1、一、二次函數(shù)真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1.已知二次函數(shù)y二ax2-2ax+3的最大值為4,且該拋物線與y軸的交點為C，頂點為D.（1）求該二次函數(shù)的解析式及點C，D的坐標；（2）點P（t,0）是x軸上的動點，求|PC-PD|的最大值及對應(yīng)的點P的坐標；設(shè)Q（0,21）是y軸上的動點，若線段PQ與函數(shù)y=aIx|2-2aIX+3的圖像只有一個公共點，求t的取值范圍.【答案】（1）y=-x2+2x+3，C點坐標為（0,3），頂點D的坐標為（1,4）；（2）最37大值是叮2，P的坐標為（-3,0），t的取值范圍為t-3或2t3或t=2.【解析】【分析】-2a（1）先利用對稱軸公式x=-二1，

2、計算對稱軸，即頂點坐標為（1,4）,再將兩點代2a入列二元一次方程組求出解析式；（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：可知P、C、D三點共線時|PC-PD|取得最大值，求出直線CD與x軸的交點坐標，就是此時點P的坐標；X2+2x+3,xn0,（3）先把函數(shù)中的絕對值化去，可知yc八，此函數(shù)是兩個二次函數(shù)X22x+3,x0）時有一個公共點時，求t的值；當(dāng)線段PQ過點（-3,0）,即點P與點（-3,0）重合時，線段PQ與當(dāng)函數(shù)y=a|x|2-2a|x|+c（xV0）時也有一個公共點，則當(dāng)t-3時，都滿足條件；綜合以上結(jié)論，得出t的取值.【詳解】2a解：（1）tx二一二1,2ay=ax2ax+3的對稱軸為x=

3、1.ty二ax2-ax+3人最大值為4,拋物線過點G，4）得a2a+3=4,解得a=1.該二次函數(shù)的解析式為y=-X2+2x+3.C點坐標為（，3），頂點D的坐標為（1,4）.（2）t|PC-PD|CD,當(dāng)P，C，D三點在一條直線上時，|PC-PD|取得最大值.連接DC并延長交y軸于點P，|PC-PD=CD=J12+（43=邁.|PC-PD|的最大值是春2.易得直線CD的方程為yx+3.把P（t,0）代入，得t-3.此時對應(yīng)的點P的坐標為（-3,0）.y=a|x|2-2a|x|+3的解析式可化為yx2+2x+3,xn0,-x22x+3,x0.設(shè)線段PQ所在直線的方程為ykx+b，將P（t,0）

4、，Q（0,2t）的坐標代入，可得線段PQ所在直線的方程為y2x+2t.（1）當(dāng)線段PQ過點（3,0），即點p與點（3,0）重合時，線段PQ與函數(shù)x2+2x+3,xn0,cQn的圖像只有一個公共點，此時t-3.ix22x+3,x0.當(dāng)t3時，線段PQ與函數(shù)yx2+2x+3,xn0,i的圖像只有一個公共點.x22x+3,x0.（2）當(dāng)線段PQ過點（0,3），即點Q與點C重合時，線段PQ與函數(shù)yx2+2x+3,xn0,3的圖像只有一個公共點，此時t.x22x+3,x0.2當(dāng)線段PQ過點（3,0），即點P與點（3,0）重合時，t3，此時線段PQ與函數(shù)x2+2x+3,xn0,i的圖像有兩個公共點.3所以

5、當(dāng)2t3時，線段PQ與函數(shù)y-X22x+3,x0.x2+2x+3,xn0,的圖像只有一個公共點.x22x+3,x0.(3)將y2x+2t帶入yx2+2x+3(xn0)，并整理，得x24x+2t30.A164(2t3)=288t.7令28一8t=0，解得t-.7-當(dāng)t時，線段PQ與函數(shù)yix2+2x+3,xn0,i的圖像只有一個公共點.X22x+3,x0.37綜上所述，t的取值范圍為t-3或2txyy育用圖24917【答案】(i)拋物線的解析式為y=3x2+3x-i；12，(，2)；點g的坐標為(2,1),(-2J,_2邁-1),(2,2遠-1),(-4,3).【解析】【分析】利用待定系數(shù)法確定

6、函數(shù)關(guān)系式；由函數(shù)圖象上點的坐標特征：可設(shè)點E的坐標為(m,m+3)，點F的坐標為(m,2113m2+m-1)，由此得到EF=-3m2+3m+4，根據(jù)二次函數(shù)最值的求法解答即可；分三種情形如圖1中，當(dāng)EG為菱形對角線時.如圖2、3中，當(dāng)EC為菱形的對角線時，如圖4中，當(dāng)ED為菱形的對角線時，分別求解即可.【詳解】解：將y=0代入y=x+3，得x=-3.點A的坐標為(-3,0).設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-xJ(x-x2),點A的坐標為(-3,0),點B的坐標為(1,0),y=a(x+3)(x-1).點C的坐標為(0,-1),1-3a=-1,得a=312拋物線的解析式為y=x2+x-1；33設(shè)

7、點E的坐標為(m,m+3),線段EF的長度為y,12則點F的坐標為(m,3m2+m-1)y=(m+3)-(123m2+-m-1)=11m2+m+433149即y=-3(m-)2+1，此時點e的坐標為(,2)；點G的坐標為(2,1),(-24,-2j-1),(2*,24-1),(-4,3).理由：如圖1,當(dāng)四邊形CGDE為菱形時.EG垂直平分CD點E的縱坐標y=一=1,2將y=1帶入y=x+3,得x=-2.TEG關(guān)于y軸對稱，.點G的坐標為（2,1）；如圖2,當(dāng)四邊形CDEG為菱形時，以點D為圓心，DC的長為半徑作圓，交AD于點E,可得DC=DE，構(gòu)造菱形CDEG設(shè)點E的坐標為S，n+3）,點D

8、的坐標為（0，3）DE=：n2+（n+3-3）2=、：2n2TDE=DC=4，.-2n2=4,解得丐=_22,n2=2、；2.點E的坐標為（-2邁,-2、遼+3）或（2邁,2、邁+3）將點E向下平移4個單位長度可得點G,點G的坐標為（-2巨,-2、江-1）（如圖2）或（2遠,2邁-1）（如圖3）如圖4,“四邊形CDGE為菱形時，以點C為圓心，以CD的長為半徑作圓，交直線AD于點E，設(shè)點E的坐標為伙，k+3），點C的坐標為（0,-1）.EC=：（k-0）2+（k+3+1）2=；2k2+8k+16.TEC=CD=4，2k2+8k+16=16，解得/=0（舍去），k2=-4.點E的坐標為（-4，-1

9、）將點E上移1個單位長度得點G.點G的坐標為（-4，3）.綜上所述，點G的坐標為（2,1）,（-22,-2訂2-1）,Q邁,2邁-1）,（-4,3）.【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、軸對稱變換、菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用對稱解決最值問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題5.如圖，在直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=x2+(2k-1)x+k+1的圖象與x軸相交于0、A兩點求這個二次函數(shù)的解析式；在這條拋物線的對稱軸右邊的圖象上有一點匕使厶AOB的面積等于6,求點B的坐標；對于(2)中的點B,在此拋物線上是否存在點P,使/POB=90?若存在，求出點P的坐標，并求出厶P

10、OB的面積；若不存在，請說明理由.【答案】(1)y=x2-3x。點B的坐標為：(4，4)。存在；理由見解析；【解析】【分析】將原點坐標代入拋物線中即可求出k的值，從而求得拋物線的解析式。根據(jù)(1)得出的拋物線的解析式可得出A點的坐標，也就求出了0A的長，根據(jù)OAB的面積可求出B點縱坐標的絕對值，然后將符合題意的B點縱坐標代入拋物線的解析式中即可求出B點的坐標，然后根據(jù)B點在拋物線對稱軸的右邊來判斷得出的B點是否符合要求即可。根據(jù)B點坐標可求出直線0B的解析式，由于0B丄0P，由此可求出P點的坐標特點，代入二次函數(shù)解析式可得出P點的坐標.求POB的面積時，求出OB,0P的長度即可求出BOP的面積

11、?！驹斀狻拷猓?1)T函數(shù)的圖象與x軸相交于0,0=k+1,k=-1。這個二次函數(shù)的解析式為y=x2-3x。（2）如圖，過點B做BD丄x軸于點D,令X2-3x=0，解得：x=0或3。A0=3。1:AOB的面積等于6,A0BD=6。BD=4。2T點B在函數(shù)y=X2-3x的圖象上，4=x2-3x，解得：x=4或x=-1（舍去）。又:頂點坐標為：（1.5,-2.25），且2.25V4,x軸下方不存在B點。點B的坐標為：（4，4）。（3）存在。點B的坐標為：（4,4），AZBOD=45，BO=、瓜2+42=4近。若上POB=90,則ZPOD=45。設(shè)P點坐標為（x，x2-3x）。IX=x2一3x。若x

12、=x2-3x，解得x=4或x=0（舍去）。此時不存在點P（與點B重合）。若x=（x2-3x）,解得x=2或x=0（舍去）。當(dāng)x=2時，x2-3x=-2。點P的坐標為（2，-2）。OP22+2222。11ZPOB=90,POB的面積為：一POBO=x4、：2x2：2=8。226閱讀：我們約定，在平面直角坐標系中，經(jīng)過某點且平行于坐標軸或平行于兩坐標軸夾角平分線的直線，叫該點的“特征線”例如，點M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=-x+4CCDao備用圖問題與探究：如圖，在平面直角坐標系中有正方形OABC,點B在第一象限，人、C分別在x軸和y軸上，拋物線y二4(x-m)2+n經(jīng)

13、過B、C兩點，頂點D在正方形內(nèi)部.直接寫出點D(m，n)所有的特征線；若點D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式；點P是AB邊上除點A外的任意一點，連接0P，將AOAP沿著0P折疊，點A落在點A的位置，當(dāng)點A在平行于坐標軸的D點的特征線上時，滿足(2)中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點落在0P上？1【答案】(1)x=m,y=n，y=x+n-m，y=-x+m+n；線向下平移呼23或12距離,其頂點落在0P上.【解析】試題分析：(1)根據(jù)特征線直接求出點D的特征線；由點D的一條特征線和正方形的性質(zhì)求出點D的坐標，從而求出拋物線解析式；(2)分平行于x軸和y軸兩種情況，由折疊的性質(zhì)計算即

14、可.試題解析：解：(1)T點D(m，n),點D(m，n)的特征線是x=m，y=n，y=x+n-m，y=-x+m+n；點D有一條特征線是y=x+1,.n-m=1,.n=m+1.v拋物線解析式為11y二(xm)2+n,y二(xm)2+m+1,v四邊形OABC是正方形，且D點為正方441形的對稱軸，D(m,n),.B(2m,2m),.y二才(2mm)2+n二2m，將n=m+1帶入得到m=2，n=3；1.D(2,3),.拋物線解析式為y二(x2)2+3.如圖，當(dāng)點A在平行于y軸的D點的特征線時：根據(jù)題意可得，D(2,3),二0A=0A=4,OM=2,AZAOM=60,AZAOP=ZAOP=30,A拋物

15、線需要向下平移的距離=3-字=宇如圖，當(dāng)點A在平行于x軸的D點的特征線時，設(shè)A(p,3),則OA=OA=4,OE=3,EAZ=J42-32=J7,AAF=4-，設(shè)P(4,c)(c0),，在RtAAFP中，(4-16一4的16一4j77)2+(3-c)2=C2,Ac=,AP(4,),A直線OP解析式為33尸17x,AN(2,8一2刁),A拋物線需要向下平移的距離=3-338-271+2亓33綜上所述：拋物線向下平移宇或字距離，其頂點落在OP上.EP點睛：此題是二次函數(shù)綜合題,主要考查了折疊的性質(zhì),正方形的性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是用正方形的性質(zhì)求出點D的坐標.7.如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x

16、軸交于點A和點B(1,0),與y軸交于點C(0,3),其對稱軸l為x=-1求拋物線的解析式并寫出其頂點坐標；若動點P在第二象限內(nèi)的拋物線上，動點N在對稱軸l上.當(dāng)PA丄NA,且PA=NA時，求此時點P的坐標；當(dāng)四邊形PABC的面積最大時，求四邊形PABC面積的最大值及此時點P的坐標.:卻fi/:【答案】y=-（x+1）2+4,頂點坐標為（-1,4）；（2）點P（-扛-1,3152）；p（-2，15）【解析】試題分析：（1）將B、C的坐標代入已知的拋物線的解析式，由對稱軸為X=-1即可得到拋物線的解析式；（2）首先求得拋物線與x軸的交點坐標，然后根據(jù)已知條件得到PD=OA,從而得到方程求得x的值

17、即可求得點P的坐標；S=S+S+S，表示出來得到二次函數(shù)，求得最值即可.四邊形ABCPAOBCAAPD梯形PDOC試題解析：（1）拋物線y二ax2+bx+c與X軸交于點A和點B（1，0）,與y軸交于點C(0，3)其對稱軸l為x=-1,c二3解得：2aa1b2二次函數(shù)的c3解析式為yx2-2x+3=_(x+1)2+4,.頂點坐標為(-1,4)；(2)令yx22x+30，解得x3或x1，.點A(-3,0),B(1,0),作PD丄x軸于點D,t點P在yx22x+3上，.設(shè)點p(x,x22x+3),TPAINA,且PA=NA,.PADAND,.OA=PD,即卩yx22x+32，解得x=、；21(舍去)

18、或x=-邁1，.點P(-邁1,2)；設(shè)P(x,y),則yx22x+3S=S+S+S四邊形ABCPAOBCAAPD梯形PDOC11111OBOC+-ADPD+-(PD+OC)OD=-x3x1+-x(3+x)y+-(y+3)(x)22229x+6=3(x+3)2+752228333=x+(x22x+3)=x22223當(dāng)x=2時,S四邊形ABCP最大值758當(dāng)x=2時,此時P7)3(一2考點：1二次函數(shù)綜合題；2二次函數(shù)的最值；3最值問題；4壓軸題8已知矩形ABCD中，AB=5cm，點P為對角線AC上的一點，且AP=2后cm.如圖，動點M從點A出發(fā)，在矩形邊上沿著ATBTC的方向勻速運動(不包含點C

19、).設(shè)動點M的運動時間為t(s)，AAPM的面積為S(cm2)，S與t的函數(shù)關(guān)系如圖所示：直接寫出動點M的運動速度為cm/s，BC的長度為cm；如圖，動點M重新從點A出發(fā)，在矩形邊上，按原來的速度和方向勻速運動同時，(cm2),S(cm2).2另一個動點N從點D出發(fā)，在矩形邊上沿著DTCTB的方向勻速運動，設(shè)動點N的運動速度為v(cm/s).已知兩動點M、N經(jīng)過時間x(s)在線段BC上相遇(不包含點C),動點M、N相遇后立即停止運動，記此時AAPM與ADPN的面積為S1求動點N運動速度v(cm/s)的取值范圍;試探究叮-S2是否存在最大值若存在，求出叫-S2的最大值并確定運動速度時間x的值；若

20、不存在，請說明理由.215225【答案】(1)2,10；(2)亍cm/sVv6cm/s；當(dāng)x=時，-S?取最大值丁【解析】【分析】(1)由題意可知圖像中02.5s時，M在AB上運動，求出速度，2.57.5s時，M在BC上運動，求出BC長度；(2)分別求出在C點相遇和在B點相遇時的速度，取中間速度,TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark55 o Current Document 1152注意C點相遇時的速度不能取等于；過M點做MH丄AC,則MH=2CM=5得到q，同時利用S+S=S-S-S-S=15，得到S2，再得到S-S112矩形ABCDAPADACDM(N)AA

21、BM(N)212關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求得最大值【詳解】(1)5m2.5=2cm/s；(7.5-2.5)x2=10cm解：在C點相遇得到方程5=7.5v在B點相遇得到方程15=2.5v5=7.5vV15=2.5、v2v=解得V3v=5在邊BC上相遇，且不包含C點二一cm/sVv6cm/s3如下圖S+S=S-S-S-S12矩形ABCDAPADACDM(N)AABM(N)5x(15-2x)5x(2x-5)=75-10-22=15115-2x過M點做MH丄AC,則MH=2CM=5蘭1S=MH-AP=-2x+1512S2=2xS-S=(-2x+15).2x12=4x2+30 xr15*22

22、51515225因為2.5V7.5，所以當(dāng)x=時，S.S取最大值一.44124【點睛】本題重點考查動點問題，二次函數(shù)的應(yīng)用，求不規(guī)則圖形的面積等知識點，第一問關(guān)鍵能夠從圖像中得到信息，第二問第一小問關(guān)鍵在理清楚運動過程，第二小問關(guān)鍵在能夠用x表示出S1和S29如圖，在平面直角坐標系中，13已知拋物線y=2X2+亍x-2與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C,直線丨經(jīng)過A，C兩點，連接BC.(1)求直線l的解析式；若直線x=m(m0)與該拋物線在第三象限內(nèi)交于點E,與直線丨交于點D,連接OD.當(dāng)0D丄AC時，求線段DE的長；取點G(0，-1)，連接AG,在第一象限內(nèi)的拋物線上，

23、是否存在點P,使ZBAP=ZBCO-ZBAG?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.TA5321398【答案】(1)y=x2;(2)DE=；(3)存在點P(，石7)，使25981ZBAP=ZBCO-ZBAG，理由見解析.【解析】【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式可以求得點A和點C的坐標，從而可以求得直線l的函數(shù)解析式；根據(jù)題意作出合適的輔助線，利用三角形相似和勾股定理可以解答本題；根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)可以求得ZOAC=ZOCB，然后根據(jù)題目中的條件和圖形，利用銳角三角函數(shù)和勾股定理即可解答本題.【詳解】13(1)拋物線y=亍X2+亍x-2,當(dāng)y=0時，得X=1,x2

24、=-4，當(dāng)x=0時，y=-2,13拋物線y=2X2+2x-2與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C,點A的坐標為(-4,0),點B(1,0),點C(0,-2),T直線l經(jīng)過A,C兩點，設(shè)直線丨的函數(shù)解析式為y=kx+b.J-4k+b=0b=-2b=-21即直線I的函數(shù)解析式為y=-2x-2；(2)直線ED與X軸交于點F,如圖1所示,圏1由(1)可得,AO=4,OC=2,ZAOC=90,AC=2啟,.od=4x2二座2、亦5TOD丄AC,OA丄OC,ZOAD=ZCAO,AOD-ACO,AD_AOAOACAD_4,得AD=-TEF丄x軸,ZADC=90,EFIIOC,ADF-AC

25、O,AFDFADAOOCAC168解得，AF=g,DF=5,5164OF=4-5=m=-54143472當(dāng)m=-時，y=2x(-)2+2x(-)-2=-亦,EF=7225DE=EF-FD=72-82553225；(3)存在點P,使/BAP=ZBCO-ZBAG,理由：作GM丄AC于點M,作PN丄x軸于點N,如圖2所示,y點A(-4,0),點B(1,0),點C(0,-2)OA=4,OB=1,OC=2,OC21tan,OAC=OA42,OAC=,OCB,tan,OCB=OB=1OC2,AC=2：5,BAP=,BCO-,BAG,GAM=,OAC-,BAG,BAP=,GAM,-點G(0,-1),AC=2

26、,OA=4,OG=1，GC=1，.AG=、；17,ACGMCGOA22解得，GM=等,AM飛AG2-GM2=5)2-(琴)2=竽292運GM丁tanZGAM=5_AM9忑tanzPAN=2,9設(shè)點P的坐標為（n.13n2+n-2)22.AN=4+n,13PN_2n2+2n-2解得，入=，n2=-4（舍去），131398當(dāng)n=V時，2n2+2n-2=81，.點P的坐標為13981398)，使ZBAP=ZBCO-ZBAG.【點睛】本題是一道二次函數(shù)綜合題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，找出所求問題需要的條件，利用三角形相似、銳角三角函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)解答.10.如圖1,拋物線y=a

27、x2-x+c與x軸交于點A和點B（I，0）,與y軸交于點C，412k4丿拋物線人的頂點為G,GM丄x軸于點m.將拋物線人平移后得到頂點為B且對稱軸為直l的拋物線y2.2（1）求拋物線y2的解析式；如圖2,在直線l上是否存在點T，使ATAC是等腰三角形?若存在，請求出所有點T的坐標:若不存在,請說明理由；點p為拋物線y1上一動點，過點p作y軸的平行線交拋物線y2于點Q，點Q關(guān)于直線1的對稱點為R，若以P，Q，R為頂點的三角形與AAMC全等,求直線PR的解析式.111【答案】（1）拋物線y2的解析式為y-x+x；（2）T點的坐標為224242T(l拋物線y2的對稱軸i為x1+心),T(1,3-13

28、7),T(1,-77)；(3)PR的解析式為y=+3或1424382411解析】分析：(1)把B(1,0)和c,yI4丿1代入廿ax2-x+c求出a、c的值，進而求出y1，再根據(jù)平移得出y2即可；(2)拋物線y2的對稱軸i為x=1，設(shè)T(1,t),已知A(-3,0)過點T作TE丄y軸于E，分三種情況時行討論等腰三角形的底和腰，得到關(guān)于t的方程，解方程即可;(3)設(shè)Pm,-，則Q(11m,一一m2+I421)m一一4丿,根據(jù)對稱性得(112一m,一一m2+I42，分點p在直線的左側(cè)或右側(cè)時,結(jié)合以P,Q,R構(gòu)成的三角形與AAMG全等求解即可.詳解:(1)由題意知，3c=4-+c=02TOC o 1-5 h z HYPERLINK l