1、數(shù)理方程的應(yīng)用舉例2 將板坯熱軋成鋼板或鋼帶時，決定鋼中溫度分布的工藝流程如下圖所示，這個問題十分重要，因為在控制軋制程序中，必須使軋制溫度保證鋼板在通過各機(jī)架時成單相的奧氏體或是雙相組織，為達(dá)到這一目的，數(shù)學(xué)模型是一種非常有效的工具。數(shù)學(xué)物理方程 一 熱軋鋼坯中溫度分布問題的數(shù)學(xué)建模 現(xiàn)有體密度為 、熱傳導(dǎo)系數(shù)為 k、厚度為 Z 的均質(zhì)鋼坯。由于板坯寬度方向傳熱均勻，橫向熱流不重要，這樣就把問題簡化為二維的縱向傳熱問題。 取板坯中的體積元作熱衡算： （體積元表面的輸入）（體積元表面的輸出） + （體積單元的生成率）（體積單元的消耗率） = （體積單元內(nèi)凈積累率）數(shù)學(xué)物理方程 考慮到傳熱機(jī)理，

2、在 y 方向是熱傳導(dǎo)和體積對流傳熱，在 z 方向是傳導(dǎo)傳熱。熱衡算各項表示如下： 熱收入速率：其中 ，表示 y , z 方向的傳導(dǎo)熱流；H 為鋼的單位質(zhì)量的熱焓； 為軋壓過程中同一截面上 y 軸方向上的鋼坯伸長速率，可看為一常數(shù)。 熱支出速率： 熱產(chǎn)生速率： 熱消耗速率： 熱積累速率： 數(shù)學(xué)物理方程 匯集熱平衡式中的各項可得+ =上式兩邊同除以當(dāng) 時，對上式取極限可得數(shù)學(xué)物理方程 由于 H 是供給到體積元的熱焓或是恒壓下的熱，所以有其中 為比熱容， 為在 y = r 處 t = 0 時刻的熱焓，傳導(dǎo)熱流與溫度梯度關(guān)系由傅里葉定律表示因此有數(shù)學(xué)物理方程 根據(jù)以下假定，把上述方程進(jìn)一步簡化。 （1

3、） y 方向溫度梯度小，可忽略該方向傳熱， 所以上述方程中的 可以忽略； （2）在軋制過程中板坯內(nèi)部無熱的消耗，因此上述方程中 ； （3）對于固定的觀察者來說，軋制過程是以穩(wěn)定態(tài)操作，所以上述方程中的 。數(shù)學(xué)物理方程 根據(jù)以上假設(shè)，上述方程可變?yōu)槿粲^察者隨板坯一起運(yùn)動，就可把上述方程轉(zhuǎn)換為非穩(wěn)定態(tài)形式。把關(guān)系式 代入上述方程，整理后可得數(shù)學(xué)物理方程 初始條件：設(shè)從加熱爐出來的板坯溫度分布作為初始條件，并認(rèn)為板坯溫度是均勻的，即 。 邊界條件：在板坯表面（板坯頂面）有熱流此外，板坯上下表面熱流幾乎一樣，則板坯的溫度場沿中心線對稱，該邊界條件可寫為 從而熱軋鋼坯中溫度分布問題的數(shù)學(xué)模型為數(shù)學(xué)物理方程 從而熱軋鋼坯中溫度分布問題的數(shù)學(xué)模型為數(shù)學(xué)物理方程 二模型的求解與數(shù)值模擬 將熱軋鋼坯中溫度分布問題的數(shù)學(xué)模型簡寫為 （）其中 。 首先將邊界條件齊次化，令數(shù)學(xué)物理方程從而有為書寫方便，記利用分離變量法可求得其解為數(shù)學(xué)物理方程其中所以定解問題（）解為數(shù)學(xué)物理方程 選取利用Mathematica數(shù)學(xué)軟件