1、傅里葉變換基礎(chǔ)知識The manuscript was revised on the evening of 2021傅里葉變換基礎(chǔ)知識1.傅里葉級數(shù)展開最簡單有最常用的信號是諧波信號，一般同期信號利用傅里葉級數(shù)展開成多個乃至無窮多個不同頻率的諧波信號，即一般周期信號是由多個乃至無窮多 個不同頻率的諧波信號線性疊加而成。周期信號的傅里葉級數(shù)在有限區(qū)間上，任何周期信號川）只要滿足狄利克雷（dirichlet）條件，都可以展開成傅里葉級數(shù)。狄利克雷（dirichlet）條件狄利克雷（dirichlet）條件為：（1）信號x（r）在一個周期內(nèi)只有有限個第一類間斷點（當t從左或右趨向于這個間斷點時，函數(shù)

2、有左極限值和右極限值）；（2）信號x（r）在一周期內(nèi)只有有限個極大值和極小值；（3）信號在一個周期內(nèi)是絕對可積分的，即j驊工出應(yīng)為有限值。-T /20間斷點在非連續(xù)函數(shù)y = f中某點處X0處有中斷現(xiàn)象，那么，X0就稱為函數(shù)的不 連續(xù)點。（1）第一類間斷點（有限型間斷點）：可去間斷點：函數(shù)在該點左極限、右極限存在且相等，但不等于該點函數(shù)值或函數(shù)在該點無定義（X0令分母為零時等情況）；跳躍間斷點：函數(shù)在該點左極限、右極限存在，但不相等（y = X/%在點x = 0處等情況）（2）第二類間斷點：除第一類間斷點的間斷點傅里葉級數(shù)三角函數(shù)表達式傅里葉級數(shù)三角函數(shù)表達式為式中：x(t) = a0a為信號

3、的常值分量；a+ （a cos ns t + b sin ns t）n=1為信號的余弦信號幅值；b為信號的正弦信號幅值。a、a、b分別表示為：0n na0f ab=上 jT/2 x(t)dtT T /2002/2=j o x(t)cos ns tdtT T /20o 0=jT/2 x(t)sin ns tdt式中：0 T0 /2T為信號的周期；s為信號的基頻，即角頻率，s=2兀/T，n = 1,2,3.。0000合并同頻項也可表示為x(t) = a + A cos(ns t + 0 )0n0 nn =1式中：信號的幅值A(chǔ)和初相位0分別為A = a 2 + b0 = arctan(b / a )

4、頻譜的相關(guān)概念（1）信號的頻譜（三角頻譜）：構(gòu)成信號的各頻率分量的集合，表征信號的幅值和相位隨頻率的變化關(guān)系，即信號的結(jié)構(gòu)，是An-s （或A.-f）和0n-s（或0 - f）的統(tǒng)稱；（2）信號的幅頻譜：周期信號幅值A(chǔ)隨s（或f）的變化關(guān)系，用A廣s（或A f）表示；信號的相頻譜：周期信號相位氣隨w (或f )的變化關(guān)系，用0n-w(或0 f )表示；信號的頻譜分析：對信號進行數(shù)學(xué)變換，獲得頻譜的過程;基頻：w或f，各頻率成分都是w或f的整數(shù)倍;0000基波：w0或f0對應(yīng)的信號;n 次諧波：nw0(n = 2,3,.)或 f (n = 2,3,.)的倍頻成分 A cos(nw0t +中)或A

5、 cos(2兀 nf t + 0 )；周期信號的傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開_cos wt = (e - jwt + ejwt)根據(jù)歐拉公式 ejw = coswt jsinwt(j =，貝U2sin wt = j(e-jt ew) 2因此傅里葉級數(shù)三角函數(shù)表達式x(t) = a0 +2(an cosnwj +氣sinnw0t)可改寫成a0 + Ea - jbn=1a + jbnn e jnw()t + nn e - jnw()tn=1C = 2 (a - jb )1C = 2 (a + jb )x (t) = C0 + 工 C ejnw0+ 2C e-g =,，+-nn C ejnw0t +

6、2C ejn% nn =1n=1n=0n=1n =-1x(t)=工 C ejnwtn = 0, 1,2,n =-3這就是周期信號的傅里葉復(fù)指數(shù)形式的表達式。a_2_J nT-T /200b_2_J T0/2nT- T /200 x(t)sin nw tdt 0 x(t)cos nw tdt0將J代入 C = 2 (a - jb )，則 C/ T0/2 x(t)e- jnwtdtT0 -T0/2在一般情況下。是復(fù)數(shù)，可以寫成C =C + jC = c ej%, nn nRnl n式中|C | =)C2 +C2 nnR nlc(p = arctannR由 C =C + jC = c |e明,C =_(a - jb ) , C = (a+jb )可表不為n nR nl nnnnn 2 n TOC o 1-5 h z C = G - jb ) = |c | e 凡2 nnc +jb )=|c -e-jn-n2. nnn則 x(?) = S C ejn(t = 0,l,2, 變?yōu)閤(t) = C + 工 C ej% +e