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1、六、重積分的應(yīng)用第二十一章 重積分1一、區(qū)域連通性的分類 設(shè)D為平面區(qū)域, 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D, 則稱D為平面單連通區(qū)域, 否則稱為復(fù)連通區(qū)域.復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域DD2一、立體的體積二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積3例1 計(jì)算由曲面及 xoy 面所圍的立體體積。解設(shè)立體在第一卦限上的體積為 V1。由立體的對稱性，所求立體體積 V = 4V1 。立體在第一卦限部分可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的曲頂為4立體在第一卦限部分可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的曲頂為它的底為于是，5所求立體的體積6例2 求兩個(gè)圓柱面所圍的立體在第一卦限部分的體積。解所求立體可以看成

2、是一個(gè)曲頂柱體，它的曲頂為它的底為7它的底為它的曲頂為于是，立體體積為8例3 求球體被圓柱面所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積。解顯然，所求立體應(yīng)在第一、第四、第五、第八卦限。而且，四個(gè)卦限部分的體積是對稱相等的。因此，若設(shè)第一卦限部分的體積為 V1 ，則所求立體的體積為9V1 可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的曲頂為它的底D 由半圓周及 x 軸圍成。用極坐標(biāo)系表示于是，10所求立體體積11二、曲面的面積設(shè)曲面的方程為：如圖，12- 曲面 S 的面積元素曲面面積公式為：13設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得14解設(shè)第一卦限部分的面積為 A1 ，則由對稱性，所求的面積為15極坐標(biāo)系下表示：16例5 求兩個(gè)圓柱面所圍的立體的表面在第一卦限部分的面積 A。解所求表面分成和，如圖。第一塊（ ）在圓柱面第一塊（ ）在圓柱面由對稱性，這兩塊曲面的面積相等，即A=A。因此，A = 2 A。在 A上，曲面方程為17A在 A上，曲面方程為因此，A = 2 A。18AA19A于是所求面積，A = 2 A20幾何應(yīng)用：立體的體積、曲面的

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