶液, 每次倒出容器中溶液的一半, 寫(xiě)出每次倒出后容器中剩余溶液數(shù)量; (3) 銀行的復(fù)利計(jì)息方式是: 把前一期的利息加入本金計(jì)算下一期的利息. 現(xiàn)存入本金10000元, 年利率為1.98%, 寫(xiě)出 5 年內(nèi)各年末的本利和.(1) 2, 4, 8, 16, (2) 5,(3) 100001.0198, 100001.01982,100001.0198

2、3, 100001.01984, 100001.01985. 問(wèn)題1. 剛才寫(xiě)出的數(shù)列是等差數(shù)列嗎? 如果不是, 那么它們有什么共同的特征? 根據(jù)它們的共同特征你想把它們叫做什么數(shù)列?(1) 2, 4, 8, 16, (2) 5,(3) 100001.0198, 100001.01982,100001.01983, 100001.01984, 100001.01985.特征: 各數(shù)列中, 每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比值是一個(gè)相等的數(shù).(1) 中的比值是 2,(2) 中的比值是(3) 中的比值是1.0198.每一項(xiàng)等于前一項(xiàng)乘以 2.每一項(xiàng)等于前一項(xiàng)乘以每一項(xiàng)等于前一項(xiàng)乘以 1.0198. 定義: 一般

3、地, 如果一個(gè)數(shù)列從第 2 項(xiàng)起, 每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù), 那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列, 這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母 q 表示 (q0), 即則數(shù)列 an 為等比數(shù)列, 常數(shù) q 是公比.判斷幾個(gè)數(shù)是否成等比數(shù)列, 看其是否滿(mǎn)足 判斷以通項(xiàng)表示的數(shù)列是否是等比數(shù)列, 看其是否滿(mǎn)足(常數(shù)).(4) 不是等比數(shù)列, (2) 是等比數(shù)列,(3) 是等比數(shù)列, 問(wèn)題 2. 下列各數(shù)列是否是等比數(shù)列? 如果是, 公比是多少? (1) (2) (3) 7, 7, 7, 7, (4) 0, 1, 4, 16, (1) 是等比數(shù)列, 公比 q =等比數(shù)列的任一項(xiàng)都不能為 0.a

4、2=a1q,【等比數(shù)列的通項(xiàng)公式】 操作題2. 已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)為 a1, 公比為 q,寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的 a2, a3, a4, a5, 并由此歸納出 an.a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,a5=a4q=a1q4,猜：an=a1qn-1.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:an=a1qn-1 等比數(shù)列 an=a1qn-1 的圖象是函數(shù) y = a1qx-1 的圖象上 x 取正整數(shù)的點(diǎn).等比數(shù)列的圖像 例4. 已知anbn是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列, 仿照下表中的例子填寫(xiě)表格. 從中你能得出什么結(jié)論? 證明你的結(jié)論.自選 2自選 1是-52n-1例anbn是否等比數(shù)列anbnbnan2n(-3)n

5、(-6)n是-3(-1)n是結(jié)論: 如果 an bn 是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列, 那么anbn 也是等比數(shù)列.證明如下:設(shè)an的公比為 p, bn的公比為 q, p, q 為常數(shù),則= pq(常數(shù)),anbn是等比數(shù)列. 問(wèn)題3. 如果an是等比數(shù)列, c 為常數(shù), 且c0,那么can是否是等比數(shù)列, 能證明你的結(jié)論嗎?= q (常數(shù)).結(jié)論: 一個(gè)等比數(shù)列的各項(xiàng)都乘以同一個(gè)不為 0 的常數(shù),所得的數(shù)列仍是等比數(shù)列. 問(wèn)題4. 三個(gè)數(shù) 2, 3 是否成等比數(shù)列? 如果 a, G, b 這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列, G 是多少?若 a, G, b 成等比數(shù)列, 則 G2=ab,兩比值相等, 三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列

6、.等比中項(xiàng): 如果在 a 與 b 中間插入一個(gè)數(shù) G, 使 a, G, b 成等比數(shù)列, 那么 G 叫做 a 與 b 的等比中項(xiàng),G2=ab,等差中項(xiàng): 如果三個(gè)數(shù) a, A, b 成等差數(shù)列, 則中間一個(gè)數(shù) A 叫做 a 與 b 的等差中項(xiàng),或 2A=a+b. 例3. 一個(gè)等比數(shù)列的第 3 項(xiàng)和第 4 項(xiàng)分別是12和18, 求它的第 1 項(xiàng)與第 2 項(xiàng).由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得,解:解關(guān)于 a1 與 q 的方程組:a3=a1q2=12,a4=a1q3=18, 得將 q 的值代入式得則 a2= a1q= 8.這個(gè)數(shù)列的等 1 項(xiàng)是 第 2 項(xiàng)是 8.練習(xí): (課本53頁(yè)) 3. 已知an是一個(gè)無(wú)窮

7、等比數(shù)列, 公比為 q: (1) 將an中的前 k 項(xiàng)去掉, 剩余各項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列, 這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎? 如果是, 它的首項(xiàng)與公比分別是多少? (2) 取出數(shù)列an中的所有奇數(shù)項(xiàng), 組成一個(gè)新的數(shù)列, 這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎? 如果是, 它的首項(xiàng)與公比分別是多少? (3) 在數(shù)列an中, 每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng), 組成一個(gè)新的數(shù)列, 這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎? 如果是, 它的公比是多少? 你能根據(jù)得到的結(jié)論作出一個(gè)猜想嗎?練習(xí): (課本53頁(yè)) 3. 已知an是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列, 公比為 q: (1) 將an中的前 k 項(xiàng)去掉, 剩余各項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列, 這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎? 如果是,

8、它的首項(xiàng)與公比分別是多少?答:其首項(xiàng)是原數(shù)列的 ak+1, 公比是原數(shù)列的公比 q.an 中去掉前 k 項(xiàng)后分別是a1+k,a2+k,a3+k,an+k, =q,(常數(shù)).an 中去掉前 k 項(xiàng)后所得數(shù)列是等比數(shù)列,練習(xí): (課本53頁(yè)) 3. 已知an是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列, 公比為 q: 答:取出 an 中的所有奇數(shù)項(xiàng)得a1, a3, a5, , a2n-1, =q2,(常數(shù)).取出 an 中的所有奇數(shù)項(xiàng)所得的數(shù)列也是等比數(shù)列, 其首項(xiàng)為 a1, 公比為 p2. (2) 取出數(shù)列an中的所有奇數(shù)項(xiàng), 組成一個(gè)新的數(shù)列, 這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎? 如果是, 它的首項(xiàng)與公比分別是多少?練習(xí): (課

9、本53頁(yè)) 3. 已知an是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列, 公比為 q: (3) 在數(shù)列an中, 每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng), 組成一個(gè)新的數(shù)列, 這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎? 如果是, 它的公比是多少? 你能根據(jù)得到的結(jié)論作出一個(gè)猜想嗎?答:在 an 中每隔 10 項(xiàng)取出一項(xiàng)得a11,=q11,(常數(shù)).= an 中每隔 10 項(xiàng)取出一項(xiàng)所得的數(shù)列也是等比數(shù)列, 其首項(xiàng)為 a11, 公比為 q11.a22,a33,a10n+n, 練習(xí): (課本53頁(yè)) 3. 已知an是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列, 公比為 q: (3) 在數(shù)列an中, 每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng), 組成一個(gè)新的數(shù)列, 這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎? 如果是, 它的公比是多

10、少? 你能根據(jù)得到的結(jié)論作出一個(gè)猜想嗎?猜想:在等比數(shù)列 an 中每隔 k 項(xiàng)取出一項(xiàng),所得的數(shù)列也是等比數(shù)列, 其首項(xiàng)為 ak+1, 公比為qk+1.【課時(shí)小結(jié)】1. 等比數(shù)列 一個(gè)數(shù)列從第 2 項(xiàng)起的每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù) q, 則這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列, 常數(shù) q 叫做等比數(shù)列的公比, 即a2=a1q, a3=a2q, a4=a3q, , an+1=anq.是判定等比數(shù)列的條件.【課時(shí)小結(jié)】2. 等比中項(xiàng) 如果在 a 與 b 中間插入一個(gè)數(shù) G, 使 a, G, b 成等比數(shù)列, 那么 G 叫做 a 與 b 的等比中項(xiàng), 即G2=ab.習(xí)題 2.4A 組第 3、6、7 題.習(xí)

11、題 2.4A 組 3. 已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列, 是等比數(shù)列嗎? 為什么?解:(常數(shù)), 是等比數(shù)列. 6. 已知 a, b 是互異的正數(shù), A 是 a, b 的等差中項(xiàng), G 是 a, b 的等比中項(xiàng), A 與 G 有無(wú)確定的大小關(guān)系?解:由題設(shè)得a0, b0, ab,一定有 AG.即得7. 求下列各組數(shù)的等比中項(xiàng): (1) (2) a4+a2b2 與 b4+a2b2 (a0, b0).解:(1)=2.(2)=ab(a2+b2).2.4 等比數(shù)列第2課時(shí)學(xué)習(xí)要點(diǎn) 1. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是怎樣的? 它是什么類(lèi)型的函數(shù)? 2. 由通項(xiàng)公式與等比中項(xiàng)能推出等比數(shù)列中的哪些項(xiàng)的關(guān)系?3.

12、 怎樣用等比數(shù)列知識(shí)解決某些實(shí)際問(wèn)題?a2=a1q,【等比數(shù)列的通項(xiàng)公式】 操作題2. 已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)為 a1, 公比為 q,寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的 a2, a3, a4, a5, 并由此歸納出 an.a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,a5=a4q=a1q4,an=a1qn-1.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:an=a1qn-1 等比數(shù)列 an=a1qn-1 的圖象是函數(shù) y = a1qx-1 的圖象上 x 取正整數(shù)的點(diǎn).練習(xí) (補(bǔ)充). 一個(gè)等比數(shù)列的第 9 項(xiàng)是 公比是 求它的第 1 項(xiàng);第 4 題.(課本53頁(yè))習(xí)題 2.4B組第 1 題.解:由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得即解得 a1=2916

13、,這個(gè)數(shù)列的第 1 項(xiàng)是 2916. (補(bǔ)充). 一個(gè)等比數(shù)列的第 9 項(xiàng)是 公比是 求它的第 1 項(xiàng);4. 已知an是等比數(shù)列.(1) a52=a3a7 是否成立? a52=a1a9 成立嗎? 為什么?(2) an2=an-1an+1 (n1) 是否成立? 你據(jù)此能得到什么結(jié)論? an2=an-kan+k (nk0) 是否成立? 你又能得到什么結(jié)論?解:(1) a52 = (a1q4)2= a12q8,a3a7 = (a1q2)(a1q6)= a12q8,a1a9 = a1(a1q8)= a12q8, a52 = a3a7 = a1a9 成立.(課本53頁(yè))4. 已知an是等比數(shù)列.(1)

14、a52=a3a7 是否成立? a52=a1a9 成立嗎? 為什么?(2) an2=an-1an+1 (n1) 是否成立? 你據(jù)此能得到什么結(jié)論? an2=an-kan+k (nk0) 是否成立? 你又能得到什么結(jié)論?解:(2) an2 = (a1qn-1)2= a12q2n-2,an-1an+1 = (a1qn-2)(a1qn)= a12q2n-2, an2 = an-1an+1 成立.(課本53頁(yè))4. 已知an是等比數(shù)列.(1) a52=a3a7 是否成立? a52=a1a9 成立嗎? 為什么?(2) an2=an-1an+1 (n1) 是否成立? 你據(jù)此能得到什么結(jié)論? an2=an-k

15、an+k (nk0) 是否成立? 你又能得到什么結(jié)論?解: an2 = (a1qn-1)2= a12q2n-2,an-kan+k = (a1qn-k-1)(a1qn+k-1)= a12q2n-2, an2 = an-kan+k 成立.(課本53頁(yè))結(jié)論:an 是 an-k 和 an+k (nk0)的等比中項(xiàng).在等比數(shù)列an中,an2 = an-1an+1 = an-2an+2 = an-3an+3 = = an-kan+k (1) 如果某項(xiàng)的序號(hào)是另外兩項(xiàng)序號(hào)和的一半, 那么這一項(xiàng)的平方等于另兩項(xiàng)的積.2p=m+n, ap2 = aman. (2) 如果有兩項(xiàng)的序號(hào)之和等于另兩項(xiàng)的序號(hào)之和,

16、那么這兩項(xiàng)的積等于另兩項(xiàng)的積.p+q = m+n, apaq = aman.B 組1. 已知等比數(shù)列an的公比為 q, 求證:證明:= q(m-1)-(n-1)= qm-n. 例1. 某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì), 每經(jīng)過(guò)一年剩留的這種物質(zhì)是原來(lái)的 84%. 這種物質(zhì)的半衰期為多長(zhǎng) (精確到 1 年)?解:經(jīng)過(guò) n 年后, 這種物質(zhì)的剩留量是原來(lái)的(84%)n= 0.84n.公式可知, 各年剩留量成等比數(shù)列, 其中a1=0.84, q=0.84,若設(shè)原來(lái)這種物質(zhì)的質(zhì)量為1,由等比數(shù)列通項(xiàng)要使 an=0.5, 即得0.84n = 0.5.兩邊取常用對(duì)數(shù)得nlg0.84 = lg0.5,4.答

17、: 這種物質(zhì)的半衰期大約是 4 年.練習(xí)課本5253頁(yè)第 2、5 題. 2. 在利用電子郵件傳播病毒的例子中, 如果第一輪感染的計(jì)算機(jī)數(shù)是80臺(tái), 并且從第一輪起, 以后各輪的每一臺(tái)計(jì)算機(jī)都可以感染下一輪的20臺(tái)計(jì)算機(jī), 到第 5 輪可以感染多少臺(tái)計(jì)算機(jī)?解:這是一個(gè)首項(xiàng)為80, 公比為20的等比數(shù)列模型,其通項(xiàng)公式為 an= a1qn-1.則 a5=80204=12800000.答: 到第 5 輪可以感染12800000臺(tái)計(jì)算機(jī). 5. 某人買(mǎi)了一輛價(jià)值 13.5萬(wàn)元的新車(chē). 專(zhuān)家預(yù)測(cè)這種車(chē)每年按10%的速度折舊. (1) 用一個(gè)式子表示 n (nN*)年后這輛車(chē)的價(jià)值. (2) 如果他打算

18、用滿(mǎn) 4 年時(shí)賣(mài)掉這輛車(chē), 他大概能得到多少錢(qián)?解:(1)每年按10%的速度折舊,則第 n 年后車(chē)子的價(jià)值為:an=13.5(1-10%)n=13.50.9n.(2)這人用滿(mǎn) 4 年, 車(chē)子的價(jià)值只有a4=13.50.948.8574.答: 這人大概能得到8.8574萬(wàn)元.【課時(shí)小結(jié)】1. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn-1.通項(xiàng)公式是關(guān)于正整數(shù) n 的指數(shù)函數(shù)類(lèi)型.【課時(shí)小結(jié)】2. 等比數(shù)列中的相等項(xiàng)an 是 an-k 和 an+k (nk0)的等比中項(xiàng), 即an2 = an-1an+1 = an-2an+2 = an-kan+k.2p=m+n, ap2 = aman.p+q = m+n,

19、 apaq = aman.或【課時(shí)小結(jié)】3. 等比數(shù)列的應(yīng)用(1) 判斷問(wèn)題是否可建立等比數(shù)列模型;(2) 建立等比數(shù)列模型, 設(shè)定相關(guān)量;(3) 用等比數(shù)列知識(shí)進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算;(4) 用運(yùn)算結(jié)果解釋實(shí)際問(wèn)題.習(xí)題 2.4A 組第 1、2、4、5、8 題.B 組第 2 題.解:1. 在等比數(shù)列an中, (1) a4=27, q= -3, 求 a7; (2) a2=18, a4=8, 求 a1 與 q; (3) a5=4, a7=6, 求 a9; (4) a5-a1=15, a4-a2=6, 求 a3.習(xí)題2.4A 組(1)a7=a4q3=27(-3)3= -729.解:1. 在等比數(shù)列an中,

20、(1) a4=27, q= -3, 求 a7; (2) a2=18, a4=8, 求 a1 與 q; (3) a5=4, a7=6, 求 a9; (4) a5-a1=15, a4-a2=6, 求 a3.習(xí)題2.4A 組(2)得解方程組得或解:1. 在等比數(shù)列an中, (1) a4=27, q= -3, 求 a7; (2) a2=18, a4=8, 求 a1 與 q; (3) a5=4, a7=6, 求 a9; (4) a5-a1=15, a4-a2=6, 求 a3.習(xí)題2.4A 組(3) a7=a5q2,6=4q2,解得則 a9=a7q2= 9.解:1. 在等比數(shù)列an中, (1) a4=27

21、, q= -3, 求 a7; (2) a2=18, a4=8, 求 a1 與 q; (3) a5=4, a7=6, 求 a9; (4) a5-a1=15, a4-a2=6, 求 a3.習(xí)題2.4A 組(4)由 a5-a1=15, a4-a2=6 得方程組解方程組得或則 a3=122=4;或 a3= -16 = -4. 2. 某地為了保持水土資源, 實(shí)行退耕還林, 如果2000年退耕 8 萬(wàn)公頃, 以后每年增加10%, 那么2005年需退耕多少公頃? (結(jié)果保留到個(gè)位)解:在2000年以后的第 n 年退耕數(shù)為an=8(1+10%)n= 81.1n,2005年即是2000年后的第5年,即 a5=8

22、1.1512.8841(萬(wàn)公頃)=128841公頃.答: 2005年需退耕128841公頃. 4. 如果能將一張厚度為 0.05 mm 的報(bào)紙對(duì)折, 再對(duì)折, 再對(duì)折, , 對(duì)折 50 次后, 報(bào)紙的厚度是多少? 你相信這時(shí)報(bào)紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋嗎? (地球與月球之間平均距離約為3.84105 km)解:每次對(duì)折后, 厚度是原來(lái)的 2 倍,后的厚度成等比數(shù)列, 其公比 q=2,即每次對(duì)折an=0.12n-1,即 a1=0.1, 則對(duì)折一次后的厚度為首項(xiàng),對(duì)折50次后的厚度為a50=0.124956294995342131.2 (mm) 5.63107 km 這個(gè)厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了地

23、球與月球之間的平均距離,從理論上講, 可以在地球與月球之間建一座橋.(地球到月球的平均距離: 3.8105 km)可這座橋有多大呢? 4. 如果能將一張厚度為 0.05 mm 的報(bào)紙對(duì)折, 再對(duì)折, 再對(duì)折, , 對(duì)折 50 次后, 報(bào)紙的厚度是多少? 你相信這時(shí)報(bào)紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋嗎? (地球與月球之間平均距離約為3.84105 km)解:一張全開(kāi)報(bào)紙按1200900=1080000(mm2)算,每對(duì)折一次, 面積為原來(lái)的二分之一,則50次對(duì)折后的面積為=1.910-9(mm2)一根粗的頭發(fā)約為0.002mm2,0.002(1.910-9)1052630. 要一百多萬(wàn)座這樣

24、的橋才有一根頭發(fā)絲大, 誰(shuí)能走這橋呀! 5. 某城市今年空氣質(zhì)量為 “良” 的天數(shù)共為105天,力爭(zhēng) 2 年后使空氣質(zhì)量為 “良” 的天數(shù)達(dá)到240天. 這個(gè)城市空氣質(zhì)量為 “良” 的天數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為多少? (精確到小數(shù)點(diǎn)后 2 位)解:設(shè)年均增長(zhǎng)率為 q, 今年空氣質(zhì)量為 “良”的天數(shù)為 a1, 則一年后空氣質(zhì)量為 “良” 的天數(shù)為 a2=a1(1+q),答: 年平均增長(zhǎng)率大約是0.51.2 年后空氣質(zhì)量為 “良” 的天數(shù)為 a3=a1(1+q)2.而 a1=105, a3=240.即 240=105(1+q)2.解得 q0.51. 8. (1) 在 9 與 243 中間插入兩個(gè)數(shù), 使它