1、5.4 電路系統(tǒng)對恣意鼓勵的零形狀呼應(yīng)卷積積分1.卷積積分定理：任一LTIS對恣意鼓勵信號f(t)的零形狀呼應(yīng)應(yīng)該等于該鼓勵信號與電路系統(tǒng)沖擊呼應(yīng)的卷積積分。即:5.4.1 卷積積分定理：.0Pn(t)tLTISthn(t)證明：由于恣意信號f(t)可以分解為寬度為 的無窮多個窄脈沖信號的迭加.恣意信號：恣意信號產(chǎn)生的零形狀呼應(yīng)：呼應(yīng)迭加：當(dāng) 時，.由于對于一切物理可實現(xiàn)系統(tǒng)因果系統(tǒng)，t0時，h(t)=0，而由于 時， 。所以積分上限應(yīng)為t；又假設(shè)輸入的信號是單邊 的，那么積分下限應(yīng)為t0或0。2.物理意義： LTIS在恣意時辰t對恣意鼓勵的零形狀呼應(yīng)等于從鼓勵函數(shù)開場作用的時辰 到指定時辰

2、區(qū)間內(nèi)，無窮多個幅度不同，延續(xù)出現(xiàn)的沖擊呼應(yīng)的總和。這就是說，輸入f(t)從t=t0到t 這段時間內(nèi)電路的延續(xù)作用，可以用一序列沖擊信號對電路鼓勵去等效，每個沖擊信號的強度為 ，相應(yīng)的呼應(yīng).為 ， 就是輸入沖擊信號的瞬間，而t可以了解為察看這個輸入作用引起呼應(yīng)的瞬間。由于 時辰作用的信號，到t時辰才察看到輸出，這之間時間差值即為 。即 可以了解電路對輸入作用的記憶時間。 由于 不能為負(fù)，所以積分上限只能取到t，而不能到。其實電路上的這種卷積積分只不過是數(shù)學(xué)上卷積的特例，并賦予物理意義。.2.利用卷積積分求電路系統(tǒng)零形狀呼應(yīng)的方法： 方法步驟: 1求出系統(tǒng)的沖擊呼應(yīng)h(t) 2代公式進展卷積積分

3、，或利用卷積性質(zhì)，求得yzs(t)解: 1.1求得電路的沖擊呼應(yīng)：由于電路KCL：例1：知圖示電路，1輸入為 A電流，求呼應(yīng) iL(t)。2輸入為 A電流，求呼應(yīng)iL(t).2.2卷積求yzs(t).例2. 知一LTI網(wǎng)絡(luò)，沖擊呼應(yīng)為 ，求當(dāng)輸入 信號為矩形波時的零形狀呼應(yīng)。2求U(t-1)鼓勵時的呼應(yīng)： 根據(jù)延時不變性可得：解：由于輸入信號f(t)=U(t)-U(t-1),1當(dāng)U(t)鼓勵時，其呼應(yīng)為yzs1(t).3求f(t)鼓勵時的呼應(yīng)： 根據(jù)LTIS的線性性：3.LTIS的完全呼應(yīng)： 利用卷積求得系統(tǒng)零形狀呼應(yīng)，再與系統(tǒng)零輸入呼應(yīng)疊加，即求得系統(tǒng)的完全呼應(yīng)為： 設(shè)系統(tǒng)特征根互異.4.卷

4、積的圖形解法(1). 卷積的圖形解釋： 卷積實踐上是一種數(shù)學(xué)工具，我們可以用圖解法來清楚的闡明其含義。設(shè)：1褶疊： 將橫軸t ， 對褶過去2平移3相乘積分.(2). 卷積積分積分限確實定原那么： 假設(shè)函數(shù) 的非零值左邊境即函數(shù)不為0的最小 值分別為tl1和tl2，其非零值右邊境即最大的 值分別為tr1和tr2，那么積分下限為maxtl1,tl2，上限為mintr1,tr2。即積分下限取它們左邊境的最大者，而積分上限取它們右邊境中的最小者。.(a)(b)(c)(d)(e).其他例：求如圖ab所說函數(shù)f(t)和h(t)的卷積積分。解： 1寫出表達式：t0.2計算卷積積分：.t0， 無重疊。.0ta

5、，tl1=0, tl2=-,選tr1=a, tr2=t. ta ，tl1=0, tl2=-，tr1=a, tr2=t 選tl1=0, tr=0.一.卷積代數(shù)1.交換律：5.4.3 卷積的性質(zhì)證明：.3.結(jié)合律：證明：2.分配律：.二.卷積的微分和積分：1.微分：證明：同理可證第二等式.2.積分證明：.3. 高階導(dǎo)數(shù)和多重積分設(shè)：那么有：推論：例：.三、與沖擊函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積1、與沖擊函數(shù)的卷積：證明：或?qū)憺槌闃有?推論：2、與階躍信號的卷積：證明：.例1、計算解：原式.例2、圖示系統(tǒng)是由幾個子系統(tǒng)組成的，各個子系統(tǒng)的沖擊呼應(yīng)分別為： 假設(shè)鼓勵 試求總系統(tǒng)的零形狀呼應(yīng) .解1求h(t):對因果系統(tǒng)而言，串聯(lián)絡(luò)統(tǒng)的沖擊呼應(yīng)等于各串