1、共37頁1第六章 數(shù)字控制器狀態(tài)變量設(shè)計法6.1 狀態(tài)反饋極點配置控制系統(tǒng)的設(shè)計6.2 狀態(tài)觀測器的設(shè)計6.3 具有狀態(tài)觀測器的極點配置共37頁2第六章 數(shù)字控制器狀態(tài)變量設(shè)計法數(shù)字控制器狀態(tài)空間設(shè)計法，就是利用系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，根據(jù)對閉環(huán)系統(tǒng)性能指標的要求，直接設(shè)計出滿足要求的數(shù)字控制器。這種設(shè)計方法雖然在性能指標方面沒有經(jīng)典設(shè)計方法那樣直觀，但它容易理解，便于計算機輔助設(shè)計和實現(xiàn)。它不但能夠處理單輸入單輸出系統(tǒng)、還能處理多輸人多輸出系統(tǒng)、時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的設(shè)計。隨著計算機的近一步普及，狀態(tài)空間設(shè)計法正逐漸受到人們的重視和得到普及應(yīng)用。根據(jù)控制系統(tǒng)的反饋信號是取自被控對象的狀態(tài)還是被控

2、對象的輸出，控制系統(tǒng)分成狀態(tài)反饋控制和輸出反饋控制兩種形式。狀態(tài)反饋控制具有較強大的功能和較簡單的結(jié)構(gòu)，但是對于實際工程系統(tǒng)，往往并不是所有的狀態(tài)都可以直接測量，因此，狀態(tài)反饋通常難以實現(xiàn)?？梢越柚跔顟B(tài)觀測器，通過被控對象的輸入和輸出來重構(gòu)被控對象的狀態(tài)、實現(xiàn)狀態(tài)反饋律，但是這時整個控制器已變成輸出反饋控制器了。共37頁3設(shè)給定系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程為則狀態(tài)反饋控制律可以表為式中，x(kT)是n維狀態(tài)向量；u(kT)是m維控制向量；A是nn維系統(tǒng)矩陣或狀態(tài)矩陣；B是nm輸入矩陣或驅(qū)動矩陣；C是pn輸出矩陣；D是pm維直傳矩陣或傳輸矩陣；F是mn維狀態(tài)反饋矩陣；v是m維參考輸入量。此時系統(tǒng)成為閉環(huán)

3、系統(tǒng)，其狀態(tài)方程變?yōu)轱@然，通過狀態(tài)反饋增益F，就可以使閉環(huán)系統(tǒng)符合使用要求。具體體現(xiàn)在：共37頁4閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為(A-BF)，系統(tǒng)的階次不變，但是，通?？梢赃x擇狀態(tài)反饋增益陣F，改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值(即系統(tǒng)的極點)。閉環(huán)系統(tǒng)的能控性由(A-BF)與B決定，可以證明，狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。即若開環(huán)系統(tǒng)是能控的，則經(jīng)狀態(tài)反饋所得到的閉環(huán)系統(tǒng)也是能控的，反之亦然。通過狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)的能觀測性有可能改變。例如，若開環(huán)系統(tǒng)能觀測，則有可能采用狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)不能觀測。用極點配置的充要條件是要配置的系統(tǒng)是能控系統(tǒng)。共37頁56.1 狀態(tài)反饋極點配置控制系統(tǒng)的設(shè)計一、單輸入系統(tǒng)狀態(tài)反饋

4、極點配置1、原理對于單輸入系統(tǒng)n階系統(tǒng)只有n個參量目標輸入共37頁62、求解(6-3)方法方法一 解聯(lián)立方程求狀態(tài)反饋增益向量例6.1 已知二階系統(tǒng)要求系統(tǒng)閉環(huán)極點為l10.6，l2=0.8，試求狀態(tài)反饋增益向量fT。解：首先判斷系統(tǒng)是否完全能控，即判斷共37頁7方法二 通過能控標準型求解第一步：取變換矩陣P=WCM。通過坐標變換 ，將狀態(tài)(6.1)變成標準型的。特征多項式系數(shù)共37頁8方法二 通過能控標準型求解第二步：如果能控標準型式(6.8)所示系統(tǒng)的理想極點配置所需的狀態(tài)反饋增益向量為由變換后系統(tǒng)的特征方程不變，可求得上式。變換后的閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為開環(huán)系統(tǒng)特征多項式系數(shù)共37頁9方法二

5、 通過能控標準型求解設(shè)待配置的理想閉環(huán)極點為 ，即待配置的閉環(huán)極點多項式為則由式(6.12)和式(6.13)多項式同次冪系數(shù)相等得由此立即得出第三步：根據(jù) 求得實現(xiàn)狀態(tài)方程(6.1)所示對象的閉環(huán)極點配置所需的狀態(tài)反饋增益向量fT。共37頁10方法二 通過能控標準型求解例6.2 考慮離散時間被控對象試通過狀態(tài)反饋u(k)=-fTx(k)+v(k)將閉環(huán)系統(tǒng)極點配置在f1,2=0.8j0.25。解:系統(tǒng)的能控性矩陣 ，系統(tǒng)能控。開環(huán)系統(tǒng)的特征多項式：坐標變換陣共37頁11方法二 通過能控標準型求解待配置的閉環(huán)特征多項式對于能控標準型，為實現(xiàn)閉環(huán)極點配置，狀態(tài)反饋增益向量為待求的狀態(tài)反饋增益向量方

6、法三 阿克曼(Ackermann)公式設(shè)單輸入系統(tǒng)式(6.1)是完全能控的，因此能控性矩陣WC是一個非奇異矩陣。設(shè)期望的閉環(huán)特征多項式P(Z)由式(6.6)所定義，將P(z)中的變量z用矩陣A替代后，可得矩陣多項式共37頁12方法三 阿克曼(Ackermann)公式則根據(jù)Ackermann公式，實現(xiàn)閉環(huán)極點配置的狀態(tài)反饋陣f，可由下式給出：例6.3 設(shè)系統(tǒng)及對閉環(huán)極點的要求同例6.1，試用Ackerm-ann公式確定狀態(tài)反饋增益向量fT。解： 系統(tǒng)的能控性矩陣為因為Wc非奇異系統(tǒng)能控。目標特征多項式為故于是根據(jù)Ackermann公式共37頁13二、多輸入系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點配置1、原理實現(xiàn)多輸入系

7、統(tǒng)狀態(tài)反饋極點配置方法很多，如通過將系統(tǒng)化成多變量形式的能控標準形的方法；利用單輸入系統(tǒng)狀態(tài)反饋方法。其中最直觀的方法還是如前面所述的通過解聯(lián)立方程求狀態(tài)反饋增益矩陣的方法。即對系統(tǒng)(A，B)，可以通過方程求出實現(xiàn)閉環(huán)極點配置的狀態(tài)反饋增益陣Fmn。另一類方法是利用單輸入系統(tǒng)極點配置的算法，其方法如下：共37頁141、原理利用前面所述的單輸入系統(tǒng)極點配置的方法，選擇狀態(tài)反饋控制律可以將(A-B*F*)的極點配置在任意理想的位置。最后令由于由此可見，由式(6.23)所定的狀態(tài)反饋增益陣F，可以使得系統(tǒng)式(6.20)的閉環(huán)極點位于理想的位置。共37頁152、步驟對多輸入系統(tǒng)式(6.20)選擇W，使

8、得單輸入系統(tǒng)公式(6.21)為完全可控。對單輸入系統(tǒng)式(6.21)，選擇實現(xiàn)極點配置的狀態(tài)反饋增益向量F*。使得(A-B*F*）的極點為待配置的理想極點。令FWF*，則F即為所求的實現(xiàn)極點配置的狀態(tài)反饋增益矩陣。例6.4 考慮多輸入離散時間系統(tǒng)試求狀態(tài)反饋律u(k)-Fx(k)+v(k)，使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點為l10.1,l20.2。解： 顯然系統(tǒng)為完全可控的。令共37頁16例6.4為使單輸人系統(tǒng)(A,B*)為完全可控，必須使下式成立要使上式成立，應(yīng)滿足：一W1W2。在此前提下可任意選擇W。在此選擇W1W21。下面選擇狀態(tài)反饋增益向量，將單輸入系統(tǒng)(A,B*)的極點配置到要求的位置。能控性矩陣開

9、環(huán)系統(tǒng)(A,B*)特征多項式將系統(tǒng)(A,B*)變成能控標準型的坐標變換陣共37頁17例6.4待配置的閉環(huán)特征多項式為因此，系統(tǒng)(A,B*)狀態(tài)反饋增益向量而實現(xiàn)原多輸入系統(tǒng)極點配置的狀態(tài)反饋增益陣三、極點配置方法的討論實現(xiàn)任意極點配置的前提是系統(tǒng)(A，B)為完全能控的；對單輸入系統(tǒng)，實現(xiàn)一組特定的極點配置所需的狀態(tài)反饋增益向量是唯一的，對多輸入系統(tǒng)，實現(xiàn)一組特定的極點配置共37頁18三、極點配置方法的討論所需的狀態(tài)反饋增益向量是不唯一的；待配置的n個閉環(huán)極點位置的選樣是確定控制系統(tǒng)綜合目標的問題，選擇時可以遵循下列原則：對n維系統(tǒng)，應(yīng)當指定而且只應(yīng)當指定n個待配置的閉環(huán)極點;待配置的閉環(huán)極點可

10、以是實數(shù)，也可以是以共扼復數(shù)形式出現(xiàn)的復數(shù)極點對。為保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定，所有的待配置閉環(huán)極點必須位于復平面上的單位圓內(nèi); 理論上，將所有的待配置的閉環(huán)極點選得越靠近原點，則系統(tǒng)有越快的動態(tài)響應(yīng)。若將閉環(huán)系統(tǒng)的所有極點都配置到原點，即構(gòu)成了最少拍控制系統(tǒng)。但是，這樣勢必將加大狀態(tài)反饋增益，增大控制作用的幅值。而控制信號的幅值受物理條件的限制、不能超過其上限；可以通過一些最優(yōu)化的算法來選擇待配置的閉環(huán)極點位置。共37頁196.2 狀態(tài)觀測器的設(shè)計一、狀態(tài)觀測器原理前面講述的利用狀態(tài)反饋實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置，需要系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量。因為狀態(tài)變量是內(nèi)部變量，在實際工程系統(tǒng)中，通常并不是所有的狀態(tài)x(

11、k)都可以直接測量到的，可以直接測量的往往只有系統(tǒng)輸出y(k)和輸入u(k)。為了能利用狀態(tài)反饋的設(shè)計方法，可以構(gòu)造狀態(tài)觀測器，利用y(k)及u(k)構(gòu)造系統(tǒng)的狀態(tài)x(k)，然后，再應(yīng)用狀態(tài)反饋實現(xiàn)系統(tǒng)的閉環(huán)控制?？紤]被控對象(物理系統(tǒng))的狀態(tài)方程S1：對應(yīng)的物理系統(tǒng)的數(shù)學模型S2共37頁20一、狀態(tài)觀測器原理顯然只要數(shù)學模型S2中的初始狀態(tài)與物理模型S1的初始狀態(tài)一致，則這兩個模型就是完全一致的。S1狀態(tài)不可測試，因此初始狀態(tài)根本不知道，S2初始狀態(tài)當然也不可知，一般假定為0態(tài)。顯然在運行過程中，S1狀態(tài)與S2狀態(tài)是不一致的，控制理論就是在這種不一致的情況下，怎樣使S1和S2在運行一個很短時

12、間里就保持一致，就是使物理模型的狀態(tài)與數(shù)學模型的狀態(tài)之差在運行過程中趨向于零，即共37頁21一、狀態(tài)觀測器原理為此，可在數(shù)學模型中引入反饋。由于物理系統(tǒng)狀態(tài)不可測，只能在狀態(tài)方程引入輸出反饋，這時數(shù)學模型S2變成數(shù)學模型S3：其中反饋系數(shù)L必須使式(6-28)成立。由系統(tǒng)物理模型和反饋數(shù)學模型S3可得狀態(tài)重構(gòu)誤差模型：顯然，只要(A-LC)的特征值在單位圓內(nèi)，(6-28)就成立。由線性代數(shù)可知，(A-LC)與(A-LC)T=AT-CTLT的特征值完全一致。共37頁22一、狀態(tài)觀測器原理顯然，(AT，CT)完全能控，則(A-LC)T的極點也可以任意配置。根據(jù)對偶原理可知， (AT，CT)的能控性

13、矩陣：恰好為(A，C)的能觀測性矩陣W0的轉(zhuǎn)置。由線性代數(shù)可知，這兩個矩陣的秩完全一致。由此可知，假如原來物理系統(tǒng)是可以觀測的，則一定可以通過L使式(6-28) 。二、狀態(tài)觀測器構(gòu)造步驟構(gòu)造(A，C)的對偶系統(tǒng)(AT、CT)，求得后者的能控性矩陣通過WC的秩，判定(A，C)的能觀測性即(AT,CT)的能控性，選定待配置的閉環(huán)極點l1,l2, ,ln。共37頁23二、狀態(tài)觀測器構(gòu)造步驟求得A的特征多項式(開環(huán)時候的特征式)和待配置的閉環(huán)極點對應(yīng)的特征多項式構(gòu)造使得(AT，CT)為能控標準型的坐標變換陣共37頁24二、狀態(tài)觀測器構(gòu)造步驟由公式可求得L。所設(shè)計的狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)框圖如圖6-1所示。用于

14、原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制共37頁25二、狀態(tài)觀測器構(gòu)造步驟例6.5 給定被控對象的狀態(tài)方程為試設(shè)計系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器，并將觀測器的極點配置到l1l2l3=0。解： 被控對象的能觀測性矩陣共37頁26例6.5顯然系統(tǒng)為完全能觀測的。其對偶系統(tǒng)能控性矩陣系統(tǒng)的開環(huán)特征多項式為求使對偶系統(tǒng)為能控標準形的坐標變換陣共37頁27例6.5理想閉環(huán)極點所對應(yīng)的閉環(huán)特征多項式為z3，故反饋增益陣LT可通過下式計算得出因此，給定被控對象的狀態(tài)觀測器為共37頁286.3 具有狀態(tài)觀測器的極點配置通過狀態(tài)觀測器解決了被控對象狀態(tài)不能直接測量的問題，使這類系統(tǒng)也能利用狀態(tài)反饋實現(xiàn)系統(tǒng)的極點配置，其結(jié)構(gòu)圖如圖6-2所示。共3

15、7頁29被控對象狀態(tài)方程為假定被控對象是完全能控和完全能觀測的，它的狀態(tài)觀測器具有以下形式一、具有狀態(tài)觀測器的極點配置原理具有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋控制律為將式(6-34)和式(6-32)分別代入式(6-31)和式(6-33)，同時使用擴充狀態(tài)向量的方法，得出系統(tǒng)的閉環(huán)狀態(tài)方程共37頁30一、具有狀態(tài)觀測器的極點配置原理對以上狀態(tài)變量作如下的坐標變換其中 即為前面已定義的觀測誤差向量，變換后系統(tǒng)的狀態(tài)方程為由式(6-38) 可以看出，具有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點具有分離性質(zhì)。2n維的閉環(huán)系統(tǒng)的2n個極點可以分成兩部分：一部分是特征多項式det(zI-A+BF)的n個根，它對應(yīng)著采用

16、直接狀態(tài)反饋時閉環(huán)系統(tǒng)的n個極點；另一部分是觀測器的特征多項式det(zI-A+LC)的n個根，它對應(yīng)著觀測器的n個極點。共37頁31一、具有狀態(tài)觀測器的極點配置原理為了便于在計算機上實現(xiàn)具有觀測器的狀態(tài)反饋極點配置控制系統(tǒng)，可以在作為控制系統(tǒng)描述的方程式中消除觀測狀態(tài)變量。實際控制中設(shè)定觀測狀態(tài)初始量為零，對(6-33)和(6-34)兩邊取Z變換，得式(6.42)即為可在計算機中直接實現(xiàn)的具有觀測器的狀態(tài)反饋極點配置控制系統(tǒng)。二、具有狀態(tài)觀測器的極點配置步驟判定被控對象的能控性和能觀測性。如果被控對象不是完全能控的，與或不是完全能觀測的，則下一步的極點配置中共37頁32二、具有狀態(tài)觀測器的極

17、點配置步驟(續(xù)1) 就不能實現(xiàn)任意的極點配置(即被控對象的不能控或不能觀測的模態(tài)是不能通過極點配置而改變的);根據(jù)對閉環(huán)的性能要求，確定待配置的閉環(huán)系統(tǒng)極點和觀測器的極點;利用極點配置的方法，選擇反饋增益陣F和L，分別將閉環(huán)系統(tǒng)和觀測器的極點配置到指定的位置，即使得利用式(6-42)、式(6-38)與式(6-34)實現(xiàn)相應(yīng)的控制器。 例 6.6 若導彈飛行偏離預定軌道，要求設(shè)計相應(yīng)的計算機控制系統(tǒng)，使得其能返回軌道。解： 設(shè)導彈飛行偏離角為q，圍繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為J，導彈總的推力為M，則根據(jù)牛頓第二定律，下式成立：實際控制系統(tǒng)中，觀測器的特征值模比控制系統(tǒng)的特征值模要小得多！共37頁33 例

18、6.6解系統(tǒng)輸出y=q，系統(tǒng)的輸入u=M/J，系統(tǒng)的狀態(tài)變量x1=y，x2=dx1/dt。則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為此系統(tǒng)也稱為雙積分系統(tǒng)。理想振蕩器的運動方程或理想物體的運動方程都可歸結(jié)為這一形式。為了能利用離散時間狀態(tài)方程設(shè)計這一控制，首先得到該被控對象的離散化狀態(tài)方程。設(shè)系統(tǒng)周期為T，并月假定保持器為零階。系統(tǒng)的符號形式為共37頁34 例 6.6 解綜合考慮各種因素，選擇采樣周期T0.1s代人上式即可得被控對象與零階保持器一起的離散化狀態(tài)方程為共37頁35 例 6.6解 假定系統(tǒng)的狀態(tài)不可直接測量，設(shè)計它的具有觀測器的狀態(tài)反饋極點配置控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點為0.6,0.8，觀測器的極點為0.9j0.1。系統(tǒng)的能控性矩陣為非奇異，系統(tǒng)是完全能控的。系統(tǒng)的能觀測性矩陣為顯然，系統(tǒng)是完全能觀測的。設(shè)狀態(tài)反饋陣