1、【專(zhuān)題】平面幾何：線段垂直相等問(wèn)題一、 簡(jiǎn)介在一些幾何證明題中，條件出現(xiàn)正方形、等腰直角三角形，或者一些其他線段的位置和 數(shù)量關(guān)系，然后求證兩條線段垂直且相等。這類(lèi)題目有一定的技巧性，現(xiàn)總結(jié)出通用方 法如下。二、基本方法若兩個(gè)全等三角形兩邊對(duì)應(yīng)垂直，則它們的第三邊也垂直。如圖，OAL OC且 OA=OCOB OD且 OB=OD=AB CD且 AB=CD在具體的題目中，要求找到或者構(gòu)造這樣的適合條件的全等 三角形，證明這兩個(gè)輔助三角形另外兩邊分別垂直相等，即可推出第三邊（即需證邊） 垂直且相等。具體方法為:（一）要證的兩條線段共端點(diǎn)另外，如果直接證明有困難，可以考慮 來(lái)的兩倍、放大后保持原線段位

2、置關(guān)系如圖，要證OA，OB且OA=OR可以考慮分別過(guò) A、B作過(guò)O的一條直線的垂線，證明 AO ABODo或者直接找到 OC，OD且OC=OD再證AC，BD且AC=BD即可。選擇要根據(jù)題目靈活處理。（二）要證的兩條線段不共端點(diǎn)如圖，要證AB，CD且AB=CQ看起來(lái)兩條線 段毫無(wú)溝通關(guān)系，比較難下手。實(shí)際上，根據(jù) 上述基本方法的定義，方法不言而喻：連接異 線段端點(diǎn)BD,以BD為斜邊作等腰 RT BDO, 證明OA，OC且OA=OC即可。利用中位線的知識(shí)，把要證的線段位似放大為原 證明放大后的線段垂直相等就可以了。三、例題及解析1、如圖，任意三角形ABC,以AB和AC為邊向 外作兩個(gè)正方形 ABG

3、F和ACDE M是GD中點(diǎn)。 求證：MBXMC且 MB=MC0解析：要證的線段MB、MC共端點(diǎn)，結(jié)合過(guò)M有一條與已知條件關(guān)聯(lián)非常大的直線 DG, 經(jīng)嘗試可知應(yīng)過(guò)B、C作DG垂線。這時(shí)需證MP=CQ和BP=QM0顯然條件還是無(wú)法利用，于是再過(guò) E、F作EK FJL DG1. 一以證MP=CQ為例，首先不難得 CQ=DK故只需證 MP=DK,即證明PK=MD=2 DG。為了看圖方便，去掉多余部分，重新作圖如下：在GD上取N使PG=PN則可推BN=BG進(jìn)而得B是4ANG外心，得/ ANG=45 , 又由EA=ED /AND=135可得E是4AND的外心，故EN=ED即NK=DK1于是就得PK=2 G

4、D。2、如圖，分別以任意三角形 ABC三邊為邊向外作三個(gè)正方形 ABGR CBHI和ACDE 01、02、03分別是三個(gè)正方形的中心。求證： AO2=O1O3且A02010&i卜II解析：根據(jù)基本方法，要證的線段不共端點(diǎn)，于是連接A01,并以A01為邊作等腰R3A01M,發(fā)現(xiàn)M恰好在AB中點(diǎn)上！之后要證MO2XMO3且MO2=MO3。不難聯(lián)想到利用中位線把它們同時(shí)放大為原來(lái)的2倍，且不改變位置關(guān)系。而 CI CB且 CI=CB CAI CD且 CA=CD于是 AUBD且 AI=BD,于是 MO2LMO3 且 MO2=MO3。3、如圖，以任意四邊形ABCD的四條邊為邊，向外作四個(gè)正方形AEFB

5、BGHC CIJD DKLA設(shè)它們的中心分別為 O1, O2, O3, 04。求證：0103=020蟲(chóng) O1O3XO2O4解析：類(lèi)比例題2,連接0102并以其為斜邊作等腰R30102M,看起來(lái)M還是難以確 定。實(shí)際上若作圖精確，就會(huì)發(fā)現(xiàn) M是AC中點(diǎn)。類(lèi)似題2,利用中位線把另外兩組邊（M01和M02, M03和M04）放大為原來(lái)的2倍且 不改變位置關(guān)系，即可得證。4、如圖，四邊形ABCD四邊形AFGEtB是正方形，M是CG的中點(diǎn)。求證：MDLMF且 MD=MF。解析：MD和MF共端點(diǎn)，而且發(fā)現(xiàn) DE，BF且DE=BF（由AD和AB垂直且相等，AE和 AF垂直且相等得到），可以考慮連接 ME和MB,證明ME和MB垂直且相等即可。如圖，倍長(zhǎng)GE至P,倍長(zhǎng)CB至Q,再一次利用中位線放大 ME和MB,需證CP和QG垂 直且相等。這可以由API AG且AP=AG AC AQ且AC=AQ得至U。5、如圖，四邊形 ABCD四邊形EFGHB是正方形，M、N、P、Q分別是AE, BF, CG, DH中點(diǎn)。求證：四邊形MNPQ也是正方形。解析：即證明QP QM且QP=QM （另外一組同理）。直接證明有困難，就考慮利用中位線位似放大，于是如圖倍長(zhǎng)GQ至K,倍長(zhǎng)HM至J,證明DJ，CK且DJ=CKffl可