1、第三章 矩陣的初等變換與線性方程組知識(shí)點(diǎn)回顧：克拉默法則2結(jié)論 1 如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有解,而且解是唯一的.（P. 24定理4）結(jié)論 1如果線性方程組無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零. （P.24定理4）設(shè)用克拉默法則解線性方程組的兩個(gè)條件： (1) 方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)； (2) 系數(shù)行列式不等于零. 線性方程組的解受哪些因素的影響？1 矩陣的初等變換一、初等變換的概念二、矩陣之間的等價(jià)關(guān)系三、初等變換與矩陣乘法的關(guān)系四、初等變換的應(yīng)用3引例：求解線性方程組一、矩陣的初等變換42523 6 25372 8取 x3 為自由變量，則 令 x

2、3 = c ，則 恒等式9三種變換： 交換方程的次序，記作 ； 以非零常數(shù) k 乘某個(gè)方程，記作 ； 一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的 k 倍，記作 . 其逆變換是：結(jié)論：由于對(duì)原線性方程組施行的變換是可逆變換，因此變換前后的方程組同解.在上述變換過程中，實(shí)際上只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知數(shù)并未參與運(yùn)算iji k ik jiji k ik jijik ik j10定義：下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：對(duì)調(diào)兩行，記作 ；以非零常數(shù) k 乘某一行的所有元素，記作 ； 某一行加上另一行的 k 倍，記作 .其逆變換是：把定義中的行換成列，就得到矩陣的初等列變換的定義 矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱

3、為初等變換 初等變換初等行變換初等列變換11增廣矩陣結(jié)論：對(duì)原線性方程組施行的變換可以轉(zhuǎn)化為對(duì)增廣矩陣的變換.122 132 314 25 3 1521617B5 對(duì)應(yīng)方程組為 令 x3 = c ，則 18說明求解線性方程組可分為消元與回代兩過程。消元過程 的實(shí)質(zhì)，就是通過一系列方程組的同解變換找到一個(gè) 形式上較簡(jiǎn)單的方程組，然后進(jìn)行回代。這里方程組 的同解變換是指下列三種變換：對(duì)調(diào)兩個(gè)方程；以不為零的數(shù)乘某一個(gè)方程；把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上.從原方程組同解變換到形式上簡(jiǎn)單的方程組的過程可 見，除去代表未知數(shù)的符號(hào)外，矩陣與方程組是一一 對(duì)應(yīng)的。換言之，方程組有沒有解、有什么樣的解完

4、全由各方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)及它們相互位置所成數(shù) 表，即增廣矩陣所決定。而且，對(duì)方程組作同解變換， 相當(dāng)于對(duì)它的增廣矩陣作相應(yīng)的變換。19備注帶有運(yùn)算符的矩陣運(yùn)算，用“ = ”例如：矩陣加法數(shù)乘矩陣、矩陣乘法矩陣的轉(zhuǎn)置 T（上標(biāo)）方陣的行列式|不帶運(yùn)算符的矩陣運(yùn)算，用“”例如：初等行變換初等列變換20有限次初等行變換有限次初等列變換行等價(jià)，記作 列等價(jià)，記作 二、矩陣之間的等價(jià)關(guān)系21有限次初等變換矩陣 A 與矩陣 B 等價(jià)，記作矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)：反身性 ；對(duì)稱性 若 ，則 ；傳遞性 若 ， 則 22行階梯形矩陣：可畫出一條階梯線，線的下方全為零；每個(gè)臺(tái)階只有一行；階梯線的豎線后面

5、是非零行的第一個(gè)非零元素.行最簡(jiǎn)形矩陣：非零行的第一個(gè)非零元為1;這些非零元所在的列的其它元素都為零.23行最簡(jiǎn)形矩陣：非零行的第一個(gè)非零元為1;這些非零元所在的列的其它元素都為零.標(biāo)準(zhǔn)形矩陣：左上角是一個(gè)單位矩陣，其它元素全為零.24行階梯形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣由m、n、r三個(gè)參數(shù)完全確定，其中 r 就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).行最簡(jiǎn)形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣三者之間的包含關(guān)系 2526利用初等行變換，把一個(gè)矩陣化為行階梯形矩陣 和行最簡(jiǎn)形矩陣，是一種十分重要的運(yùn)算. 由引 例可知，要解線性方程組只需將增廣矩陣化為行 最簡(jiǎn)形.行階梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣的比較行階梯形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣自上而下，每個(gè)非零行的

6、首非零元前面的零的個(gè)數(shù)依次增加；零行在最下方.是階梯形矩陣；非零行的第一個(gè)非零元（首非零元）為；首非零元所在的列的其它元素都為特點(diǎn)作用 小結(jié)任何矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣行階梯形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣有限次初等行變換 有限次初等列變換 有限次初等變換 結(jié)論有限次初等行變換 27定義：由單位矩陣 E 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣.對(duì)調(diào)單位陣的兩行（列）；(2)以常數(shù) k0 乘單位陣的某一 行（列）；(3)以 k 乘單位陣單位陣的某一 行（列）加到另一 行（列） 三、初等變換與矩陣乘法的關(guān)系28(1) 對(duì)調(diào)單位陣的第 i, j 行（列）， 記作 E5(3, 5)記作 Em(

7、 i, j )29(2)以常數(shù) k0 乘單位陣第 i 行（列）， 記作 E5(3(5) 記作 Em(i(k) 30(3)以 k 乘單位陣第 j 行加到第 i 行,記作 E5(35(k) 記作 Em(ij(k) 以 k 乘單位陣第 i 列加到第 j 列 ?兩種理解！313233結(jié)論把矩陣A的第 i 行與第 j 行對(duì)調(diào)，即 .把矩陣A的第 i 列與第 j 列對(duì)調(diào)，即 .以非零常數(shù) k 乘矩陣A的第 i 行，即 .以非零常數(shù) k 乘矩陣A的第 i 列，即 .把矩陣A第 j 行的 k 倍加到第 i 行，即 .把矩陣A第 i 列的 k 倍加到第 j 列，即 .34性質(zhì)1 設(shè)A是一個(gè) mn 矩陣，對(duì) A

8、施行一次初等行變換，相當(dāng)于在 A 的左邊乘以相應(yīng)的 m 階初等矩陣；對(duì) A 施行一次初等列變換，相當(dāng)于在 A 的右邊乘以相應(yīng)的 n 階初等矩陣.口訣：左行右列.35初等變換 初等變換的逆變換 初等矩陣 ?3637因?yàn)椤皩?duì)于n 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以 一般地， 38因?yàn)椤皩?duì)于n 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以 一般地， ?39因?yàn)椤皩?duì)于n 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以 一般地， ?40初等變換 初等變換的逆變換 初等矩陣 初等矩陣的

9、逆矩陣初等矩陣的逆矩陣是：?41性質(zhì)2 方陣A可逆的充要條件是存在有限個(gè)初等矩陣P1, P2, , Pl，使 A = P1 P2 , Pl 42證 析：這是一條十分重要的定理，它反映了可逆矩陣的一 個(gè)特性：可以分解為初等矩陣的乘積.先證充分性.設(shè) 因?yàn)槌醯染仃嚳赡?，有限個(gè)可逆矩陣的乘積仍可逆，故 可逆.43再證必要性.設(shè) 階方陣 可逆，且 的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣為 ，則有 ,也就是 經(jīng)過有限次初等行變換和初等列變換可化為 ，因?yàn)?可逆， 也都可逆，所以 可逆，因此在 中既沒有零行又沒有零列，再注意到是矩陣 的標(biāo)準(zhǔn)形，故必有 ，從而根據(jù)性質(zhì)1知，有初等矩陣 使說明即有上述的證明顯示，可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形為單位陣.推論1 方陣 A 可逆的充要條件是 .推論2 方陣 A 與 B 等價(jià)的充要條件是存在 m 階可逆矩陣 P 及 n 階可逆矩陣 Q ，使 PAQ = B .44四、初等變換的應(yīng)用45 解例4647即初等行變換48