1、第2課時(shí)正弦定理考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)正弦定理通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法邏輯推理 問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P45P48的內(nèi)容，思考以下問題：1在直角三角形中，邊與角之間的關(guān)系是什么？2正弦定理的內(nèi)容是什么？1正弦定理?xiàng)l件在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c結(jié)論eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)文字?jǐn)⑹鲈谝粋€(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等名師點(diǎn)撥 對正弦定理的理解(1)適用范圍：正弦定理對任意的三角形都成立(2)結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長，分母為相應(yīng)邊所對角的正弦的連等式(3)揭示規(guī)律：正弦定理指出

2、的是三角形中三條邊與其對應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式，它描述了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系2正弦定理的變形若R為ABC外接圓的半徑，則(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin Aeq f(a,2R)，sin Beq f(b,2R)，sin Ceq f(c,2R)；(3)sin Asin Bsin Cabc；(4)eq f(abc,sin Asin Bsin C)2R. 判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)正弦定理不適用于直角三角形()(2)在ABC中必有asin Absin B()(3)在ABC中，若ab，則必有sin Asin B()(4)在ABC中，若si

3、n Asin B，則必有AB.()答案：(1)(2)(3)(4) 在ABC中，a3，b5，sin Aeq f(1,3)，則sin B()A.eq f(1,5)B.eq f(5,9)C.eq f(r(5),3) D.1解析：選B.因?yàn)閍3，b5，sin Aeq f(1,3)，所以由正弦定理得sin Beq f(bsin A,a)eq f(5f(1,3),3)eq f(5,9). 在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若A105，B45，b2eq r(2)，則c()A.eq f(r(2),2) B.1C.eq r(2) D.2解析：選D.由三角形內(nèi)角和定理得，C180(AB)180(1

4、0545)30.由正弦定理得，ceq f(bsin C,sin B)eq f(2r(2)sin 30,sin 45)2. 在ABC中，若eq f(sin A,a)eq f(cos B,b)，則B的度數(shù)為_解析：根據(jù)正弦定理知，eq f(sin A,a)eq f(sin B,b)，結(jié)合已知條件可得sin Bcos B，又0B180，所以B45.答案：45已知兩角及一邊解三角形在ABC中，已知c10，A45，C30，解這個(gè)三角形【解】因?yàn)锳45，C30，所以B180(AC)105.由eq f(a,sin A)eq f(c,sin C)得aeq f(csin A,sin C)10eq f(sin 4

5、5,sin 30)10eq r(2).因?yàn)閟in 75sin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 45eq f(r(2)r(6),4)，所以beq f(csin B, sin C)eq f(10sin（AC）,sin 30)20eq f(r(2)r(6),4)5eq r(2)5eq r(6).eq avs4al()已知三角形的兩角和任一邊解三角形的思路(1)若所給邊是已知角的對邊時(shí)，可由正弦定理求另一角所對的邊，再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角(2)若所給邊不是已知角的對邊時(shí)，先由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角，再由正弦定理求另外兩邊 1在ABC中，已知a8，B60，C75，則

6、b()A4eq r(2)B4eq r(3)C4eq r(6) Deq f(32,3)解析：選C.A180BC45，由正弦定理eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，得beq f(asin B,sin A)eq f(8sin 60,sin 45)4eq r(6).2在ABC中，A60，sin Beq f(1,2)，a3，求三角形中其他邊與角的大小解：因?yàn)閟in Beq f(1,2)，所以B30或150，當(dāng)B30時(shí)，由A60得C90；當(dāng)B150時(shí)，不合題意，舍去所以由正弦定理eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)eq f(a,sin A)，得beq f(sin B,si

7、n A)aeq f(sin 30,sin 60)3eq r(3)，ceq f(sin C,sin A)aeq f(sin 90,sin 60)32eq r(3).已知兩邊及其中一邊的對角解三角形已知ABC中的下列條件，解三角形：(1)a10，b20，A60；(2)a2，ceq r(6)，Ceq f(,3).【解】(1)因?yàn)閑q f(b,sin B)eq f(a,sin A)，所以sin Beq f(bsin A,a)eq f(20sin 60,10)eq r(3)1，所以三角形無解(2)因?yàn)閑q f(a,sin A)eq f(c,sin C)，所以sin Aeq f(asin C,c)eq f

8、(r(2),2).因?yàn)閏a，所以CA.所以Aeq f(,4).所以Beq f(5,12)，b eq f(csin B,sin C)eq f(r(6)sinf(5,12),sinf(,3)eq r(3)1.變條件若本例(2)中Ceq f(,3)改為Aeq f(,4)，其他條件不變，求C，B, b.解：因?yàn)閑q f(a,sin A)eq f(c,sin C)，所以sin Ceq f(csin A,a)eq f(r(3),2).所以Ceq f(,3)或eq f(2,3).當(dāng)Ceq f(,3)時(shí)，Beq f(5,12)，beq f(asin B,sin A)eq r(3)1.當(dāng)Ceq f(2,3)時(shí)，

9、Beq f(,12)，beq f(asin B,sin A)eq r(3)1.eq avs4al()(1)已知兩邊及其中一邊的對角解三角形的思路首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值；如果已知的角為大邊所對的角時(shí)，由三角形中大邊對大角，大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角；如果已知的角為小邊所對的角時(shí)，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時(shí)由正弦值可求兩個(gè)角，要分類討論(2)已知兩邊及其中一邊的對角判斷三角形解的個(gè)數(shù)的方法應(yīng)用三角形中大邊對大角的性質(zhì)以及正弦函數(shù)的值域判斷解的個(gè)數(shù)；在ABC中，已知a，b和A，以點(diǎn)C為圓心，以邊長a為半徑畫弧，此弧與除去頂點(diǎn)A的射線AB的公共

10、點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為三角形解的個(gè)數(shù)，解的個(gè)數(shù)見下表：A為鈍角A為直角A為銳角ab一解一解一解ab無解無解一解absin A兩解absin A一解a2 Bx2C2x2eq r(2) D2x2eq r(3)解析：選C.由asin Bba，得eq f(r(2),2)x2x，所以2x2eq r(2).判斷三角形的形狀已知在ABC中，角A，B所對的邊分別是a和b，若acos Bbcos A，則ABC一定是()A等腰三角形 B等邊三角形C直角三角形 D等腰直角三角形【解析】由正弦定理得：acos Bbcos Asin Acos Bsin Bcos Asin(AB)0，由于AB，故必有AB0，AB，即ABC為等腰三

11、角形【答案】A變條件若把本例條件變?yōu)椤癰sin Bcsin C”，試判斷ABC的形狀解：由bsin Bcsin C可得sin2Bsin2C，因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180，所以sin Bsin C所以BC.故ABC為等腰三角形eq avs4al()判斷三角形形狀的兩種途徑注意在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解 已知a，b，c分別是ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊，滿足eq f(a,cos A)eq f(b,cos B)eq f(c,cos C)，則ABC的形狀是()A等腰三角形 B直角三角形C等邊三角形 D等腰直角三角形解析：選C.由正弦定理得eq f(a,si

12、n A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)，又eq f(a,cos A)eq f(b,cos B)eq f(c,cos C)，得eq f(sin A,cos A)eq f(sin B,cos B)eq f(sin C,cos C)，即tan Atan Btan C，所以ABC，即ABC為等邊三角形1(2019遼寧沈陽鐵路實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中考試)在ABC中，AB2，AC3，B60，則cos C()A.eq f(r(3),3)B.eq f(r(6),3)C.eq f(r(3),2) D.eq f(r(6),2)解析：選B.由正弦定理，得eq f(AB,sin C)eq f(AC,sin

13、 B)，即eq f(2,sin C)eq f(3,sin 60)，解得sin Ceq f(r(3),3).因?yàn)锳BAC，所以CB，所以cos Ceq r(1sin2C)eq f(r(6),3).2在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且ABC123，則abc()A123 B321C2eq r(3)1 D1eq r(3)2解析：選D.在ABC中，因?yàn)锳BC123，所以B2A，C3A，又ABC180，所以A30，B60，C90，所以abcsin Asin Bsin Csin 30sin 60sin 901eq r(3)2.3在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若cacos B

14、(2ab)cos A，則ABC的形狀是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形解析：選D.已知cacos B(2ab)cos A，由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，所以sin(AB)sin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，化簡得cos A(sin Bsin A)0，所以cos A0或sin Bsin A0，則A90或AB，故ABC為等腰三角形或直角三角形A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1在ABC中，一定成立的式子是()Aasin Absin BBacos Abcos BCasin Bbsin A Dacos

15、Bbcos A解析：選C.由正弦定理eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)，得asin Bbsin A.2在ABC中，若eq r(3)a2bsin A，則B()A.eq f(,3) B.eq f(,6)C.eq f(,3)或eq f(2,3) D.eq f(,6)或eq f(5,6)解析：選C.由正弦定理，得eq r(3)sin A2sin Bsin A，所以sin A(2sin Beq r(3)0.因?yàn)?A，0B，所以sin A0，sin Beq f(r(3),2)，所以Beq f(,3)或eq f(2,3).3(2019濟(jì)南檢測)已知a，b，c分別是

16、ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊，若A60，c6，a6，則此三角形有()A兩解 B一解C無解 D無窮多解解析：選B.由等邊對等角可得CA60，由三角形的內(nèi)角和可得B60，所以此三角形為正三角形，有唯一解4在ABC中，若ceq r(3)，C60，則eq f(abc,sin Asin Bsin C)()A6 B2eq r(3)C2 Deq r(3)解析：選C.利用正弦定理的推論，得eq f(abc,sin Asin Bsin C)eq f(c,sin C)eq f(r(3),sin 60)2.5在ABC中，已知a2tan Bb2tan A，則ABC的形狀是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角

17、形 D等腰三角形或直角三角形解析：選D.將a2Rsin A，b2Rsin B(R為ABC外接圓的半徑)代入已知條件，得sin2Atan Bsin2Btan A，則eq f(sin2Asin B,cos B)eq f(sin Asin2B,cos A).因?yàn)閟in Asin B0，所以eq f(sin A,cos B)eq f(sin B,cos A)，所以sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，所以AB或ABeq f(,2)，故ABC為等腰三角形或直角三角形6在ABC中，若a3，cos Aeq f(1,2)，則ABC的外接圓的半徑為_解析：由cos Aeq f(1,2)，得sin A

18、eq r(1cos2A)eq f(r(3),2)，設(shè)ABC的外接圓的半徑為R，由正弦定理，有2Req f(a,sin A)2eq r(3)，即ABC的外接圓的半徑為eq r(3).答案：eq r(3)7在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a3，B2A，cos Aeq f(r(6),3)，則b_解析：因?yàn)閏os Aeq f(r(6),3)，所以sin Aeq f(r(3),3)，因?yàn)锽2A，所以sin Bsin 2A2sin Acos Aeq f(2r(2),3)，又eq f(b,sin B)eq f(a,sin A)，所以b2eq r(6).答案：2eq r(6)8在ABC中，若

19、Beq f(,4)，beq r(2)a，則C_解析：在ABC中，由正弦定理eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，得eq f(a,sin A)eq f(r(2)a,sinf(,4)eq f(r(2)a,f(r(2),2)2a，所以sin Aeq f(1,2)，所以Aeq f(,6)或eq f(5,6).因?yàn)閎eq r(2)aa，所以BA，即Aeq f(,4)，所以Aeq f(,6)，所以CABeq f(,6)eq f(,4)eq f(7,12).答案：eq f(7,12)9(2019浙江溫州月考)在ABC中，A30，C45，ceq r(2)，求a，b及cos B.解：因?yàn)锳30，

20、C45，ceq r(2)，所以由正弦定理，得aeq f(csin A,sin C)eq f(r(2)sin 30,sin 45)1.又B180(3045)105，所以cos Bcos 105cos(4560)eq f(r(2)r(6),4)，beq f(csin B,sin C)eq f(r(2)sin 105,sin 45)2sin 1052sin(4560)eq f(r(6)r(2),2).10如圖所示，ABBC，CD33，ACB30，BCD75，BDC45，求AB的長解：在BCD中，DBC180754560，由正弦定理知，eq f(33,sin 60)eq f(BC,sin 45)，可得

21、BC11eq r(6)，在RtABC中，ABBCtanACB11eq r(6)tan 3011eq r(2).B能力提升11在ABC中，已知B60，最大邊與最小邊的比為eq f(r(3)1,2)，則三角形的最大角為()A60 B75C90 D115解析：選B.不妨設(shè)a為最大邊，c為最小邊，由題意有eq f(a,c)eq f(sin A,sin C)eq f(r(3)1,2)，即eq f(sin A,sin（120A）)eq f(r(3)1,2)，整理，得(3eq r(3)sin A(3eq r(3)cos A所以tan A2eq r(3)，所以A75，故選B.12在ABC中，角A，B，C的對邊

22、分別為a，b，c，已知bcos Ceq r(3)bsin Cac0，則角B_解析：由正弦定理知，sin Bcos Ceq r(3)sin Bsin Csin Asin C0.(*)因?yàn)閟in Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，代入(*)式得eq r(3)sin Bsin Ccos Bsin Csin C0.因?yàn)閟in C0，所以eq r(3)sin Bcos B10，所以2sineq blc(rc)(avs4alco1(Bf(,6)1，即sineq blc(rc)(avs4alco1( Bf(,6)eq f(1,2).因?yàn)锽(0，)，所以Beq f(,3).答案：eq

23、f(,3)13在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，Beq f(2,3)，若a2c24ac，則eq f(sin（AC）,sin Asin C)_解析：因?yàn)閑q f(a2c2,ac)eq f(b22accos B,ac)4，Beq f(2,3)，所以b25ac.由正弦定理得sin2B5sin Asin Ceq f(3,4)，所以sin Asin Ceq f(3,20)，所以eq f(sin（AC）,sin Asin C)eq f(sin B,sin Asin C)eq f(10r(3),3).答案：eq f(10r(3),3)14已知ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且ac

24、os Ceq f(r(3),2)cb.(1)求角A的大??；(2)若a1，beq r(3)，求c的值解：(1)由acos Ceq f(r(3),2)cb，得sin Acos Ceq f(r(3),2)sin Csin B.因?yàn)閟in Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以eq f(r(3),2)sin Ccos Asin C.因?yàn)閟in C0，所以cos Aeq f(r(3),2).因?yàn)?A，所以Aeq f(,6).(2)由正弦定理，得sin Beq f(bsin A,a)eq f(r(3),2).所以Beq f(,3)或eq f(2,3).當(dāng)Beq f(,3)時(shí)，由Aeq f(,6)，得Ceq f(,2)，所以c2；當(dāng)Beq f(2,3)時(shí)