1、第八章分離變數(shù)法分離變數(shù)法在數(shù)學(xué)物理方程中的地位:分離變數(shù)法是求解數(shù)學(xué)物理定解問題的基本方法，是貫穿數(shù)學(xué)物理方程內(nèi)容的主要線索，本章以分離變數(shù)法為主線，結(jié)合傅里葉級數(shù)法研究求解一維自由波動方程、一維無源輸運方程、直角坐標(biāo)系中二維無源穩(wěn)定場方程的方法。引言8.1分離變數(shù)法詳析一、分離變數(shù)法介紹長為 、兩端固定的均勻弦的自由微小橫振動的定解問題 ,為常數(shù)又由邊界條件：T(t)：X(x)：X(x)：T(t)：討論：（1）考慮邊界條件得：不存滿足邊界條件的、非零的可分離變數(shù)形式的特解 (2)考慮邊界條件得：不存滿足邊界條件的、非零的可分離變數(shù)形式的特解 (3)由要有非零解，必須：由于泛定方程是線性齊次

2、方程，因此這些特解的線性疊加，仍然是泛定方程滿足給定的邊界條件的解。 一般解取決于初始狀態(tài)綜上，長為 、兩端固定、均勻弦的自由微小橫振動問題的解： 2 .行波的一般表示 時刻 時刻P1P2 表示以速率 沿 正向傳播的行波 3 .本征解是駐波解其中4 .駐波形成條件駐波的波長只能取特定值 。駐波的波長只能取某些特定值駐波的相位傳播速率駐波的角頻率基波 高次諧波 三、分離變數(shù)法的適用范圍分離變數(shù)法僅適用于求解具有齊次泛定方程和齊次邊界條件的定解問題。 若定解問題的泛定方程非齊次，或邊界條件非齊次，必須用其它辦法將邊界條件和泛定方程轉(zhuǎn)換成齊次的，然后應(yīng)用分離變數(shù)法求解。四、分離變數(shù)法求解定解問題的基

3、本步驟線性齊次的偏微分方程分離變數(shù)常微分方程1常微分方程2齊次邊界條件分離變數(shù)條件解1解2 本征解（解1解2）本征值本征函數(shù)初始條件確定疊加系數(shù)與采用分離變數(shù)法所得結(jié)果一致。 8.2直角坐標(biāo)系中有界空間上的齊次泛定方程例1：兩端自由的均勻桿的縱振動問題由初始條件 ， 例2：研究細(xì)桿導(dǎo)熱問題，初始時刻桿的一端溫度為零度，另一端溫度為 ，桿上溫度梯度均勻，零度的一端保持溫度不變，另一端跟外界絕熱。試求細(xì)桿上溫度的變化。解: 不妨設(shè) 端為溫度保持零度的端，即 端與外界絕熱，即 本導(dǎo)熱問題可表示為: 【解法一】分離變數(shù)法令當(dāng) 時齊次方程組只有零解 無意義。 當(dāng) 時齊次方程組有非零解 【解法二】付里葉級

4、數(shù)法把限制在上得滿足邊界條件的傅里葉級數(shù)展開為傅里葉級數(shù) 代入一維無源熱傳導(dǎo)方程得： 解得則與分離變數(shù)法相同 【討論】， 的解本征值問題的解本征值問題 的微分方程分離變數(shù)邊界條件泛定方程本例（熱傳導(dǎo)問題）兩端固定的弦的橫振動例3：細(xì)桿導(dǎo)熱問題。桿的初始溫度 是均勻的，保持桿的一端的溫度為不的 ，至于另一端則有強度恒定的熱流 流入。解： ， 因邊界條件非齊次，必須將其轉(zhuǎn)換為齊次邊界條件，才能應(yīng)用分離變數(shù)法。 設(shè)是滿足 的特解 令此時泛定方程是齊次的、邊界條件也是齊次的 令 的定解問題轉(zhuǎn)換為 的定解問題例4：如圖所示，散熱片的橫截面為矩形，它的一邊 處于較高溫度 ，其他邊 , 和 則處于冷卻介質(zhì)中

5、因而保持較低的溫度 。試求解這橫截面上的穩(wěn)定溫度分布 。 xyOaUbu0u0解：本問題是二維無源穩(wěn)定溫度分布，其定解問題可表為【方法一】疊加法 令 和 的定解問題均是齊次的泛定方程，且一個變量的邊界條件是齊次邊界條件，均可用分離變數(shù)法求解?！痉椒ǘ繙貥?biāo)移動法令（ 為新溫標(biāo)的零點） 根據(jù)邊界條件： 把 展開為傅里葉正弦級數(shù)，即 代入 得：求疊加系數(shù) 因此散熱片內(nèi)的穩(wěn)定溫度分布為【討論】 的解本征值問題的解本征值問題 方程分離變數(shù)邊界條件泛定方程本例（矩形域穩(wěn)定場問題）兩端固定的弦的橫振動本章小結(jié) 本章研究當(dāng)邊界條件是齊次邊界條件時，一維自由波動方程、一維無源輸運方程、矩形域無源穩(wěn)定場方程的求解。分離變數(shù)法是基本方法，傅里葉級數(shù)法是輔助方法。1. 直角坐標(biāo)系中有限區(qū)間上（或矩形區(qū)域內(nèi)）分離變數(shù)法求解定解問題的基本步驟，本征值問題的求解方法。2. 駐波解的物理意義。3. 直角坐標(biāo)系中有限區(qū)間上（或矩形區(qū)域內(nèi)）分離變數(shù)法適用的定解問題。4. 直角坐標(biāo)系中有限區(qū)間上（或矩形區(qū)域內(nèi)）一些基本定解問題的解。有12種基本類型如下表所示。 表：直角坐標(biāo)系中有限區(qū)間上(或矩形