1、直線與平面垂直的判定（一）教學(xué)設(shè)計香城中學(xué) 馮開艾一、教材、學(xué)情及目標分析 1、教材內(nèi)容和地位分析垂直關(guān)系是立體幾何中的最重要的關(guān)系之一，而線面垂直是繼空間中平行關(guān)系之后緊接著研究的線面相交位置關(guān)系中的特例，是聯(lián)系空間中直線與直線垂直和平面與平面垂直的紐帶，是探究后續(xù)內(nèi)容空間角、距離的基礎(chǔ)。本節(jié)內(nèi)容是學(xué)生體驗感悟由特殊到一般、類比、歸納、化歸等數(shù)學(xué)思想方法與應(yīng)用的過程，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象能力和邏輯推理能力的重要載體，因而直線與平面垂直的判定的教學(xué)在立體幾何有著舉足輕重的作用。本節(jié)課的內(nèi)容包含直線與平面垂直的定義和判定定理兩部分內(nèi)容。其中直線與平面垂直的定義是判定直線與平面垂直的最基本方法和

2、性質(zhì)，是探究判定定理的基礎(chǔ)；而直線與平面垂直的判定定理充分體現(xiàn)了線線垂直與線面垂直之間的轉(zhuǎn)化，蘊含了平面化，降維，化歸等數(shù)學(xué)思想。類比線面平行的研究為，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間直線與平面垂直的定義；通過直觀感知、操作確認，歸納出直線與平面垂直的判定定理；能運用直線與平面垂直的定義和判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題。2、學(xué)情分析學(xué)生已有通過直觀感知、操作確認、思辨論證來研究線面平行的經(jīng)驗，對空間概念建立了一定的基礎(chǔ)，同時也有了“通過觀察、操作并抽象概括等活動獲得數(shù)學(xué)結(jié)論”的體會，有了一定的幾何直觀能力、推理論證能力。但理解“平面化”和“降維”的思想，會給

3、學(xué)生造成一定困難，而學(xué)生的能力發(fā)展雖然處于從形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)折階段，但更側(cè)重形象思維。3、教學(xué)重難點教學(xué)重點：直線與平面垂直的定義生成過程，直線與平面垂直的判定定理的探究歸納過程。教學(xué)難點：直線與平面垂直的定義的生成，操作確認直線與平面垂直的判定定理.4、教學(xué)目標（1）借助生活中直線與平面垂直的實例，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，能夠抽象出直線與平面垂直的定義，提升數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)；（2）借助折疊三角形紙片，通過直觀感知、操作確認，歸納出直線與平面垂直的判定定理，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)；（3）能運用直線與平面垂直的定義和判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題，

4、提升邏輯推理素養(yǎng)。5、教學(xué)分析過程中的困惑與突破策略基于上述分析，困惑（1）定義教學(xué)中如何化“實”為“虛”，現(xiàn)實生活中直線與平面垂直的情境隨處可見，怎樣突破難點合乎情理的化為數(shù)學(xué)抽象中的“虛”；困惑（2）定理探究中如何“降維”，實現(xiàn)從平面“任意”一條直線到平面內(nèi)“兩條”“相交”直線，讓學(xué)生體會其中的化歸思想；困惑（3）課標對判定定理只要求通過直觀感知、操作確認來歸納，并不進行嚴格的思辨論證，這與立體幾何目標在于培養(yǎng)學(xué)生的嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰ο鄾_突，該如何化解，順利的將直觀感知、操作確認與思辨論證統(tǒng)一。為解決教學(xué)分析中的困惑，采取策略（1）圖片展示，將生活中的“實”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言中的虛，再將數(shù)學(xué)語

5、言中的虛轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)抽象中的虛，即將生活中的模型（例如旗桿與底面的位置關(guān)系）轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（直線與平面的位置關(guān)系）；策略（2）采用“啟發(fā)探究式”教學(xué)，借助直線與平面平行的判定定理進行類比，引導(dǎo)學(xué)生猜想；策略（3）在直觀感知、操作確認過程中融入思辨論證，以問題引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)思維活動分析。二、教學(xué)過程1、創(chuàng)設(shè)情境、引出課題問題1：直線與平面有哪些位置關(guān)系？ 問題2：研究了直線與平面平行的哪些內(nèi)容？蘊涵了哪些數(shù)學(xué)思想？【設(shè)計意圖】以問題串的形式復(fù)習(xí)線面關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生回憶其中蘊含的降維、平面化、無限轉(zhuǎn)化為有限的數(shù)學(xué)思想，為本節(jié)課的研究埋下伏筆、墊定基礎(chǔ)。問題3：同學(xué)們能舉出日常生活中呈現(xiàn)的直線與平面相

6、交的例子嗎？活動1：請同學(xué)們觀察圖片,觀察旗桿所在直線與地面、斜塔所在直線與地面的位置關(guān)系。思考兩個圖片所呈現(xiàn)的位置關(guān)系的有區(qū)別嗎？ 【設(shè)計意圖】感受“直線與平面垂直”的直觀形象，并認識到直線與平面垂直是直線與平面相交中的一種特殊和普遍情形，感悟從特殊到一般的研究思路。2、定義建構(gòu)問題4：該如何給直線和平面垂直下定義呢？活動2：動畫演示旗桿和其在地面影子的變化，觀察旗桿所在直線與影子所在直線的位置關(guān)系。問：旗桿AB與地面上不過旗桿底部B的直線B1C1的位置垂直嗎？ 問：旗桿所在直線和平面內(nèi)任意一條直線垂直嗎？【設(shè)計意圖】通過對動畫的觀察，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)到當(dāng)直線與平面垂直時，直線與平面內(nèi)任意直線都

7、垂直的事實 ，完成對定義必要性的剖析。其中重點讓學(xué)生體會直線與平面內(nèi)不過垂足的直線也垂直?；顒?：若鉛筆所在的直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，能判定直線與平面垂直嗎？若鉛筆所在的直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，能判定直線與平面垂直嗎？ （學(xué)生行為：同桌合作、用筆進行操作，思考交流，并匯報探究結(jié)果。）【設(shè)計意圖】在操作中融入思辨，將對定義的辨析置前。活動的目的在于操作確認定義的充分性，確認定義的充要性，力求使定義的生成樸實自然?；顒邮菍Χx當(dāng)中的關(guān)鍵詞辨析。整個活動使學(xué)生的思維主動參與、自主探索，促進學(xué)生思維的深度思考，鍛煉思維的嚴謹性而不是被動接受課本上的現(xiàn)成結(jié)論。借助現(xiàn)有工具的操作幫助學(xué)生

8、建立對定義的直觀感受，提高學(xué)生動手能力、合作意識，而且為直線與平面的判定定理的教學(xué)埋下伏筆。問題5：如何定義直線與平面垂直？圖形語言、符號語言分別如何表示？設(shè)計意圖：讓學(xué)生表述直線與平面垂直的定義，教師引導(dǎo)學(xué)生用圖形語言、符號語言表示，并在這個過程中及時修正學(xué)生的表述，培養(yǎng)學(xué)生不同語言之間的轉(zhuǎn)化能力。3、直線與平面垂直的判定定理問題6：如何判定旗桿所在的直線與水平地面是否垂直？問題7：能不能像判定直線與平面平行那樣，利用直線與平面內(nèi)的一條直線垂直來判定直線與平面垂直？問題8：能不能像判定平面與平面平行那樣，利用直線與平面內(nèi)的兩條直線垂直來判定直線與平面垂直？追問：如果是直線與平面內(nèi)的兩條平行直

9、線垂直是否能判定直線與平面垂直？追問：兩條相交直線是否可以判定？ 【設(shè)計意圖】引發(fā)學(xué)生認知沖突，認識到尋求平面與直線垂直的判定方法的重要性。再通過問題引導(dǎo)利用類比思想，平面化的思想尋找線面垂直的判定方法，提出猜想，讓學(xué)生體會由無限轉(zhuǎn)化為有限、降維、平面化的思想。（其中針對兩條相交直線的情形進行折紙實驗）活動4折紙試驗實驗1：如圖，請同學(xué)們拿出準備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來做一個實驗：過ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸）.觀察并思考：（1）折痕AD與桌面垂直嗎？（2）為什么AD與桌面不垂直？【設(shè)計意圖】使學(xué)生認識到折痕不垂

10、直的原因是不符合定義，目前定義是判定直線與平面垂直的唯一方法，深化對概念的認識，同時明確存在直線與平面內(nèi)一條直線不垂直，則該直線與平面不垂直，為接下來的實驗中的思辨論證做鋪墊。實驗2: (1)如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？ 追問：為什么AD與桌面垂直？【設(shè)計意圖】直觀感知直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直時直線與平面垂直，但是“猜想”仍未得到認證，引起學(xué)生的認知困惑，“直觀感知對嗎？”“當(dāng)直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直時能得到直線與平面內(nèi)任意直線垂直嗎？”通過問題繼續(xù)引領(lǐng)學(xué)生思維活動。實驗3：如圖所示，當(dāng)ADBC時，固定折紙的ABD部分，保持BD與DC緊貼桌面，讓折紙的CAD部分繞著AD

11、旋轉(zhuǎn)，觀察AD的變化. 問：旋轉(zhuǎn)過程中AD是怎樣變化的，直線AD與桌面垂直嗎？ 問：翻折旋轉(zhuǎn)的過程中，哪些量變了，哪些量沒變？ 問：旋轉(zhuǎn)過程中能否保證直線AD與平面內(nèi)的所有直線都垂直？【設(shè)計意圖】通過旋轉(zhuǎn)實驗，使學(xué)生在操作中認識到旋轉(zhuǎn)的過程中折痕AD位置未發(fā)生變化，始終與桌面（平面）垂直，且折痕AD與桌面（平面）內(nèi)任意一條過點D的直線都垂直，再由異面直線垂直的知識可知，折痕AD與桌面（平面）內(nèi)任意直線都垂直，建立起判定定理與定義之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生理解判定定理的本質(zhì)，深化學(xué)生對定義的理解，在操作確認過程中達到思辨論證的目的。在實驗過程中感悟數(shù)學(xué)中的“轉(zhuǎn)化”思想，提升學(xué)生的幾何直觀，邏輯推理等數(shù)

12、學(xué)素養(yǎng)。問題9：直線與平面垂直的判定定理是什么？圖形語言、符號語言分別如何表示？設(shè)計意圖：讓學(xué)生歸納直線與平面垂直的判定方法，教師引導(dǎo)學(xué)生用圖形語言、符號語言表示，并在這個過程中及時修正學(xué)生的表述，培養(yǎng)學(xué)生不同語言之間的轉(zhuǎn)化能力，并強調(diào)平面內(nèi)兩條相交直線的任意性?；顒?：課外知識閱讀直線與平面垂直的判定定理的證明教材并未給出嚴格的證明，目前高中課本中對定義的證明將在后續(xù)學(xué)習(xí)選修2-1的內(nèi)容中借助空間向量給出嚴格的證明。而在18世紀-20世紀的早期教科書中對該定理的證明主要有6種證明方法，分別為歐氏證法、勒讓德證法、等腰三角形法、對稱法、引理法和阿達瑪證法，分屬兩個傳統(tǒng)：歐幾里得的傳統(tǒng)(證明任意

13、直線與己知直線垂直)以及引理法的傳統(tǒng)(垂直于己知直線的平面與已知平面重合)。前者經(jīng)歷了由繁至簡的過程：最早的教科書作者沿用歐氏證法；接著，勒讓德創(chuàng)用的新方法取代了舊方法;然后，等腰三角形法登上舞臺;最終，對稱法脫穎而出，一枝獨秀?！驹O(shè)計意圖】課標中放棄了對判定定理進行嚴格證明，雖然折紙實驗論證了定理讓學(xué)生認識到定理的真實性和合理性，但仍未從數(shù)學(xué)語言上給出嚴格的邏輯推理論證，通過課外知識的閱讀不僅介紹了數(shù)學(xué)史，在教學(xué)中提升學(xué)生的人文素養(yǎng)，更讓學(xué)生意識到定理是能通過多種方式證明的，給學(xué)有余力的同學(xué)提供課外探究的素材。4、運用定義和定理，加深對知識的認識。例1：已知正方體.（1）證明：； （2）證明

14、：；（3）證明：; （4）證明：.【設(shè)計意圖】以學(xué)生熟悉的正方體為模型，設(shè)計四個問題，集中體現(xiàn)了本節(jié)課所學(xué)重點，使學(xué)生能運用定義和判定定理進行線線垂直與線面垂直之間互相轉(zhuǎn)化，突出知識間的內(nèi)在聯(lián)系，呈現(xiàn)嚴密的邏輯推理過程和規(guī)范的書寫表達，同時為下一個問題情境做鋪墊。探究：側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱.在直四棱柱中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足什么條件時，有，說明你的理由.【設(shè)計意圖】進一步領(lǐng)會解決問題的思路和方法，由已知想可知（性質(zhì)），由未知想需知（判定），合理選擇輔助面，體會線線垂直與線面垂直之間的轉(zhuǎn)化思想。PABCD練習(xí)1:在三棱錐P-ABC中，PA平面ABC，ABBC，PA=AB，D為PB的中點，求證：（1）AD平面PBC；（