1、第二課時數列求和(習題課)分組轉化法求和例1已知數列an的前n項和Sneq f(n2n,2)，nN*.(1)求數列an的通項公式；(2)設bn2an(1)nan，求數列bn的前2n項和解(1)當n1時，a1S11；當n2時，anSnSn1eq f(n2n,2)eq f(（n1）2（n1）,2)n.a11也滿足ann，故數列an的通項公式為ann.(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn.記數列bn的前2n項和為T2n，則T2n(212222n)(12342n)記A212222n，B12342n，則Aeq f(2（122n）,12)22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故數列bn的

2、前2n項和T2nAB22n1n2.eq avs4al()分組轉化法求和的解題策略當一個數列本身不是等差數列也不是等比數列，但如果它的通項公式可以拆分為幾項的和，而這些項又構成等差數列或等比數列時，就可以用分組求和法，即原數列的前n項和等于拆分成的每個數列前n項和的和 跟蹤訓練在等差數列an中，已知a24，a4a715.(1)求數列an的通項公式；(2)設bn2eq avs4al(an2)n，求b1b2b3b10的值解：(1)設等差數列an的公差為d.由已知得eq blc(avs4alco1(a1d4，,（a13d）（a16d）15，)解得eq blc(avs4alco1(a13，,d1.)所以

3、ana1(n1)dn2.(2)由(1)可得bn2nn，所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)eq f(2（1210）,12)eq f(（110）10,2)(2112)55211532 101.并項轉化法求和例2已知數列1，4，7，10，(1)n(3n2)，求其前n項和Sn.解當n為偶數時，令n2k(kN*)，SnS2k14710(1)n(3n2)(14)(710)(6k5)(6k2)3keq f(3,2)n.當n為奇數時，令n2k1(kN*)，SnS2k1S2ka2k13k(6k1)eq f(3n1,2).Sneq blc(avs4a

4、lco1(f(3n1,2)，n為奇數，,f(3n,2)，n為偶數.)eq avs4al()并項轉化法求和的解題策略(1)一般地，當數列中的各項正負交替，且各項的絕對值成等差數列時，可以采用并項轉化法求和；(2)在利用并項轉化法求和時，因為數列的各項是正負交替的，所以一般需要對項數n進行分類討論，但最終的結果卻往往可以用一個式子來表示 跟蹤訓練已知數列12，22，32，42，(1)n1n2，求其前n項和Sn.解：當n是偶數時，Sn(1222)(3242)(n1)2n237(2n1)eq f(n（n1）,2)；當n是奇數時，Sn1(3222)(5242)n2(n1)2159(2n1)eq f(n（

5、n1）,2).故Sn(1)n1eq f(n（n1）,2)(nN*).裂項相消法求和例3已知等差數列an的前n項和為Sn，bneq f(1,Sn)，且a2b2eq f(5,8)，S5eq f(35,2).(1)求數列an，bn的通項公式；(2)求證b1b2bneq f(3,2).解(1)由S5eq f(35,2)，得eq f(5（a1a5）,2)eq f(35,2)，即a3eq f(7,2)，bneq f(1,Sn)，a2b2eq f(5,8)，eq blc(avs4alco1(（a1d）f(1,2a1d)f(5,8)，,a12df(7,2)，)解得eq blc(avs4alco1(a1f(3,

6、2)，,d1.)anneq f(1,2)，bneq f(2,n（n2）).(2)證明：b1b2bneq f(2,13)eq f(2,24)eq f(2,35)eq f(2,n（n2）)1eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(1,3)eq f(1,5)eq f(1,n)eq f(1,n2)eq f(3,2)eq f(1,n1)eq f(1,n2)eq f(3,2).eq avs4al()1把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和2裂項求和的幾種常見類型：(1)eq f(1,n（nk）)eq f(1,k)eq blc(rc)(avs4alc

7、o1(f(1,n)f(1,nk)；(2)eq f(1,r(nk)r(n)eq f(1,k)eq blc(rc)(avs4alco1(r(nk)r(n)；(3)eq f(1,（2n1）（2n1）)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n1)f(1,2n1)；(4)若an是公差為d的等差數列，則eq f(1,anan1)eq f(1,d)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,an)f(1,an1). 跟蹤訓練已知數列an的前n項和為Sn，a13，若數列Sn1是公比為4的等比數列(1)求數列an的通項公式；(2)設bneq f(an1,（an13）Sn1)

8、，nN*，求數列bn的前n項和Tn.解：(1)由題意知Sn1(S11)4n14n，所以Sn4n1，當n2時，anSnSn134n1，且a13滿足上式，所以數列an的通項公式為an34n1.(2)bneq f(an1,（an13）Sn1)eq f(4n,（4n1）（4n11）)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4n1)f(1,4n11)，所以Tnb1b2bneq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,411)f(1,421)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,421)f(1,431)eq f(1,3)eq

9、blc(rc)(avs4alco1(f(1,4n1)f(1,4n11)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,411)f(1,4n11)eq f(1,9)eq f(1,3（4n11）).錯位相減法求和例4(2021泰安高二質檢)在a35，a2a56b2；b22，a3a43b3；S39，a4a58b2，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答已知等差數列an的公差為d(d1)，前n項和為Sn，等比數列bn的公比為q，且a1b1，dq，_(1)求數列an，bn的通項公式；(2)記cneq f(an,bn)，求數列cn的前n項和Tn.注：如果選擇多個條件分別解答，按

10、第一個解答計分解選條件：(1)a35，a2a56b2，a1b1，dq，d1，eq blc(avs4alco1(a12d5，,2a15d6b1q6a1d，)解得eq blc(avs4alco1(a11，,d2)或eq blc(avs4alco1(a1f(25,6)，,df(5,12)(舍去)，eq blc(avs4alco1(b11，,q2，)ana1(n1)d2n1，bnb1qn12n1.(2)由題意得，cneq f(an,bn)eq f(2n1,2n1)(2n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n1)，Tn1eq blc(rc)(avs4alco1(f

11、(1,2)eq sup12(0)3eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(1)5eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(2)(2n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n1)，eq f(1,2)Tn1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(1)3eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(2)(2n3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n1)(2n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(

12、1,2)eq sup12(n)，得eq f(1,2)Tn12eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n1)(2n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n)12eq f(f(1,2)blcrc(avs4alco1(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup12(n1),1f(1,2)(2n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(

13、n)3(2n3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n)，Tn6(2n3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n1).選條件：(1)b22，a3a43b3，a1b1，dq，d1，eq blc(avs4alco1(b1qa1d2，,2a15d3b1q23a1d2，)eq blc(avs4alco1(a1d2，,2a15d6d，)解得eq blc(avs4alco1(a11，,d2)或eq blc(avs4alco1(a11，,d2)(舍去)，eq blc(avs4alco1(b11，,q2，)ana1(n1)d2n1，bnb

14、1qn12n1.(2)由題意得，cneq f(an,bn)eq f(2n1,2n1)(2n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n1)，Tn1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(0)3eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(1)5eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(2)(2n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n1)，eq f(1,2)Tn1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(1

15、)3eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(2)(2n3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n1)(2n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n)，得eq f(1,2)Tn12eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n1)(2n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n)

16、12eq f(f(1,2)blcrc(avs4alco1(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup12(n1),1f(1,2)(2n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n)3(2n3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n)，Tn6(2n3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n1).選條件：(1)S39，a4a58b2，a1b1，dq，d1，eq blc(avs4alco1(3a1f(32,2)d9，,2a17d8b1q8a1d，)解得eq blc(avs4alco

17、1(a11，,d2)或eq blc(avs4alco1(a1f(21,8)，,df(3,8)(舍去)，eq blc(avs4alco1(b11，,q2，)ana1(n1)d2n1，bnb1qn12n1.(2)由題意得，cneq f(an,bn)eq f(2n1,2n1)(2n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n1)，Tn1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(0)3eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(1)5eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(2)(

18、2n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n1)，eq f(1,2)Tn1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(1)3eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(2)(2n3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n1)(2n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n)，得eq f(1,2)Tn12eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)

19、eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n1)(2n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n)12eq f(f(1,2)blcrc(avs4alco1(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup12(n1),1f(1,2)(2n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n)3(2n3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n)，Tn6(2n3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n1).

20、eq avs4al()1使用范圍：如果數列an是等差數列，bn是等比數列，求數列anbn的前n項和時，可采用錯位相減法2注意事項：在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“SnqSn”的表達式 跟蹤訓練已知an是等比數列，bn是等差數列，且a11，b13，a2b27，a3b311.(1)求數列an和bn的通項公式；(2)設cneq f(bn,an)，nN*，求數列cn的前n項和Tn.解：(1)設等比數列an的公比為q(q0)，等差數列bn的公差為d，依題意有eq blc(avs4alco1(a2b2q（3d）7，,a3b3q2（32d）11，)即eq

21、blc(avs4alco1(qd4，,q22d8，)解得eq blc(avs4alco1(q2，,d2)或eq blc(avs4alco1(q0，,d4)(舍去)所以an2n1，nN*，bn32(n1)2n1，nN*.(2)由(1)得cneq f(bn,an)eq f(2n1,2n1)，所以Tneq f(3,1)eq f(5,2)eq f(2n1,2n1)，所以eq f(1,2)Tneq f(3,2)eq f(5,22)eq f(2n1,2n1)eq f(2n1,2n)，由，得eq f(1,2)Tn32eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,22)f(1,2n1)eq f

22、(2n1,2n)32eq f(f(1,2)blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n1),1f(1,2)eq f(2n1,2n)5eq f(2n5,2n)，所以Tn10eq f(2n5,2n1).由數列的遞推關系求通項1已知等差數列an的前n項和為Sn，且S44S2，a2n2an1(nN*)求數列an的通項公式2已知等比數列an的前n項和為Sn，且an12Sn2(nN*)求數列an的通項公式問題探究類型一：形如an1anf(n)的遞推關系式這類遞推數列采用累加法求其通項(數列f(n)可求前n項和)當f(n)為常數時，可通過累加法求得等差數列的通項公式而當f(n)為等差數列時，an為二階

23、等差數列，其通項公式應形如anan2bnc，注意與等差數列求和公式一般形式的區(qū)別，后者是Snan2bn，其常數項一定為0.類型二：形如an1f(n)an的遞推關系式這類遞推數列可通過累乘法求得其通項(數列f(n)可求前n項積)當f(n)為常數時，用累乘法可求得等比數列的通項公式類型三：形如an1cantan1(n2，ct0)的遞推關系式對于此類遞推關系式，同樣可以使用待定系數法將其轉化為等比數列問題即令an1xany(anxan1)，用待定系數法求出x與y的值，即可轉化為等比數列問題，進而求通項類型四：形如an1cantan1a(cta0)的遞推關系式對于此類遞推關系式，可轉化為等差數列求解類

24、型五：由Sn與an的關系求an數列an的通項an與其前n項和Sn的關系為aneq blc(avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2，nN*.)提醒(1)應重視分類討論的應用，要先分n1和n2兩種情況討論，特別要注意由SnSn1an推導出的an中的n2；(2)由SnSn1an推導出的anf(n)(n2)，若當n1時，a1也適合anf(n)，則需要統(tǒng)一合成一個表達式遷移應用1已知數列an的前n項和為Sn，a11，Sn2an1，則Sn()A2n1B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)eq sup12(n1)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq

25、sup12(n1) D.eq f(1,2n1)解析：選B因為an1Sn1Sn，所以由Sn2an1，得Sn2(Sn1Sn)，整理得3Sn2Sn1，所以eq f(Sn1,Sn)eq f(3,2)，所以數列Sn是以S1a11為首項，eq f(3,2)為公比的等比數列，故Sneq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)eq sup12(n1).2在數列an中，a11，aneq f(n2,n21)an1(n2，nN*)，則an_解析：由題意知eq f(an,an1)eq f(n2,n21)eq f(n2,（n1）（n1）)，所以ana1eq f(a2,a1)eq f(a3,a2)eq f(an

26、,an1)1eq f(22,221)eq f(32,321)eq f(n2,n21)eq f(223242n2,（21）（21）（31）（31）（41）（41）（n1）（n1）)eq f(223242n2,132435（n1）（n1）)eq f(2n,n1).答案：eq f(2n,n1)3已知數列an的首項a15，前n項和為Sn，且Sn12Snn5(nN*)(1)證明：數列an1是等比數列；(2)求數列an的通項公式解：(1)證明：由Sn12Snn5(nN*)，得當n2時，Sn2Sn1(n1)5.兩式相減得Sn1Sn2(SnSn1)1，即an12an1，從而an112(an1)當n1時，S22S115，a2a12a16.又a15，a211，從而a212(a11)故總有an112(an1)，nN*.又a1160，數列an1是首項為6，公比為2的等比數列(2)由(1)知an162n132n，an32n1.1已知an(