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文檔簡介

1、 第九章 應(yīng)用 第三節(jié)一元函數(shù) y = f (x) 的微分近似計算估計誤差本節(jié)內(nèi)容:全微分一、全微分的定義二、可微的條件三、小結(jié)一、全微分的定義 定義: 如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域 D 的內(nèi)點( x , y )可表示成其中 A , B 不依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關(guān)，稱為函數(shù)在點 (x, y) 的全微分, 記作若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點都可微,則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點( x, y) 可微，處全增量則稱此函數(shù)在D 內(nèi)可微.函數(shù) z = f (x, y) 在點 (x, y) 可微當(dāng)函數(shù)可微時 :得函數(shù)在該點連續(xù)即(2) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個定理給出了可微

2、與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1) 函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)可微 定理1(必要條件)若函數(shù) z = f (x, y) 在點(x, y) 可微 ,則該函數(shù)在該點的偏導(dǎo)數(shù)必存在,且有二、可微的條件同樣可證證:因函數(shù)在點(x, y) 可微, 故 得到對 x 的偏增量因此有 注意: 定理1 的逆定理不成立 .偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 !即:反例: 函數(shù)易知 但因此,函數(shù)在點 (0,0) 不可微 .定理2 (充分條件)若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點可微分，且通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理推廣: 類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如, 三元函數(shù)習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,記作故有下述疊加原理稱為偏微分.的全微分為于是例1. 計算函數(shù)在點 (2,1) 處的全微分. 解:例3. 計算函數(shù)的全微分. 解: 內(nèi)容小結(jié)1. 微分定義:內(nèi)容小結(jié)2. 重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)在可微的充分條件是(

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