1、平面向量三點(diǎn)共線定理和等和線定理（方法素養(yǎng)助學(xué)培優(yōu)）【考情分析】平面向量是有效連接代數(shù)和幾何的橋梁，已成為高考數(shù)學(xué)命題的一個(gè)熱點(diǎn)，向量三點(diǎn)共線和等和線巧妙地將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系問(wèn)題，將系數(shù)和的代數(shù)式運(yùn)算轉(zhuǎn)化為距離的比例運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合思想得到了有效體現(xiàn)。平面向量三點(diǎn)共線定理和等和線定理在近年高考及各省市的模擬考試相繼出現(xiàn)，這類問(wèn)題綜合性較強(qiáng)，難度稍大，學(xué)生在解決此類問(wèn)題大多會(huì)思路不清晰，解題繁瑣，得分率不高，通過(guò)三點(diǎn)共線和等和線定理的研究學(xué)習(xí)為求解此類問(wèn)題打開(kāi)嶄新的解題空間?！究键c(diǎn)知識(shí)回顧】1.共線向量定理向量a(a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba.2.平面向量基本定理如果e、e

2、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使aee.其中，不共線的向量e、e叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底【考點(diǎn)探究題型突破】思考 1如圖所示，在平面內(nèi)，已知，若點(diǎn)C在直線AB上（即A,B,C三點(diǎn)共線），則=，若點(diǎn)C在線段AB 上，則。引申探究在平面內(nèi)，已知，若，則A,B,C三點(diǎn)一定共線嗎？1.三點(diǎn)共線定理：已知為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量且，是A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件。2.已知，若A,B,C三點(diǎn)共線且點(diǎn)C在線段AB 上，則（系數(shù)交叉對(duì)應(yīng)）。3.特別地：當(dāng)C為AB的中點(diǎn)時(shí)，.練習(xí)1如圖，在ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E在線段AD上，且AE=2ED,則

3、( )思考 2如圖所示，在平面內(nèi)，已知，若點(diǎn)C在直線AB外，則=等和線定理：平面內(nèi)一組基底及任一向量,若點(diǎn)C在直線AB上或者平行與AB的直線上，則且，反之也成立。（直線AB以及直線AB平行的直線稱為等和線）。性質(zhì)：（1）；（2）當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，；（3）當(dāng)?shù)群途€在O和直線AB之間時(shí)，；（4）當(dāng)直線AB在點(diǎn)O和等和線之間時(shí)，；（5）當(dāng)?shù)群途€過(guò)O點(diǎn)時(shí)，。例（2013安徽高考，理）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角是，如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓AB上變動(dòng)。若,其中，則的最大值是例2（2017新課標(biāo)，理12）在矩形中，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上若，則的最大值為一般用等和線求解基底系數(shù)之和范圍步驟：1.確定起點(diǎn)、基底；2.確定基線（即的線）3.作平行線得到定值的取值或范圍。練習(xí)2如圖，平面內(nèi)有三個(gè)