1、三角形中作輔助線的常用方法舉例一、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖 7-1：已知 ACBD，ADAC 于 A ，BCBD 于 B， 求證：ADBC分析：欲證 ADBC，先證分別含有 AD，BC 的三角形全等，有幾種方案 eq oac(,：)ADC 與 BCD，AOD 與BOC，ABD 與BAC，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相 等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。證明：分別延長(zhǎng) DA，CB，它們的延長(zhǎng)交于 E 點(diǎn)， ADAC BCBD （已知）CAEDBE 90 （垂直的定義）E在DBE 與CAE 中EE (公共角) DBE CAE (已證) BD AC (已知)A

2、DO圖7 1BCeq oac(,)DBE CAE（AAS）EDEC EBEA （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）EDEAECEB即：ADBC。（當(dāng)條件不足時(shí)，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）二 、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。三、有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。例如：如圖 9-1：在 eq oac(,Rt)ABC 中，ABAC，BAC90，12，CEBD 的延 長(zhǎng)于 E 。求證：BD2CE分析：要證 BD2CE ，想到要構(gòu)造線段 2CE，同時(shí)CE 與ABC 的平分線垂直，想到要將其延長(zhǎng)。F證明：分別延長(zhǎng) BA，CE 交于點(diǎn) F。AEBECF （已知

3、）DBC圖9 1BEFBEC90 （垂直的定義） 在BEF 與BEC 中，12(已知)BE BE (公共邊 )BEF BEC (已證)eq oac(,)BEF BEC（ASA）CE=FE=CF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）BAC=90 BECF （已知）BACCAF90 1BDA901BFC90 BDABFC在ABD 與ACF 中BAC CAF (已證)BDA BFC (已證)ABAC (已知)eq oac(,)ABD ACF （AAS）BDCF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） BD2CE四、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如：如圖 11-1：ABDC，AD 求證：ABCDCB。分析：由 ABDC，AD，想

4、到如取 AD 的中點(diǎn) N，連接 NB，NC，再由 SAS 公理 有ABNeq oac(,，)DCN 故 BNCN，ABNDCN。下面只需證NBCNCB，再取 BC 的中點(diǎn) M，連接 MN，則由 SSS 公理有NBMeq oac(,，)NCM 所以NBCNCB。問 題得證。證明：取 AD，BC 的中點(diǎn) N、M，連接 NB，NM，NC。則 AN=DN，BM=CM， eq oac(,在)AN DN (輔助線的作法 )ABN 和DCN 中 AD (已知)AB DC (已知)eq oac(,)ABN DCN （SAS）ABNDCN NBNC （全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角 相等）在NBM 與NCM 中NAB M

5、圖11 1DCNBNC (已證)BMCM (輔助線的作法) NMNM (公共邊)eq oac(,)NMB NCM，(SSS) NBCNCB （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）NBC ABN NCBDCN 即ABCDCB。巧求三角形中線段的比值例 1. 如圖 1，在ABC 中，BD：DC1：3，AE：ED2：3，求 AF：FC。解：過點(diǎn) D 作 DG/AC，交 BF 于點(diǎn) G所以 DG：FCBD：BC因?yàn)?BD：DC1：3所以 BD：BC1：4即 DG：FC1：4，F(xiàn)C4DG因?yàn)?DG：AFDE：AE所以 DG：AF3：2又因?yàn)?AE：ED2：3即所以 AF：FC：4DG1：6例 2. 如圖 2，BCCD

6、，AFFC，求 EF：FD解：過點(diǎn) C 作 CG/DE 交 AB 于點(diǎn) G，則有 EF：GCAF：AC因?yàn)?AFFC所以 AF：AC1：2即 EF：GC1：2，因?yàn)?CG：DEBC：BD又因?yàn)?BCCD所以 BC：BD1：2 CG：DE1：2即 DE2GC因?yàn)?FDEDEF 所以 EF：FD小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點(diǎn) 處，且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。請(qǐng)?jiān)倏磧衫?，讓我們感受其中?奧妙！例 3. 如圖 3，BD：DC1：3，AE：EB2：3，求 AF：FD。 解：過點(diǎn) B 作 BG/AD，交 CE 延長(zhǎng)線于點(diǎn) G。所以 DF：BGCD：CB因

7、為 BD：DC1：3即 DF：BG3：4，因?yàn)?AF：BGAE：EB所以 AF：BG2：3所以 CD：CB3：4又因?yàn)?AE：EB2：3 即所以 AF：DF例 4. 如圖 4，BD：DC1：3，AFFD，求 EF：FC。 解：過點(diǎn) D 作 DG/CE，交 AB 于點(diǎn) G所以 EF：DGAF：AD因?yàn)?AFFD即 EF：DG1：2所以 AF：AD1：2圖 4因?yàn)?DG：CEBD：BC，又因?yàn)?BD：CD1：3， 即 DG：CE1：4，CE4DG因?yàn)?FCCEEF所以 EF：FC1：7所以 BD：BC1：4練習(xí)：如圖 5，BDDC，AE：ED1：5，求 AF：FB。如圖 6，AD：DB1：3，AE

8、：EC3：1，求 BF：FC。答案：1、1：10； 2. 9：1二 由角平分線想到的輔助線圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)： a、對(duì)稱性； b 、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離 相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。 與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等例1

9、 如圖 1-2，AB/CD，BE 平分BCD，CE 平分BCD，點(diǎn) E 在 AD 上，求證：BC=AB+CD。分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線來構(gòu)造軸對(duì)稱圖形，同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或截取法來證明，延長(zhǎng)短的線段或在長(zhǎng)的線段長(zhǎng)截取一部分使之等于短的線段。但無論延長(zhǎng)還是截取都要證明線段的相等，延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的 線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。例2 已知：如圖 1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求證 DC AC分析：此題還是利

10、用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段 相等。其它問題自已證明。例3 已知：如圖 1-4，在ABC 中，C=2B,AD 平分BAC，求證： AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長(zhǎng)的線段上截 取短的線段，來證明。試試看可否把短的延長(zhǎng)來證明呢？（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明 問題。例1 如圖 2-1，已知 ABAD, BAC=FAC,CDA=BC。DEF求證：ADC+B=180B分析：可由 C 向BA

11、D 的兩邊作垂線。近而證A DC 與B 之和為平角。C圖 2-1例2 如圖 2-2，在ABC 中，A=90 ，AB=AC，ABD=CBD。 求證：BC=AB+AD分析：過 D 作 DEBC 于 E，則 AD=DE=CE，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。例3 已知如圖 2-3，ABC 的角平分線 BM、CN 相交于點(diǎn) P。求證： BAC 的平分線也經(jīng)過點(diǎn) P。分析：連接 AP，證 AP 平分BAC 即可，也就是證 P 到 AB、AC 的距離 相等。（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，

12、則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一 邊相交）。例1 已知：如圖 3-1，BAD=DAC，ABAC,CDAD 于 D，H 是 BC 中點(diǎn)。求證：DH=（AB-AC）分析：延長(zhǎng) CD 交 AB 于點(diǎn) E，則可得全等三角形。問題可證。例2 已知：如圖 3-2，AB=AC，BAC=90 ，AD 為ABC 的平分線， CEBE.求證：BD=2CE。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長(zhǎng)此垂線 與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例 3

13、已知：如圖 3-3 在ABC 中，AD、AE 分別BAC 的內(nèi)、外角平分線，過頂點(diǎn) B 作 BFAD，交AAD 的延長(zhǎng)線于 F，連結(jié) FC 并延長(zhǎng)交 AE 于 M。MBD求證：AM=ME。FCEN圖3-3分析：由 AD、AE 是BAC 內(nèi)外角平分線，可得EAAF，從而有 BF/AE，所以想到利用比例線段證相等。例4 已知：如圖 3-4，在ABC 中，AD 平分BAC，AD=AB，CMAD 交 AD 延長(zhǎng)線于 M。求證：AM=（AB+AC）分析：題設(shè)中給出了角平分線 AD，自然想到以 AD 為軸作對(duì)稱變換，作1ABD 關(guān)于 AD 的對(duì)稱AED，然后只需證 DM= E2A1C，另外由求證的結(jié)果 A

14、M= （AB+AC），即 2AM=2EFAB+AC，也可嘗試作ACM 關(guān)于 CM 的對(duì)稱FCBDnCM，然后只需證 DF=CF 即可。三 由線段和差想到的輔助線M圖3-4線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等 于另一條；補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線 段等于長(zhǎng)線段。對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第 三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。注意：利用三角形外角定理證明不等

15、關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。例 1如圖，AC 平分BAD，CEAB，且B+D=180，求證：AEA D=AD+BE。EBC例 3 已知：如圖，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，A=108，BD 平分 ABC。求證：BC=AB+DC。ADBC例 4 如圖，已知 RtABC 中，ACB=90，AD 是CAB 的平分線，D1AMAB 于 M，且 AM=MB。求證：CD=2DB。MC D B1如圖，ABCD，AE、DE 分別平分BAD 各ADE，求證：AD=AB +CD。D CEA B2.如圖，ABC 中，BAC=90，AB=AC

16、，AE 是過 A 的一條直線，且 B，C 在 AE 的異側(cè)，BDAE 于 D，CEAE 于 E。求證：BD=DE+CE四 由中點(diǎn)想到的輔助線三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。（一）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例 2如圖 3，在四邊形 ABCD 中，AB=CD，E、F 分別是 BC、AD 的中點(diǎn)，BA、CD 的延長(zhǎng)線分別交 EF 的延長(zhǎng)線 G、H。求證：BGE=CHE。 證明：連結(jié) BD，并取 BD 的中點(diǎn)為 M，連結(jié) ME、MF，ME 是 BCD 的中位線，MECD，MEF=CHE，MF 是 ABD 的中位線，MFAB，MFE=BGE，AB=CD，ME=MF，

17、MEF=MFE，從而BGE=CHE。（二）、由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線例 3圖 4，已知 ABC 中，AB=5，AC=3，連 BC 上的中線 AD=2，求 B C 的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng) AD 到 E，使 DE=AD，則 AE=2AD=22=4。在 ACD 和 EBD 中，AD=ED，ADC=EDB，CD=BD，ACDEBD，AC=BE，從而 BE=AC=3。在 ABE 中，因 AE2+BE2=42+32=25=AB2，故E=90， BD=，故 BC=2BD=2。例 4如圖 5，已知 ABC 中，AD 是BAC 的平分線，AD 又是 BC 邊上 的中線。求證：ABC 是等腰三角形。證明：延長(zhǎng) AD 到 E，

18、使 DE=AD。仿例 3 可證：BEDCAD，故 EB=AC，E=2，又1=2，1=E，AB=EB，從而 AB=AC，即 ABC 是等腰三角形。（三）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例 5如圖 6，已知梯形 ABCD 中，AB/DC，ACBC，ADBD，求 證：AC=BD。證明：取 AB 的中點(diǎn) E ，連結(jié) DE、CE，則 DE、CE 分別為 RtABD，RtABC 斜邊 AB 上的中線，故 DE=CE=AB，因此CDE=DCE。 AB/DC，CDE=1，DCE=2，1=2，在 ADE 和 BCE 中，DE=CE，1=2，AE=BE，ADEBCE，AD=BC，從而梯形 ABCD 是等腰梯形，因此 A

19、C=B D。（四）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例 6如圖 7，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，BD 平分ABC交 AC 于點(diǎn) D，CE 垂直于 BD，交 BD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E。求證：BD=2CE。 證明：延長(zhǎng) BA，CE 交于點(diǎn) F，在 BEF 和 BEC 中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90，BEFBEC，EF=EC，從而 CF=2CE。又1+F=3+F=90，故1=3。在 ABD 和 ACF 中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90， ABDACF，BD=CF，BD=2CE。注：此例中 BE 是等腰 BCF 的底邊 CF 的中線。（五）中線延長(zhǎng)口訣：

20、三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長(zhǎng)加倍此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可 得到全等三角形。1如圖，AB=CD，E 為 BC 的中點(diǎn)，BAC=BCA，求證：AD=2AE。AB E C D3如圖，AB=AC，AD=AE，M 為 BE 中點(diǎn)，BAC=DAE=90。求證：AMDC。ABDM CEDD5已知：如圖 AD 為ABC 的中線，AE=EF，求證：BF=ACEFBDC五 全等三角形輔助線（一）、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等1：（“希望杯”試題）已知，如 eq oac(,圖)ABC 中，AB=5，AC=3，則中線 AD 的取值范圍 是_.2：如圖，ABC 中，E、F 分別在 A

21、B、AC 上，DEDF，D 是中點(diǎn)，試 比較 BE+CF 與 EF 的大小.3：如圖，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中點(diǎn)，求證：AD 平分 BAE.中考應(yīng)用例題：以 ABC 的兩邊 AB、AC 為腰分別向外作等腰 Rt ABD 和等腰 RtACE ， BAD CAE 90 ,連接 DE，M、N 分別是 BC、DE 的中點(diǎn)探究： AM 與 DE 的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖 當(dāng) ABC ，為直角三角形時(shí)，AM 與 DE 的位置關(guān)系是線段 AM 與 DE 的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）將圖中的等腰 Rt ABD 繞點(diǎn) A 沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(090)后，如圖所示，（1）問中得到的兩個(gè)結(jié)論是

22、否發(fā)生改變？并說明理由（二）、截長(zhǎng)補(bǔ)短1.如圖， ABC中，AB=2AC，AD 平分 BAC，且 AD=BD，求證：CDAC02：如圖，ACBD，EA,EB 分別平分CAB,DBA，CD 過點(diǎn) E，求證;ADABAC+BDEBC3：如圖，已知在V ABC 內(nèi)， BAC 60 ， C 400，P，Q 分別在 BC，CA 上，并且 AP，BQ 分別是 BAC ， ABC 的角平分線。求證：BAQ+AQ=AB+BPBQP4 ：如圖，在四邊形 ABCD 中，BC BA,AD CD ，BD 平分CABC ，求證： A C 18005（三）、借助角平分線造全等1：如圖，已知在ABC 中，B=60，ABC

23、的角平分線 AD,CE 相交于點(diǎn) O，求 證：OE=ODAEOBDC2：（06 鄭州市中考題）如圖，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F. （1）說明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE、BE 的長(zhǎng).3.如圖，OP 是MON 的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以 OP 所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在ABC 中，ACB 是直角， B=60，AD、CE 分別是BAC、BCA 的平分線，AD、CE 相交于點(diǎn) F。請(qǐng)你判斷并寫出 FE 與 F D 之間的數(shù)量關(guān)系；（2）

24、如圖，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它條件不B變，請(qǐng)問，你在 (1) 中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)M B說明理由。 OPEFDEFD圖NA圖CA圖C(第 23 題圖)（四）、旋轉(zhuǎn)1：正方形 ABCD 中，E 為 BC 上的一點(diǎn)，F(xiàn) 為 CD 上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求EA F 的度數(shù).2：D 為等腰 Rt ABC 于點(diǎn) E,F。斜邊 AB 的中點(diǎn)，DMDN,DM,DN 分別交 BC,CA（1）當(dāng) MDN繞點(diǎn) D 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證 DE=DF。B（2）若 AB=2，求四邊形 DECF 的面積。AEMCFAN3. 如圖， ABC 是邊長(zhǎng)為 3 的等邊三角

25、形， BDC 是等腰三角形，且BDC 1200，以 D 為頂點(diǎn)做一個(gè) 60 0角，使其兩邊分別交 AB 于點(diǎn) M，交 AC于點(diǎn) N，連接 MN，則 AMNA的周長(zhǎng)為 ；BCD4已知四邊形 ABCD中， AB AD ， BC CD， AB BC，ABC 120o，MBN 60o， MBN繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 AD，DC （或它們的延長(zhǎng)線）于 E，F(xiàn)當(dāng) MBN繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 AE CF 時(shí)（如圖 1），易證 AE CF EF當(dāng) MBN繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 AE CF時(shí)，在圖 2 和圖 3 這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段 AE，CF 數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜

26、想，不需證明， EF 又有怎樣的AAABE MBE MBCD CF FNNDFNCDEM（圖 1） （圖 2）（圖 3）5.已知:PA=AB 的兩側(cè).2,PB=4,以 AB 為一邊作正方形 ABCD,使 P、D 兩點(diǎn)落在直線如圖,當(dāng)APB=45時(shí),求 AB 及 PD 的長(zhǎng);當(dāng)APB 變化,且其它條件不變時(shí),求 PD 的最大值,及相應(yīng)APB 的大小.6.在等邊 ABC的兩邊 AB、AC 所在直線上分別有兩點(diǎn) M、N，D 為 VABC外一點(diǎn)，且 MDN 60,BDC 120,BD=DC. 探究：當(dāng) M、N 分別在直線 AB、AC 上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN 之間的數(shù)量關(guān)系及 AMN 的周長(zhǎng) L 的

27、關(guān)系的周長(zhǎng) Q 與等邊 ABC圖 1圖 2圖 3（I）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) M、N 邊 AB、AC 上，且 DM=DN 時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時(shí)QL；如圖 2，點(diǎn) M、N 邊 AB、AC 上，且當(dāng) DM DN 時(shí)，猜想（I）問的 兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；如圖 3，當(dāng) M、N 分別在邊 AB、CA 的延長(zhǎng)線上時(shí)，若 AN= x ，則 Q= （用 x 、L 表示）梯形中的輔助線1、平移一腰：例 1. 如圖所示，在直角梯形 ABCD 中，A90，ABDC，AD15，AB16，BC17. 求 CD 的長(zhǎng).解：過點(diǎn) D 作 DEBC 交 AB 于點(diǎn) E.又 ABCD，所

28、以四邊形 BCDE 是平行四邊形. 所以 DEBC17，CDBE.在 Rt DAE 中，由勾股定理，得AE2DE2AD2，即 AE217215264.D CAD CB所以 AE8.AEB所以 BEABAE1688.即 CD8.例 2 如圖，梯形 ABCD 的上底 AB=3，下底 CD=8，腰 AD=4，求另一腰 BC 的取值范圍。1 1解：過點(diǎn) B 作 BM/AD 交 CD 于點(diǎn) M，在BCM 中，BM=AD=4，CM=CDDM=CDAB=83=5，所以 BC 的取值范圍是：54BC54，即 1BC9。2、平移兩腰：例 3 如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC，BC=90，AD=1，BC=

29、3，E、F 分別是 AD、BC 的中點(diǎn)，連接 EF，求 EF 的長(zhǎng)。解：過點(diǎn) E 分別作 AB、CD 的平行線，交 BC 于點(diǎn) G、H，可得 EGHEHG=BC=90則EGH 是直角三角形因?yàn)?E、F 分別是 AD、BC 的中點(diǎn)，容易證得 F 是 GH 的中點(diǎn)所以EF GH ( BC BG CH ) 2 21 1( BC AE DE ) BC ( AE DE ) 2 21 1 ( BC AD ) (3 1) 12 23、平移對(duì)角線：例 4、已知：梯形 ABCD 中，AD/BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4， 求梯形 ABCD 的面積解：如圖，作 DEAC，交 BC 的延長(zhǎng)線于 E 點(diǎn)

30、ADBC 四邊形 ACED 是平行四邊形A DBE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4在DBE 中， BD=3，DE=4，BE=5BDE=90B H C E作 DHBC 于 H，則DH BD ED 12BE 5 S梯形ABCD(AD BC) DH2125 526例 5 如圖，在等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，AD=3，BC=7，BD= 5 2 ， 求證：ACBD。解：過點(diǎn) C 作 BD 的平行線交 AD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E，易得四邊形 BCED 是平行四邊形，則 DE=BC，CE=BD= 5 2 ，所以 AE=ADDE=ADBC=37=10。在等腰梯形 ABCD 中，AC=B

31、D=5 2，所以在ACE 中，AC2CE2(5 2)2(5 2)2100 AE2，從而 ACCE，于是 ACBD。例 6 如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC，AC=15cm，BD=20cm，高 D H=12cm，求梯形 ABCD 的面積。解：過點(diǎn) D 作 DE/AC，交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E，則四邊形 ACED 是平行四邊形，即S S S ABD ACD DCE。所以S S 梯形 ABCD DBE由勾股定理得EH DE2DH2AC2DH2 15 2 12 2 9（cm）BH BD2DH2 20212216（cm）所以SDBE1 1 BE DH (9 16) 12 150( cm 2 22

32、)，即梯形 ABCD 的面積是 150cm2。（二）、延長(zhǎng)即延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn)，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例 7 如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC，B=50，C=80，AD=2， BC=5，求 CD 的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng) BA、CD 交于點(diǎn) E。在BCE 中，B=50，C=80。所以E=50，從而 BC=EC=5同理可得 AD=ED=2所以 CD=ECED=52=3例 8. 如圖所示，四邊形 ABCD 中，AD 不平行于 BC，ACBD，ADB C. 判斷四邊形 ABCD 的形狀，并證明你的結(jié)論.D C解：四邊形 ABCD 是等腰梯形.證明：延長(zhǎng) AD、BC 相交于點(diǎn) E，如圖所示. ACBD，A

33、DBC，ABBA，DABCBA.DABCBA.EAEB.又 ADBC，DECE，EDCECD.A BED C而 E EAB EBA EEDC ECD 180，EDCEAB，DCAB.A B又 AD 不平行于 BC，四邊形 ABCD 是等腰梯形.（三）、作對(duì)角線即通過作對(duì)角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例 9 如圖 6，在直角梯形 ABCD 中，AD/BC，ABAD，BC=CD，BE CD 于點(diǎn) E，求證：AD=DE。解：連結(jié) BD，由 AD/BC，得ADB=DBE；由 BC=CD，得DBC=BDC。所以ADB=BDE。又BAD=DEB=90，BD=BD，所以 RtBADRteq oac(,，)BED

34、得 AD=DE。（四）、作梯形的高1、作一條高例 10 如圖，在直角梯形 ABCD 中，AB/DC，ABC=90，AB=2DC，對(duì)角線 ACBD，垂足為 F，過點(diǎn) F 作 EF/AB，交 AD 于點(diǎn) E，求證：四邊 形 ABFE 是等腰梯形。證：過點(diǎn) D 作 DGAB 于點(diǎn) G，則易知四邊形 DGBC 是矩形，所以 DC=BG。因?yàn)?AB=2DC，所以 AG=GB。從而 DA=DB，于是DAB=DBA。A1又 EF/AB，所以四邊形 ABFE 是等腰梯形。2、作兩條高例 11、在等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，AB=CD，ABC=60，AD= 3cm，BC=5cm，求：(1)腰 AB 的長(zhǎng)

35、；(2)梯形 ABCD 的面積解：作 AEBC 于 E，DFBC 于 F，又ADBC，四邊形 AEFD 是矩形， EF=AD=3cmAB=DC BE FC ( BC EF ) 1cm在 RtABE 中，B=60，BE=1cmAB=2BE=2cm，AE 3 BE 3cmS梯形ABCD( AD BC ) AE24 3cm2（五）、作中位線1、已知梯形一腰中點(diǎn)，作梯形的中位線。例 13 如圖，在梯形 ABCD 中，AB/DC，O 是 BC 的中點(diǎn)，AOD=90， 求證：ABCD=AD。證：取 AD 的中點(diǎn) E，連接 OE，則易知 OE 是梯形 ABCD 的中位線，從D1而 OE= （ABCD）2在A

36、OD 中，AOD=90，AE=DE所以 OE AD 2B E F C由、得 ABCD=AD。112、已知梯形兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，連接梯形一頂點(diǎn)與一條對(duì)角線中點(diǎn)，并延 長(zhǎng)與底邊相交，使問題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。例 14 如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC，E、F 分別是 BD、AC 的中點(diǎn)， 求證：（1）EF/AD；（2） EF ( BC AD) 。2證：連接 DF，并延長(zhǎng)交 BC 于點(diǎn) G，易證AFDCFG則 AD=CG，DF=GF由于 DE=BE，所以 EF 是BDG 的中位線從而 EF/BG，且 EF BG2因?yàn)?AD/BG， BG BC CG BC AD所以 EF/AD，EF( BC A

37、D)3、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時(shí)，過這點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形達(dá)到解 題的目的。例 15、在梯形 ABCD 中，ADBC， BAD=900，E 是 DC 上的中點(diǎn)， 連接 AE 和 BE，求AEB=2CBE。解：分別延長(zhǎng) AE 與 BC ，并交于 F 點(diǎn)BAD=900 且 ADBCFBA=1800BAD=900又ADBCDAE=F(兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等)AED=FEC （對(duì)頂角相等）DE=EC （E 點(diǎn)是 CD 的中點(diǎn)）ADEFCE （AAS） AE=FE在ABF 中FBA=900且 AE=FE BE=FE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）在FEB 中 EBF=FEBAEB=EBF+

38、FEB=2CBE例 16、已知：如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC，ABBC，E 是 CD 中 點(diǎn)，試問：線段 AE 和 BE 之間有怎樣的大小關(guān)系？解：AE=BE，理由如下：延長(zhǎng) AE，與 BC 延長(zhǎng)線交于點(diǎn) FDE=CE，AED=CEF， DAE=FA DEB C FADEFCEAE=EFABBC， BE=AE例 17、已知：梯形 ABCD 中，AD/BC，E 為 DC 中點(diǎn)，EFAB 于 F 點(diǎn)，AB=3cm，EF=5cm，求梯形 ABCD 的面積解：如圖，過 E 點(diǎn)作 MNAB，分別交 AD 的延長(zhǎng)線于 M 點(diǎn)，交 BC 于 N 點(diǎn)DE=EC，ADBCDEMCNE四邊形 ABNM 是平行四邊形EFAB，S梯形 ABCD=SABNM=ABEF=15cm2【模擬試題】（答題時(shí)間：40 分鐘）2. 如圖所示，已知等腰梯形 ABCD 中，ADFAD MEBC，B60，AD2，BC8，則此等腰BNC梯形的周長(zhǎng)為（ ）A. 19 B. 20 C. 21 D. 22*8. 如圖所示，梯形 ABCD 中，ADBC，（1）若 E 是 AB 的中點(diǎn)，且 ADBCCD，則 DE 與 CE 有何位置關(guān)系？（2）E 是ADC 與BCD 的角 平分線的交點(diǎn)，則 DE 與 CE 有何位置關(guān)系？ADEB