1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁天津市南開中學(xué)2022屆高三下學(xué)期統(tǒng)練19數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知集合，則（）ABCD2已知都是實數(shù)，則“”是“”的（）A充要條件B必要不充分條件C充分不必要條件D即不充分也不必要條件3設(shè)，則（）ABCD4某公司計劃招收500名新員工，共報名了2000人，遠(yuǎn)超計劃，故該公司采用筆試的方法進(jìn)行選拔，并按照筆試成績擇優(yōu)錄取.現(xiàn)采用隨機(jī)抽樣的方法抽取200名報名者的筆試成績，繪制頻率分布直方圖如下：則錄取分?jǐn)?shù)線可估計為（）A70.5B72.5C75.5D77.55已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（）ABCD6設(shè)雙曲線（

2、a0，b0）的一個焦點為F（c,0）（c0），且離心率等于，若該雙曲線的一條漸近線被圓x2+y22cx0截得的弦長為2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）ABCD7智能主動降噪耳機(jī)工作的原理如圖1所示，是通過耳機(jī)兩端的噪聲采集器采集周圍的噪音，然后通過聽感主動降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音.已知某噪音的聲波曲線在上大致如圖2所示，則通過聽感主動降噪芯片生成相等的反向波曲線可以為（）ABCD8醫(yī)用口罩由口罩面體和拉緊帶組成，其中口罩面體分為內(nèi)、中、外三層. 內(nèi)層為親膚材質(zhì)（普通衛(wèi)生紗布或無紡布），中層為隔離過濾層（超細(xì)聚丙烯纖維熔噴材料層），外層為特殊材料抑菌層（無紡布或超薄聚丙烯熔噴材料層）. 國家

3、質(zhì)量監(jiān)督檢驗標(biāo)準(zhǔn)中，醫(yī)用口罩的過濾率是重要的指標(biāo)，根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，某企業(yè)在生產(chǎn)線狀態(tài)正常情況下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過濾率. 若生產(chǎn)狀態(tài)正常，有如下命題：甲：；乙：的取值在內(nèi)的概率與在內(nèi)的概率相等；丙：；?。河洷硎疽惶靸?nèi)抽取的50只口罩中過濾率大于的數(shù)量，則.（參考數(shù)據(jù)：若 ，則， ；）其中假命題是（）A甲B乙C丙D丁9設(shè)函數(shù)（且）在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）ABCD二、填空題10設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為_11已知的展開式中的系數(shù)為，則_.12某同學(xué)在參加通用技術(shù)實踐課時，制作了一個工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為的正方

4、體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個截面圓的周長為，則該球的表面積為_.13一獵人帶著一把獵槍到山里去打獵，獵槍每次可以裝3發(fā)子彈，當(dāng)他遇見一只野兔時，開第一槍命中野兔的概率為0.8，若第一槍沒有命中，獵人開第二槍，命中野兔的概率為0.4，若第二槍也沒有命中，獵人開第三槍，命中野兔的概率為0.2，若3發(fā)子彈都沒打中，野兔就逃跑了，則已知野兔被擊中的條件下，是獵人開第二槍命中的概率為_.14若正實數(shù)，滿足，則的最小值是_15如圖，在中，、分別是、邊上的中點，與的交點為，若，則角的最大值為_.三、解答題16的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的面積為.(1)證明

5、：；(2)若，求.17如圖，是邊長為3的正方形，平面平面，(1)求證：面面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)在線段上是否存在點，使得平面與平面的夾角的大小為60？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由18在數(shù)列中，（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.19如圖，已知橢圓的左右頂點分別是，離心率為，設(shè)點，連接交橢圓于點，坐標(biāo)原點是（1）證明： ；（2）設(shè)三角形的面積為，四邊形的面積為， 若 的最小值為1，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程20已知函數(shù)其中，a為非零實數(shù).(1)當(dāng)時，求的極值；(2)討論的單調(diào)性；(3)若有兩個極值點，且，求證：.PAGE 答案第 = 1頁，

6、共 = sectionpages 2 2頁PAGE 15頁參考答案：1D【解析】【分析】化簡集合A，B，然后利用交集的定義運算即得.【詳解】，則.故選：D.2C【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合充分性和必要性的討論，即可判斷和選擇.【詳解】因為在是單調(diào)增函數(shù)，又，故可得，則，故，滿足充分性；若，不妨取，顯然，故沒有意義，故必要性不成立；綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.故選：.3C【解析】利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與“0，1”比較即可.【詳解】，故選:.【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題4D【解析】【分析】由頻率分布直方圖求出75百分位對應(yīng)的分?jǐn)?shù)即

7、可得【詳解】因此的人不能錄取由頻率分布直方圖得70分以下的頻率為，80分以下的頻率為，設(shè)錄取分?jǐn)?shù)線為，則，解得故選：D5D【解析】【分析】根據(jù)圖象得函數(shù)定義域為，圖象關(guān)于軸對稱，結(jié)合選項一一判斷即可【詳解】根據(jù)圖象得函數(shù)定義域為，圖象關(guān)于軸對稱，即為偶函數(shù)對于A選項，排除；對于B選項，函數(shù)定義域為，排除；對于C選項，函數(shù)定義域為，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，排除；對于D選項，函數(shù)符合圖象要求故選：D【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，從函數(shù)的值域判斷圖象的上下位；(2)從函數(shù)的單調(diào)性判斷；(3)從函數(shù)的奇偶性判斷；(4)從函數(shù)的特征點排除不合要求的選項.6C【解析

8、】由題得，又，聯(lián)立解方程組即可得，進(jìn)而得出雙曲線方程.【詳解】由題得又該雙曲線的一條漸近線方程為，且被圓x2+y22cx0截得的弦長為2，所以又由可得：，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，圓的方程的有關(guān)計算，考查了學(xué)生的計算能力.7D【解析】【分析】根據(jù)圖2求出噪音的聲波曲線對應(yīng)的函數(shù)的解析式，再結(jié)合題意進(jìn)行求解即可.【詳解】由2可知：過兩點，所以有，當(dāng)時，顯然A不符合題意，此時函數(shù)的周期為，要想抵消噪音，只需函數(shù)向左或向右平移一個單位長度即可，即得到，或，故選項D符合，顯然選項B，C的振幅不是2，不符合題意，故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)圖象求出正弦

9、型函數(shù)的解析式，結(jié)合題意利用平移解決問題是解題的關(guān)鍵.8B【解析】【分析】根據(jù)可判斷甲；根據(jù)兩個區(qū)間長度相等，對稱軸落在區(qū)間可判斷乙；根據(jù)概率的對稱性可判斷丙；求出1只口罩的的過濾率大于的概率，再由二項分布的概率以及對立事件的概率即可判斷丁，進(jìn)而可得正確答案.【詳解】由知，對于甲：由正態(tài)分布曲線可得：，故甲為真命題；對于乙：，兩個區(qū)間長度均為1個，但，由正態(tài)分布性質(zhì)知，落在內(nèi)的概率大于落在內(nèi)的概率，故乙是假命題；對于丙：由知，丙正確；對于?。?只口罩的的過濾率大于的概率，所以，故丁是真命題. 故選：B.9D【解析】【分析】分析可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，可求得，然后作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，可知兩個函數(shù)

10、在上的圖象有兩個交點，從而可得知函數(shù)在上有且只有一個零點，利用二次函數(shù)的零點分布可求得實數(shù)的取值范圍，即可得解.【詳解】當(dāng)時，二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，此時，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不合乎題意；當(dāng)時，即當(dāng)時，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不合乎題意；當(dāng)時，即當(dāng)時，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，由題意可得，解得，此時.當(dāng)時，可得，令，可得，因為，則，如下圖所示：因為，所以，函數(shù)與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，由題意可知，函數(shù)與函數(shù)在上的圖象有且只有一個交點，聯(lián)立，可得，設(shè)，則函數(shù)在上有且只有一個零點，二次函數(shù)的對稱軸方程為，只需，解得.綜上所述，.故選：D

11、.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.10-3【解析】【分析】根據(jù)給定等式結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運算直接計算作答.【詳解】因，則，于是得，所以復(fù)數(shù)的虛部為-3.故答案為：-311【解析】【分析】寫出的展開式，可得出的展開式中的系數(shù)，結(jié)合已知條件可求得實數(shù)的值.【詳解】因為，所以，的展開式中的系數(shù)為，解得.故答案為：.

12、12【解析】【分析】求出球心到截面圓所在平面的距離以及截面圓的半徑，利用勾股定理可求得球的半徑，利用球的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，球心到截面圓所在平面的距離為，設(shè)截面圓的半徑為，球的半徑為，則，可得，所以，因此，該球的表面積為.故答案為：.13【解析】【分析】記事件“獵人第一次擊中野兔”，“獵人第二次擊中野兔”，“獵人第三次擊中野兔”，“野兔被擊中”，注意的發(fā)生是不發(fā)生的情況才可能發(fā)生，由概率公式計算出概率，求出后，再由條件概率公式計算【詳解】記事件“獵人第一次擊中野兔”，“獵人第二次擊中野兔”，“獵人第三次擊中野兔”，“野兔被擊中”，則，故答案為：14【解析】【分析】由已知不

13、等式可解得，換元，設(shè)，則所求式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性可得的最小值，從而得結(jié)論【詳解】因為正實數(shù)，滿足，所以，解得或，而均為正數(shù)，所以，設(shè)，則，時，由不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立知在上單調(diào)遞增，又，所以時，取得最小值，所以的最小值是故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查用不等式求最小值，解題關(guān)鍵有兩點：一是由由不等式得，二是換元后利用函數(shù)的單調(diào)性求得最小值判斷時注意基本不等式的條件利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成

14、定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方15【解析】【分析】表示，進(jìn)一步可得，然后計算可得關(guān)于的一元二次方程，最后利用可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知：在中，、分別是、邊上的中點所以為的重心，所以又，所以又，所以根據(jù)，所以則所以，由，所以則，所以所以的最大值為故答案為：【點睛】本題考查向量的線性表示以及數(shù)量積的運算，本題難點在于的表示以及的使用和理解，屬中檔題.16(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式及三角形內(nèi)角性質(zhì)可得，再由正弦定理的邊角關(guān)系即可證結(jié)論.（2）由（1）

15、及題設(shè)可得，進(jìn)而求得，應(yīng)用余弦定理及正弦定理邊角關(guān)系求，即可求，注意根據(jù)B的范圍判斷符號，最后利用及和角余弦公式求值即可.(1)由題設(shè)，又，所以，由正弦定理可得，所以，又，所以，即.(2)由（1）及題設(shè)，且，所以，則，故，又，可得，若，則，而，故不合題設(shè)；所以，所以.17(1)證明見解析(2)(3)存在點，使得平面與的夾角的大小為，此時.【解析】【分析】（1）由平面平面，證得平面，得到，再由為正方形，得到，結(jié)合線面垂直的判定定理，即可證得平面.（2）以為原點，建立的空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個法向量和向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；（3）假設(shè)在線段上存在符合條件的點，設(shè)，得到，求得平面的

16、一個法向量和向量，利用向量的夾角公式列出方程，求得的值，即可得到答案.(1)證明：因為平面平面，平面平面，平面，且，所以平面，又因為平面，所以，由四邊形為正方形，可得，又由，且平面，所以平面.(2)解：因為兩兩垂直，所以以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為.(3)解：假設(shè)在線段上存在符合條件的點，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，由（1）知平面，所以為平面的一個法向量，即，則，整理得，解得或（舍去），故在線段上存在符合條件的點，使得平面與平面的夾角的大小為，此時.18（1）（2

17、）【解析】【詳解】試題分析：（1）本問考查等比數(shù)列的證明，根據(jù)等比數(shù)列定義，為了證明數(shù)列為等比數(shù)列，需要證明為一個常數(shù)，根據(jù)已知條件，所以，于是問題得證；（2）根據(jù)第（1）問，是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是可以求出，于是可以累加法求通項，則 ，數(shù)列的前項和可以拆分為數(shù)列，的前項和.試題解析：（1）由 ，得，又，所以所以是首項為，公比為的等比數(shù)列所以，所以. （2）, ，記數(shù)列的前項和為，則 記數(shù)列的前項和為，則 .所以數(shù)列的前項和為.19（1）證明見解析；（2）.【解析】【詳解】試題分析：（1）根據(jù)離心率為，可得，聯(lián)立直線與橢圓的方程即可求出點的坐標(biāo)，從而可得直線的斜率，再根據(jù)直線的斜率，即可證明；（2）由（1）知， ，根據(jù)的最小值為1，即可求出的值，從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.試題解析：（1）由 得， . ，即 .橢圓的方程為 ， 由，整理得： ，由 可得 ， 則點的坐標(biāo)是，故直線的斜率為直線的斜率為.（2）由（1）知， ，.當(dāng)時， ，橢圓方程為.20(1)的極小值為，無極大值；(2)當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；(3)證明見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)求導(dǎo)公式和運算法則求出，令求出極值點，進(jìn)而