1、eq avs4al(第四節(jié)直線、平面平行的判定及其性質(zhì)) 備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題.1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)及平面與平面平行的判定與性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)之一，考查線線、線面以及面面平行的轉(zhuǎn)化，考查學(xué)生的空間想象能力及邏輯推理能力2.從考查題型看，既有客觀題又有主觀題客觀題一般圍繞線面平行的判定和性質(zhì)定理的辨析設(shè)計(jì)試題；主觀題主要是圍繞線、面平行的判定和性質(zhì)定理的應(yīng)用設(shè)計(jì)試題，一般設(shè)計(jì)為解答題中的一問，如2012年浙江T20(1)

2、，江蘇T16(2)，福建T18(2)等.歸納知識(shí)整合1直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理平面外一條直線與這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行線面平行)la，a，l，l性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行線線平行”)l，l，b，lb探究1.如果一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行嗎？提示：不一定只有當(dāng)此直線在平面外時(shí)才有線面平行2如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么這條直線和這個(gè)平面的任意一條直線都平行嗎？提示：不可以，對(duì)于任意一條直線而言，存在異面的情況2平面與平面

3、平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡記為“線面平行面面平行”)a，b，abP，a，b，性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行，a，b，ab探究3.如果一個(gè)平面有無數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行嗎？提示：不一定可能平行，也可能相交4如果兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面有什么位置關(guān)系？答案：平行自測牛刀小試1下列命題中，正確的是()A若ab，b，則aB若a，b，則abC若a，b，則abD若ab，b，a，則a解析：選D由直線與平面平行的判定定理知，三個(gè)條件缺一不可，只

4、有選項(xiàng)D正確2一條直線l上有相異三個(gè)點(diǎn)A、B、C到平面的距離相等，那么直線l與平面的位置關(guān)系是()AlBlCl與相交但不垂直 Dl或l解析：選D當(dāng)直線l或l時(shí)，滿足條件3(教材習(xí)題改編)已知平面，直線a，有下列說法：a與內(nèi)的所有直線平行；a與內(nèi)無數(shù)條直線平行；a與內(nèi)的任意一條直線都不垂直其中真命題的序號(hào)是_解析：由面面平行的性質(zhì)可知，過a與相交的平面與的交線才與a平行，故錯(cuò)誤；正確；平面內(nèi)的直線與直線a平行，異面均可，其中包括異面垂直，故錯(cuò)誤答案：4如圖，在空間四邊形ABCD中，MAB，NAD，若eq f(AM,MB)eq f(AN,ND)，則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是_解析：eq f(

5、AM,MB)eq f(AN,ND)，MNBD，又MN平面BCD，BD平面BCD，MN平面BDC.答案：平行5(教材習(xí)題改編)過三棱柱ABCA1B1C1的棱A1C1，B1C1，BC，AC的中點(diǎn)E、F、G、H的平面與平面_平行解析：如圖所示，E、F、G、H分別為A1C1、B1C1、BC、AC的中點(diǎn)，EFA1B1，F(xiàn)GB1B，且EFFGF，A1B1B1BB1平面EFGH平面ABB1A1.答案：ABB1A1線面平行的判定及性質(zhì)例1正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一點(diǎn)P、Q，且APDQ.求證：PQ平面BCE.自主解答法一：如圖所示，作PMAB交BE于M，作QNAB交B

6、C于N，連接MN.正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB，AEBD.又APDQ，PEQB，又PMABQN，eq f(PM,AB)eq f(PE,AE)eq f(QB,BD)，eq f(QN,DC)eq f(BQ,BD)，eq f(PM,AB)eq f(QN,DC)，PM綊QN，即四邊形PMNQ為平行四邊形，PQMN.又MN平面BCE，PQ平面BCE，PQ平面BCE.法二：如圖所示，作PHEB交AB于H，連接HQ，則eq f(AH,HB)eq f(AP,PE)，AEBD，APDQ，PEBQ，eq f(AH,HB)eq f(AP,PE)eq f(DQ,BQ)，HQAD，即HQBC.又PHHQH

7、，BCEBB，平面PHQ平面BCE，而PQ平面PHQ，PQ平面BCE.本例若將條件“APDQ”改為“eq f(AP,PE)eq f(DQ,QB)”，則直線PQ與平面BCE還平行嗎？解：平行證明如下：如圖所示，連接AQ，并延長交BC于K，連接EK.ADBK，eq f(DQ,BQ)eq f(AQ,QK).又eq f(AP,PE)eq f(DQ,QB)，eq f(AP,PE)eq f(AQ,QK)，PQEK.又PQ平面BEC，EK平面BEC，PQ平面BEC.證明線面平行的關(guān)鍵點(diǎn)及探求線線平行的方法(1)證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線；(2)利用幾何體的特征，合理利

8、用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行；(3)注意說明已知的直線不在平面內(nèi)，即三個(gè)條件缺一不可1如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若EF平面AB1C，則線段EF的長度等于_解析：EF平面AB1C，EF平面ACD，平面ACD平面AB1CAC，EFAC，又E為AD的中點(diǎn)，AB2，EFeq f(1,2)ACeq f(1,2)eq r(2222)eq r(2).答案：eq r(2)2(2013無錫模擬)如圖，PA平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)，求證：AF平面PCE.證明：如圖，取PC的中

9、點(diǎn)M，連接ME、MF，則FMCD且FMeq f(1,2)CD.又AECD且AEeq f(1,2)CD，F(xiàn)M綊AE，即四邊形AFME是平行四邊形AFME，又AF平面PCE，EM平面PCE，AF平面PCE.面面平行的判定與性質(zhì)例2如圖所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是正方形，E，F(xiàn)，G分別是棱B1B，D1D，DA的中點(diǎn)求證：平面AD1E平面BGF.自主解答E，F(xiàn)分別是B1B和D1D的中點(diǎn)，D1F綊BE，四邊形BED1F是平行四邊形，D1EBF.又D1E平面BGF，BF平面BGF，D1E平面BGF.FG是DAD1的中位線，F(xiàn)GAD1.又AD1平面BGF，F(xiàn)G平面BGF，AD1平面BG

10、F.又AD1D1ED1，平面AD1E平面BGF.判定面面平行的方法(1)利用定義：即證兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)(不常用)；(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一條直線的兩平面平行(客觀題可用)；(4)利用平面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行(客觀題可用)3如圖所示，ABCDA1B1C1D1是棱長為a的正方體，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點(diǎn)，P是上底面的棱AD上的一點(diǎn)，APeq f(a,3)，過P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ_.解析：平面ABCD平面A1B1C1D1，MNPQ.M、N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)

11、，APeq f(a,3)，CQeq f(a,3)，從而DPDQeq f(2a,3)，PQeq f(2r(2),3)a.答案：eq f(2r(2),3)a4如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分別為所在邊的中點(diǎn)求證：平面MNP平面A1C1B.證明：如圖所示，連接D1C，則MN為DD1C的中位線，MND1C.D1CA1B，MNA1B.同理可證，MPC1B.而MN與MP相交，MN，MP在平面MNP內(nèi)，A1B，C1B在平面A1C1B內(nèi)，平面MNP平面A1C1B.線面平行中的探索性問題例3(2013徐州模擬)如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，若D是棱CC1的中

12、點(diǎn)，問在棱AB上是否存在一點(diǎn)E，使DE平面AB1C1？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由自主解答存在點(diǎn)E，且E為AB的中點(diǎn)下面給出證明：如圖，取BB1的中點(diǎn)F，連接DF，則DFB1C1，AB的中點(diǎn)為E，連接EF，則EFAB1.B1C1與AB1是相交直線，平面DEF平面AB1C1.而DE平面DEF，DE平面AB1C1.破解探索性問題的方法解決探究性問題一般要采用執(zhí)果索因的方法，假設(shè)求解的結(jié)果存在，從這個(gè)結(jié)果出發(fā)，尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件，如果找到了符合題目結(jié)果要求的條件，則存在；如果找不到符合題目結(jié)果要求的條件(出現(xiàn)矛盾)，則不存在5.如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，

13、底面ABCD為等腰梯形，ABCD，且AB2CD，在棱AB上是否存在一點(diǎn)F，使平面C1CF平面ADD1A1？若存在，求點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由解：存在這樣的點(diǎn)F，使平面C1CF平面ADD1A1，此時(shí)點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，證明如下：ABCD，AB2CD，AF綊CD，四邊形AFCD是平行四邊形，ADCF，又AD平面ADD1A1，CF平面ADD1A1，CF平面ADD1A1.又CC1DD1，CC1平面ADD1A1，DD1平面ADD1A1，CC1平面ADD1A1，又CC1、CF平面C1CF，CC1CFC，平面C1CF平面ADD1A1.1個(gè)關(guān)系三種平行間的轉(zhuǎn)化關(guān)系線線平行、線面平行、面面平行的相互轉(zhuǎn)化是

14、解決與平行有關(guān)證明題的指導(dǎo)思想，解題中既要注意一般的轉(zhuǎn)化規(guī)律，又要看清題目的具體條件，選擇正確的轉(zhuǎn)化方向2種性質(zhì)線面、面面平行的性質(zhì)(1)線面平行的性質(zhì)：直線與平面平行，則該直線與平面無公共點(diǎn)由線面平行可得線線平行(2)面面平行的性質(zhì)：兩平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一平面若一平面與兩平行平面相交，則交線平行3種方法判定線面平行的方法面面平行判定的落腳點(diǎn)是線面平行，因此掌握線面平行的判定方法是必要的，判定線面平行的三種方法：(1)利用定義：判定直線與平面沒有公共點(diǎn)(一般結(jié)合反證法進(jìn)行)；(2)利用線面平行的判定定理；(3)利用面面平行的性質(zhì)，即當(dāng)兩平面平行時(shí)，其中一平面內(nèi)的任一直線平行于

15、另一平面. 數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化與化歸思想在證明平行關(guān)系中的應(yīng)用線線平行、線面平行和面面平行是空間中三種基本平行關(guān)系，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：證明平行的一般思路是：欲證面面平行，可轉(zhuǎn)化為證明線面平行，欲證線面平行，可轉(zhuǎn)化為證明線線平行典例(2013鹽城模擬)如圖，P為ABCD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別為AB，PC的中點(diǎn)，平面PAD平面PBCl.(1)判斷BC與l的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)判斷MN與平面PAD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論解(1)結(jié)論：BCl，因?yàn)锳DBC，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.又因?yàn)锽C平面PBC，平面PAD平面PBCl，所以BCl.(2

16、)結(jié)論：MN平面PAD.設(shè)Q為CD的中點(diǎn)，如右圖所示，連接NQ，MQ，則NQPD，MQAD.又因?yàn)镹QMQQ，PDADD，所以平面MNQ平面PAD.又因?yàn)镸N平面MNQ，所以MN平面PAD.eq avs4al(題后悟道)1本題(1)將線面平行的判定定理和性質(zhì)定理交替使用，實(shí)現(xiàn)了線線平行的證明；本題(2)巧妙地將線面平行的證明轉(zhuǎn)化為面面平行，進(jìn)而由面面平行的性質(zhì)，得到結(jié)論的證明2利用相關(guān)的平行判定定理和性質(zhì)定理實(shí)現(xiàn)線線、線面、面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，也要注意平面幾何中一些平行的判斷和性質(zhì)的靈活應(yīng)用，如中位線、平行線分線段成比例等，這些是空間線面平行關(guān)系證明的基礎(chǔ)eq avs4al(變式訓(xùn)練)如圖，在

17、四面體PABC中，PCAB，PABC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)(1)求證：DE平面BCP；(2)求證：四邊形DEFG為矩形；證明：(1)因?yàn)镈，E分別為AP，AC的中點(diǎn)，所以DEPC.又因?yàn)镈E平面BCP，PC平面BCP，所以DE平面BCP.(2)因?yàn)镈，E，F(xiàn)，G分別為AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)，所以DEPCFG，DGABEF，所以四邊形DEFG為平行四邊形又因?yàn)镻CAB，所以DEDG，所以四邊形DEFG為矩形一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1已知直線a平面，P，那么過點(diǎn)P且平行于直線a的直線()A只有一條，不在平面內(nèi)B有無數(shù)條，不一定在平面內(nèi)

18、C只有一條，在平面內(nèi)D有無數(shù)條，一定在平面內(nèi)解析：選C由線面平行的性質(zhì)可知C正確2下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()若直線a不在內(nèi)，則a；若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則l；若l與平面平行，則l與內(nèi)任何一條直線都沒有公共點(diǎn)；平行于同一平面的兩直線一定相交A1B2C3 D4解析：選A對(duì)，若a，則與相交或平行，故錯(cuò)誤；對(duì)，當(dāng)直線l與相交時(shí)，也有直線l上的無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，故錯(cuò)誤；正確；對(duì)，平行于同一平面的兩直線相交、平行或異面，故錯(cuò)誤3(2013江西九校聯(lián)考)平面平面的一個(gè)充分條件是()A存在一條直線a，a，aB存在一條直線a，a，aC存在兩條平行直線a，b，a，b，a，bD存在兩條異面直線a，b，a

19、，b，a，b解析：選D根據(jù)兩平面平行的條件，可得選項(xiàng)D符合4如圖，在正方體中，A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、P為所在棱的中點(diǎn)，則異面直線MP、AB在正方體以平面PBM為正面的正視圖中的位置關(guān)系是()A相交 B平行C異面 D不確定解析：選B在正視圖中AB是正方形的對(duì)角線，MP是平行于對(duì)角線的三角形的中位線，所以兩直線平行，故選B.5設(shè)、為三個(gè)不同的平面，m、n是兩條不同的直線，在命題“m，n，且_，則mn”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題，n；m，n；n，m.可以填入的條件有()A或 B或C或 D或或解析：選C由面面平行的性質(zhì)定理可知，正確；當(dāng)n，m時(shí)，n和m在同一平面內(nèi)

20、，且沒有公共點(diǎn)，所以平行，正確6下列四個(gè)正方體圖形中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB平面MNP的圖形的序號(hào)是()A BC D解析：選B由平面ABC平面MNP，可得AB平面MNP.由ABCD，CDNP，得ABNP，所以AB平面MNP.二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7考察下列三個(gè)命題，在“_”處都缺少同一個(gè)條件，補(bǔ)上這個(gè)條件使其構(gòu)成真命題(其中l(wèi)，m為不同直線，、為不重合平面)，則此條件為_eq blc rc(avs4alco1(m,lm,) l；eq blc rc(avs4alco1(lm,m,) l；eq blc rc(avs4alco

21、1(l,) l.解析：線面平行的判定中指的是平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，故此條件為：l.答案：l8(2013濟(jì)寧模擬)過三棱柱ABCA1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有_條解析：過三棱柱ABCA1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，記AC，BC，A1C1，B1C1的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1，則直線EF，E1F1，EE1，F(xiàn)F1，E1F，EF1均與平面ABB1A1平行，故符合題意的直線共6條答案：69(2013南京模擬)已知l，m是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題：若l，m，l，m，則；若l，l，m，則lm；若，l，則l；若l，ml，

22、則m.其中真命題是_(寫出所有真命題的序號(hào))解析：當(dāng)lm時(shí)，平面與平面不一定平行，錯(cuò)誤；由直線與平面平行的性質(zhì)定理，知正確；若，l，則l或l，錯(cuò)誤；l，lm，m，又，m，正確，故填.答案：三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10如圖，一直空間四邊形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是三角形ADC的重心，試在線段AE上確定一點(diǎn)F，使得GF平面CDE.解：如圖，連接AG并延長，交CD于點(diǎn)H，則eq f(AG,GH)eq f(2,1)，連接EH.在AE上取一點(diǎn)F，使得eq f(AF,FE)eq f(2,1)，連接GF，則GFEH，又EH平面CDE，C1F平面CDE.易知當(dāng)AF2FE時(shí)，G

23、F平面CDE.11(2013連云港模擬)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC5，BB1BC6，D，E分別是AA1和B1C的中點(diǎn)(1)求證：DE平面ABC；(2)求三棱錐EBCD的體積解：(1)證明：取BC中點(diǎn)G，連接AG，EG，因?yàn)镋是B1C的中點(diǎn)，所以EGBB1，且EGeq f(1,2)BB1.由直棱柱知，AA1綊BB1，而D是AA1的中點(diǎn)，所以EG綊AD，所以四邊形EGAD是平行四邊形，所以EDAG，又DE平面ABC，AG平面ABC所以DE平面ABC.(2)因?yàn)锳DBB1，所以AD平面BCE，所以VEBCDVDBCEVABCEVEABC，由(1)知，DE平面ABC，所以VEABCVDABCeq f(1,3)ADeq f(1,