1、第二章 矩陣及其運算2.1 線性方程組和矩陣2.2 矩陣的運算2.3 逆矩陣2.4 克拉姆法則2.5 矩陣分塊法1 線性方程組和矩陣一、矩陣概念的引入二、矩陣的定義三、特殊的矩陣四、矩陣與線性變換 定義1 設(shè)有 n 個未知數(shù) m 個方程的線性方程組一、線性方程組其中aij 表示第i個方程第j個未知數(shù)的系數(shù)(coefficient),bi 是第i個方程的常數(shù)項(constant)，i=1,2,，m，j =1,2, n.（1） b1 , b2, ,bm 不全為零時，方程組（1）稱為n 元非齊次線性方程組(system of non-homogeneous linear equations). b1

2、=b2= =bm=0 時，方程組（1）成為（2）稱為n 元齊次線性方程組(system of homogeneous linear equations). 對于齊次線性方程組（2）, x1=x2= =xn=0 一定是它的解，稱為方程組（2）的零解(null solution)；如果存在不全為零的數(shù)是（2）的解，則稱為其非零解(non-zerou solution).n 元線性方程組通常簡稱為線性方程組或方程組. （1）有唯一解，（2）無解，（3）有無窮多解. 例如非齊次方程組可能有解可能無解.線性方程組的研究內(nèi)容：是否有解？有解時它的解是否唯一？如果有多個解，如何求出其所有解？ 問題的答案都取

3、決與方程組（1）的 mn個系數(shù)aij (i=1,2,，m，j =1,2, n) 與常數(shù)項b1 , b2, ,bm 所構(gòu)成的m 行 n+1列的矩形數(shù)表齊次方程組（2）的相應(yīng)問題取決于m 行n列數(shù)表b1 b2 . . .bm 由 mn 個數(shù) 排成的 m 行 n 列的數(shù)表稱為 m 行 n 列矩陣，簡稱 mn 矩陣 記作 二、矩陣(Matrix)的定義A=簡記為元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.這 mn 個數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱為元.A=行數(shù)可不等于列數(shù)共有mn個元素本質(zhì)上就是一個數(shù)表行數(shù)等于列數(shù)共有n2個元素矩陣行列式行數(shù)與列數(shù)都等于 n 的矩陣，稱為 n 階方陣可記作 .只

4、有一行的矩陣 稱為行矩陣(或行向量) .只有一列的矩陣 稱為列矩陣(或列向量) .元素全是零的矩陣稱為零距陣可記作 O .例如： 三、特殊的矩陣形如 的方陣稱為對角陣 (diagonal matrix)特別的，方陣 稱為單位陣(unit matrix),記作記作 形如 下面兩個矩陣 的方陣稱為上三角矩陣(upper triangular matrix)5. 形如 下面兩個矩陣 的方陣稱為下三角矩陣(lower triangular matrix) 6. 若方陣 中 , 則稱為對稱矩陣(symmetric matrix)即例如 7. 如果方陣 中 , 則 A 稱為 反對稱矩陣(antisymme

5、tric matrix) 即例如 同型矩陣與矩陣相等的概念 兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時，稱為同型矩陣.例如為同型矩陣. 兩個矩陣 與 為同型矩陣，并且對應(yīng)元素相等，即則稱矩陣 A 與 B 相等，記作 A = B .注意：不同型的零矩陣是不相等的.例如 例1 對于非齊次線性方程組 （1）四、應(yīng)用舉例 有下列幾個矩陣 x1 x2 . . . xm x=未知數(shù)矩陣 b1 b2 . . . bm b=常數(shù)項矩陣A=b1 b2 . . .bm B=系數(shù)矩陣增廣矩陣第i 市到j(luò)市有單程航線 用1表示，無單程航線用0表示，則得到一個數(shù)表： 例2 某航空公司在 四座城市之間開辟了若干航線，四座城市之間的航

6、班圖如圖所示，箭頭從始發(fā)地指向目的地.圖2.1若令則圖2.1中的航線可表示成下列矩陣其中aij 表示工廠向第 i 家商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量 例3 某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價及單件重量也可列成數(shù)表： 其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價，bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量 表示一個從變量 到變量 線性變換，其中 為常數(shù).五、矩陣與線性變換 n 個變量 與 m 個變量 之間的關(guān)系式系數(shù)矩陣 線性變換與矩陣之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系.2例4 線性變換 稱為恒等變換.對應(yīng) 單位陣 En恒等變換對應(yīng) 投影變換 例5 2階方陣 對應(yīng) 以原點為中心

7、逆時針旋轉(zhuǎn)j 角的旋轉(zhuǎn)變換 例6 2階方陣 小結(jié)1.矩陣的定義2.特殊矩陣4.矩陣與線性變換行（列）矩陣單位矩陣零矩陣對稱矩陣反對稱矩陣3.同型矩陣，矩陣相等對角矩陣三角矩陣2 矩陣的運算例1 某工廠生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示：試求：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量 其中aij 表示上半年工廠向第 i 家商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量其中cij 表示工廠下半年向第 i 家商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量解：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量一、矩陣的加法定義：設(shè)有兩個 mn 矩陣 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩陣 A 與 B 的和記作 A

8、B，規(guī)定為說明：只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行加法運算.例 2 求A+B，其中 解： 知識點比較交換律結(jié)合律其他矩陣加法的運算規(guī)律設(shè) A、B、C 是同型矩陣設(shè)矩陣 A = (aij) ，記A = (aij)，稱為矩陣 A 的負(fù)矩陣顯然設(shè)工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各 l 件，試求：工廠向該商店發(fā)送第 j 種貨物的總值及總重量例1（續(xù)）該廠所生產(chǎn)的貨物的單價及單件重量可列成數(shù)表：其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價，bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量 解：工廠向該商店發(fā)送第 j 種貨物的總值及總重量其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價，bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量 二、數(shù)與

9、矩陣相乘定義：數(shù) l 與矩陣 A 的乘積記作 l A 或 A l ，規(guī)定為2結(jié)合律分配律備注數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律設(shè) A、B是同型矩陣，l , m 是數(shù)矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.知識點比較其中aij 表示工廠向第 i 家商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量 例1（續(xù)） 某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價及單件重量也可列成數(shù)表： 其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價，bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量 試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量 解：以 ci1， ci2 分別表示工廠向第 i 家商店所發(fā)貨物的總值及總重量，其中 i =

10、1, 2, 3于是其中aij 表示工廠向第 i 家商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量 其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價，bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量 可用矩陣表示為一般地，三、矩陣與矩陣相乘定義：設(shè) ， ，那么規(guī)定矩陣 A 與矩陣 B 的乘積是一個 mn 矩陣 ，其中并把此乘積記作 C = AB 例2 設(shè)求解：則因此知識點比較有意義.沒有意義.只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘.例 3 結(jié)論：矩陣乘法不一定滿足交換律.矩陣 ，卻有 ，從而不能由 得出 或 的結(jié)論矩陣乘法的運算規(guī)律 (1) 乘法結(jié)合律 (3) 乘法對加法的分配律(2) 數(shù)乘和乘法的結(jié)合律 （

11、其中 l 是數(shù)）(4) 單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即推論：矩陣乘法不一定滿足交換律，但是純量陣 lE 與任何同階方陣都是可交換的.純量陣不同于對角陣(5) 方陣的冪 若 A 是 n 階方陣，定義顯然思考：下列等式在什么時候成立？A、B可交換時成立練習(xí)求 A+2B 和 BC.四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義：把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做 A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 AT .例4轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì)分析：設(shè)則而又如果 ，不可乘.但有意義.例5 已知解法1解法2定義：設(shè) A 為 n 階方陣，如果滿足 ，即那么 A 稱為對稱陣.如果滿足 A = AT，那么 A 稱為反對稱陣. 對稱陣 反對稱陣

12、 例5 設(shè)列矩陣 X = ( x1, x2, , xn )T 滿足 X T X = 1，E 為 n 階單位陣，H = E2XXT，試證明 H 是對稱陣，且 HHT = E.證明：從而 H 是對稱陣 五、方陣的行列式定義：由 n 階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣 A 的行列式，記作|A|或detA.運算性質(zhì)證明：要使得 |AB| = |A| |B| 有意義，A、B 必為同階方陣，假設(shè) A = (aij)nn，B = (bij)nn .我們以 n= 3 為例，構(gòu)造一個6階行列式令 ，則 C = (cij)= AB 從而 定義：行列式 |A| 的各個元素的代數(shù)余子式 Aij 所構(gòu)成的如下矩陣稱為

13、矩陣 A 的伴隨矩陣(adjoint matrix).元素 的代數(shù)余子式 位于第 j 行第 i 列 注：1. 只有方陣才有伴隨矩陣. 2. 與 的階數(shù)相同.六、方陣的伴隨矩陣?yán)?：求3階方陣 的伴隨矩陣.解：性質(zhì)證明 ：令 則 2小結(jié)1.矩陣的運算線性運算加法數(shù)乘冪運算2.方陣乘法運算轉(zhuǎn)置運算伴隨矩陣行列式作業(yè)P52:1(1)(4)(5),2,3,5,7,83 逆矩陣矩陣與復(fù)數(shù)相仿，有加、減、乘三種運算. 矩陣的乘法是否也和復(fù)數(shù)一樣有逆運算呢？這就是本節(jié)所要討論的問題.這一節(jié)所討論的矩陣，如不特別說明，所指的都是 n 階方陣. 從乘法的角度來看，n 階單位矩陣 E 在同階方陣中的地位類似于 1

14、 在復(fù)數(shù)中的地位 一個復(fù)數(shù) a 0的倒數(shù) a1可以用等式 a a1 = 1 來刻劃. 類似地，我們引入對于 n 階單位矩陣 E 以及同階的方陣 A，都有 定義： n 階方陣 A 稱為可逆的，如果有 n 階方陣 B，使得這里 E 是 n 階單位矩陣.根據(jù)矩陣的乘法法則，只有方陣才能滿足上述等式. 對于任意的 n 階方陣 A，適合上述等式的矩陣 B 是唯一的（如果有的話）.定義： 如果矩陣 B 滿足上述等式，那么 B 就稱為 A 的逆矩陣，（inverse matrix）記作 A1 .一、逆矩陣的定義下面要解決的問題是：在什么條件下，方陣 A 是可逆的？如果 A 可逆，怎樣求 A1 ？二、矩陣可逆

15、的條件復(fù)習(xí)：行列式的按行展開定理結(jié)論： ，其中 當(dāng) 時，上式改寫為 令 ，則存在方陣 B 使得定理1：若 ，則方陣A可逆，而且推論：若 ，則 . 證：由 得 即 故結(jié)論成立. 例1：求二階矩陣 的逆矩陣.解:故 .例2：求3階方陣 的逆矩陣.解：| A | = 1，則方陣A 可逆 此時，稱矩陣A為非奇異矩陣定理2：若方陣A 可逆，則 解： 因為 可逆 , 必存在方陣 使得 于是 故 結(jié)論2: 對于n 階方陣A、B，如果 那么 A、B 都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣. 證明同上. 結(jié)論1：方陣A 可逆的充要條件是 . 定理1：若 ，則方陣A可逆，而且推論：若 ，則 . 證：由 得 即 故結(jié)論成

16、立. 推論2： 如果 n 階方陣A、B可逆，那么 、 、 與AB 也可逆，且三、逆矩陣的性質(zhì) 證：先證 再證 最后證 上節(jié)內(nèi)容回顧一、轉(zhuǎn)置矩陣1. 轉(zhuǎn)置矩陣的定義2. 轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì)1. 定義：行列式 |A| 的各個元素的代數(shù)余子式 Aij 所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣 A 的伴隨矩陣(adjoint matrix).元素 的代數(shù)余子式 位于第 j 行第 i 列 注：1. 只有方陣才有伴隨矩陣. 2. 與 的階數(shù)相同.一、方陣的伴隨矩陣 上節(jié)內(nèi)容回顧 1. 定義： n 階方陣 A 稱為可逆的，如果有 n 階方陣 B，使得其中 E 是 n 階單位矩陣，B 就稱為 A 的逆矩陣，記作 A1 .二、

17、逆矩陣2、矩陣可逆的條件 結(jié)論2: 對于n 階方陣A、B，如果 那么 A、B 都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣.結(jié)論1：方陣A 可逆 的充要條件是 . 3、逆矩陣的求法 （伴隨矩陣法） 如果 n 階方陣A、B可逆，那么 、 、 與AB 也可逆，且4. 逆矩陣的性質(zhì)5、幾個常用公式證：設(shè)是階的方陣 即方法一：存在.求例3 設(shè)A為3階矩陣 解:由于方法二解存在.解法三先左乘A的行列式解例4 解矩陣方程 解：設(shè) 則原方程可改寫為又因為所以都可逆, 于是 即而例5 設(shè) 求 解：因，故可逆，且 于是 性質(zhì)1：若 則 即 三、對角陣的性質(zhì) 性質(zhì)2：若 則 即 性質(zhì)3：若 則 例6 設(shè) 且 ABEA2B 求

18、B 解：由 ABEA2B 得 ABBA2E 即 (AE)B(AE)(AE) 因為 所以 AE 可逆 從而1. 定義：行列式 |A| 的各個元素的代數(shù)余子式 Aij 所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣 A 的伴隨矩陣(adjoint matrix).元素 的代數(shù)余子式 位于第 j 行第 i 列 注：1. 只有方陣才有伴隨矩陣. 2. 與 的階數(shù)相同.一、方陣的伴隨矩陣 上節(jié)內(nèi)容回顧結(jié)論1：方陣A 可逆 的充要條件是 . 1. 定義： n 階方陣 A 稱為可逆的，如果有 n 階方陣 B，使得其中 E 是 n 階單位矩陣，B 就稱為 A 的逆矩陣，記作 A1 .二、逆矩陣（inverse matrix）2、矩

19、陣可逆的條件 結(jié)論2: 對于n 階方陣A、B，如果 那么 A、B 都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣.3、逆矩陣的求法 （伴隨矩陣法） 如果 n 階方陣A、B可逆，那么 、 、 與AB 也可逆，且4. 逆矩陣的性質(zhì)5、幾個常用公式 性質(zhì)1：若 則 即 三、對角陣的性質(zhì) 性質(zhì)2：若 則 即 性質(zhì)3：若 則 線性變換 的系數(shù)矩陣為n 階方陣 A ，若記 則上述線性變換可記作 Y = AX . 2.3 逆矩陣（續(xù)） 例7 設(shè)線性變換的系數(shù)矩陣是一個 3 階方陣 記求變量 y1, y2, y3 到變量 x1, x2, x3的線性變換。則上述線性變換可記作 Y = AX 分析：求變量 y1, y2, y3

20、 到變量 x1, x2, x3的線性變換相當(dāng)于求 A 的逆矩陣.解：由例2已知 ，于是 ，即或定義設(shè) 是復(fù)數(shù)域上的多項式，稱 為矩陣A 的 m 次多項式.則四、矩陣多項式（polynomial of matrix）性質(zhì)設(shè) 是復(fù)數(shù)域上的多項式，證：證：例8 設(shè) AP P 其中 求 (A) A8(5E6AA2) 解:由于 ()8(5E62) diag(1158)diag(555)diag(6630)diag(1152)diag(1158)diag(1200)12diag(100) 所以 (A) P()P1小 結(jié)概念矩陣可逆的條件一、可逆矩陣性質(zhì)應(yīng)用二、矩陣多項式解矩陣方程求法(伴隨矩陣法) 作 業(yè)

21、P53： 9(1)(3), 10,11,13 14(2-4),17,19,20,21, 22,23,24 4 克拉默法則簡介克萊姆法則，又譯克拉默法則（Cramers Rule）是線性代數(shù)中一個關(guān)于求解線性方程組的定理。它適用于變量和方程數(shù)目相等的線性方程組，是瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆（1704-1752）于1750年，在他的線性代數(shù)分析導(dǎo)言中發(fā)表的。二元線性方程組 若令 (方程組的系數(shù)行列式)則上述二元線性方程組的解可表示為一、克拉默法則（Gramers Rule）如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即其中 是把系數(shù)行列式 中第 列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的 階行列式，即那么線性方程組

22、(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成定理中包含著三個結(jié)論：方程組有解；（解的存在性） 解是唯一的；（解的唯一性）解可以由公式(2)給出.這三個結(jié)論是有聯(lián)系的. 應(yīng)該注意，該定理所討論的只是系數(shù)行列式不為零的方程組，至于系數(shù)行列式等于零的情形，將在第三章的一般情形中一并討論.二、克拉默法則的等價命題定理4 如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有解,而且解是唯一的 .定理4 如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.設(shè)例1 解線性方程組解法2 用逆矩陣法因故A 可逆，于是即線性方程組常數(shù)項全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組，否則稱為非齊次線性方程組.齊

23、次線性方程組總是有解的，因為(0,0, 0)就是一個解，稱為零解. 因此，齊次線性方程組一定有零解，但不一定有非零解. 我們關(guān)心的問題是，齊次線性方程組除零解以外是否存在著非零解. 三、齊次線性方程組的相關(guān)定理定理5 如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式 ，則齊次線性方程組只有零解，沒有非零解.定理5 如果齊次線性方程組有非零解,則它的系數(shù)行列式必為零. 備注這兩個結(jié)論說明系數(shù)行列式等于零是齊次線性方程組有非零解的必要條件. 在第三章還將證明這個條件也是充分的. 即：齊次線性方程組有非零解 系數(shù)行列式等于零例2 問 取何值時，齊次方程組有非零解？解如果齊次方程組有非零解，則必有 .所以 時齊次方程組

24、有非零解.思考題當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時，能否用克拉默法則解方程組？為什么？此時方程組的解為何？答：當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時，不能用克拉默法則解方程組，因為此時方程組的解為無解或有無窮多解.課堂練習(xí)用克拉默法則和逆矩陣法求解線性方程組1. 用克拉默法則解線性方程組的兩個條件(1)方程個數(shù)等于未知量個數(shù)；(2)系數(shù)行列式不等于零.2. 克拉默法則的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)以及常數(shù)項之間的關(guān)系它主要適用于理論推導(dǎo)小結(jié)作業(yè) P55：154 矩陣分塊法前言由于某些條件的限制，我們經(jīng)常會遇到大型文件無法上傳的情況，如何解決這個問題呢?這時我們可以借助WINRAR把文件分塊，依次上傳.家具的拆卸與裝配問題一：什么是矩陣分塊法？問題二：為什么提出矩陣分塊法？問題一：什么是矩陣分塊法？一、分塊矩陣的概念 定義：用一些橫線和豎線將矩陣分成若干個小塊，這種操作稱為對矩陣進(jìn)行分塊(matrix partition)； 每一個小塊稱為矩陣的子塊（block）； 矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣(block matrix/partitioned matrix).這是2階方陣嗎？思考題伴隨矩陣是分塊矩陣嗎？答