1、初等數(shù)論課程教學(xué)大綱一、課程概況所屬專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)開課單位：數(shù)學(xué)計算機(jī)科學(xué)學(xué)院課程類型：專業(yè)方向課程課程代碼：07411070開課學(xué)期：2學(xué)分：3學(xué)時：51核心課程：否擬使用教材： 閔嗣鶴,嚴(yán)士健. 初等數(shù)論(第三版). 高等教育出版社. 2003. 國內(nèi)(外)現(xiàn)有教材：1 華羅庚. 數(shù)論導(dǎo)引. 科學(xué)出版社. 1957. 2 HYPERLINK /author/%C5%CB%B3%D0%B6%B4_1 t _blank 潘承洞, HYPERLINK /author/%C5%CB%B3%D0%B1%EB_1 t _blank 潘承彪. 初等數(shù)論(第三版). 北京大學(xué)出版社. 2013. 3

2、 柯召. 數(shù)論講義(第二版). 高等教育出版社. 2005. 4 孫智偉. 基礎(chǔ)數(shù)論入門. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社. 2014.學(xué)習(xí)參考資料1 Hardy G H, Wright E M. An introduction to the theory of numbers. Oxford University Press. 1979.2 K.H.Rosen. Elementary number theory and its applications(6th edit.). Pearson Education Inc. 2011.二、課程描述數(shù)論是一門經(jīng)典學(xué)科，是數(shù)學(xué)中最古老最純粹的數(shù)學(xué)學(xué)科之一，也

3、是現(xiàn)代很多前沿理論的基礎(chǔ)。數(shù)論歷史悠久，著名的中國剩余定理首次出現(xiàn)在我國數(shù)學(xué)名著孫子算經(jīng)（公元4-5世紀(jì)）中；數(shù)論生機(jī)勃勃，大量著名猜想，如歌德巴赫猜想，黎曼假設(shè)等不斷推動數(shù)論乃至數(shù)學(xué)學(xué)科向前發(fā)展；數(shù)論應(yīng)用廣泛，當(dāng)代密碼學(xué)（包括網(wǎng)絡(luò)和信息安全）和計算機(jī)科學(xué)的許多進(jìn)展皆基于初等數(shù)論知識。初等數(shù)論是數(shù)論的基礎(chǔ)分支，主要用初等方法研究整數(shù)的性質(zhì)和方程（組）的整數(shù)解。初等數(shù)論也是學(xué)習(xí)數(shù)論其它分支，如解析數(shù)論，代數(shù)數(shù)論和計算數(shù)論的基礎(chǔ)。學(xué)生通過初等數(shù)論的學(xué)習(xí)，不但可以加強(qiáng)對中學(xué)初等數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，而且可以為相關(guān)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)研究奠定良好基礎(chǔ)。三、課程目標(biāo)掌握整數(shù)的整除性，不定方程，同余式，二次剩余，原根等基

4、本理論和方法，培養(yǎng)學(xué)生離散思維能力和應(yīng)用初等數(shù)論知識解決實際問題的能力。四、教學(xué)要求本課程要求學(xué)生理解整除，公因數(shù)與公倍數(shù)，素數(shù)與合數(shù)等整數(shù)的有關(guān)概念與性質(zhì)；掌握輾轉(zhuǎn)相除法；能夠計算二元一次不定方程和多元一次不定方程；理解同余，同余式組，剩余類，完全剩余系與簡化剩余系的概念與性質(zhì)；掌握歐拉定理，費馬小定理，中國剩余定理和Wilson定理；能夠運用中國剩余定理計算同余式組；掌握平方剩余與平方非剩余，Legendre符號和Jacobi符號的概念和性質(zhì)；理解二次剩余與二次非剩余的歐拉判別法；能夠判斷二次同余式的可解性與解數(shù)；理解原根和指數(shù)的概念與性質(zhì)。通過本課程的學(xué)習(xí)，可以為其它相關(guān)課程的學(xué)習(xí)提供必

5、須的理論基礎(chǔ)，進(jìn)一步提高學(xué)生的抽象思維能力、邏輯思維能力以及利用數(shù)論知識解決實際問題的能力。五、考核方式及要求為實現(xiàn)課程教學(xué)目標(biāo)，本門課程考核方式及要求為：平時表現(xiàn)25%（包括平時作業(yè)，課堂回答問題，課下與老師交流學(xué)習(xí)情況，考勤等）；期中測驗15%；期末閉卷考核60%。六、課程內(nèi)容第一章：整數(shù)的可除性（授課時間：第二學(xué)期第一周至第三周）教學(xué)目標(biāo)：理解整除、公因數(shù)、公倍數(shù)的概念及相關(guān)性質(zhì)，熟練掌握求最大公因 數(shù)、最小公倍數(shù)的方法；理解素數(shù)與合數(shù)的概念和性質(zhì)，掌握素數(shù)分 解定理以及篩法的基本思想；理解函數(shù)x與x的概念和性質(zhì)，掌握 n!的素數(shù)分解及應(yīng)用。教學(xué)重點：帶余數(shù)除法、輾轉(zhuǎn)相除法、算術(shù)基本定理

6、。教學(xué)難點：算術(shù)基本定理。學(xué) 時：課堂教學(xué)9學(xué)時，課外自主學(xué)習(xí)時間不少于6學(xué)時。教學(xué)方法：講授法。主要內(nèi)容：（1）整除； （2）最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)； （3）歐幾里得算法； （4）質(zhì)數(shù)、算術(shù)基本定理； （5）函數(shù)x、x及其應(yīng)用。學(xué)習(xí)方法：小組討論，練習(xí)鞏固。課后作業(yè)：選做課后練習(xí)題中的典型問題。第二章：不定方程（授課時間：第二學(xué)期第四周至第五周）教學(xué)目標(biāo)：理解二元一次不定方程有整數(shù)解的充分必要條件，熟練掌握求二元一次不定方程的方法；了解多元一次不定方程和勾股數(shù)。教學(xué)重點：二元一次不定方程有整數(shù)解的充分必要條件。教學(xué)難點：二元一次不定方程的解法。學(xué) 時：課堂教學(xué)6學(xué)時，課外自主學(xué)習(xí)時間不少于4

7、學(xué)時。教學(xué)方法：講授法。主要內(nèi)容：（1）二元一次不定方程； （2）多元一次不定方程； （3）勾股數(shù)。學(xué)習(xí)方法：小組討論，練習(xí)鞏固。課后作業(yè)：選做課后練習(xí)題中的典型問題。第三章：同余（授課時間：第二學(xué)期第六周至第八周）教學(xué)目標(biāo)：理解同余的概念及性質(zhì)；理解剩余類，完全剩余系和簡化剩余系的 概念及其判斷方法；掌握歐拉函數(shù)，歐拉定理、費馬小定理及其應(yīng)用。教學(xué)重點：剩余類，完全剩余系，簡化剩余系，歐拉函數(shù)，歐拉定理，費馬定理。教學(xué)難點：完全剩余系，簡化剩余系，歐拉函數(shù)。學(xué) 時：課堂教學(xué)9學(xué)時，課外自主學(xué)習(xí)時間不少于6學(xué)時。教學(xué)方法：講授法。主要內(nèi)容：（1）同余的概念及其基本性質(zhì)； （2）剩余類及完全剩余

8、系； （3）簡化剩余系與歐拉函數(shù)； （4）歐拉定理、費馬小定理及其對循環(huán)小數(shù)的應(yīng)用。學(xué)習(xí)方法：小組討論，練習(xí)鞏固。課后作業(yè)：選做課后練習(xí)題中的典型問題。第四章：同余式（授課時間：第二學(xué)期第九周至第十一周）教學(xué)目標(biāo)：理解同余方程的概念和性質(zhì)；掌握孫子定理和Wilson定理。教學(xué)重點：孫子定理，高次同余式的解數(shù)及解法。教學(xué)難點：孫子定理和Wilson定理。學(xué) 時：課堂教學(xué)9學(xué)時，課外自主學(xué)習(xí)時間不少于6學(xué)時。教學(xué)方法：講授法。主要內(nèi)容：（1）基本概念及一次同余式； （2）孫子定理； （3）高次同余式的解數(shù)與解法； （4）質(zhì)數(shù)模的同余式。學(xué)習(xí)方法：小組討論，練習(xí)鞏固。課后作業(yè)：選作課后練習(xí)題中的典型

9、問題。第五章：二次同余式與平方剩余（授課時間：第二學(xué)期第十二周至第十四周）教學(xué)目標(biāo)：理解平方剩余與平方非剩余的概念；掌握單素數(shù)的平方剩余與平方 非剩余的歐拉判定法；掌握勒讓得符號，雅可比符號的性質(zhì)及應(yīng)用。 教學(xué)重點：單質(zhì)數(shù)的平方剩余與平方非剩余，勒讓得符號，歐拉判別條件、二次互反定律。教學(xué)難點：二次互反定律。學(xué) 時：課堂教學(xué)9學(xué)時，課外自主學(xué)習(xí)時間不少于6學(xué)時。教學(xué)方法：講授法。主要內(nèi)容：（1）一般二次同余式； （2）單質(zhì)數(shù)的平方剩余與平方非剩余； （3）勒讓得符號； （4）雅可比符號。學(xué)習(xí)方法：小組討論，練習(xí)鞏固。課后作業(yè)：選做課后練習(xí)題中的典型問題。第六章：原根與指標(biāo)（授課時間：第二學(xué)期第十五周至第十七周）教學(xué)目標(biāo)：理解原根，指數(shù)及其性質(zhì)，掌握原根存在的條件以及原根的求法。教學(xué)重點：指數(shù)及其性質(zhì)，原根存在的條件, 指標(biāo)及n次剩余。教學(xué)難點：原根存在的條件, 指標(biāo)及n次剩余。學(xué) 時：課堂