1、一、公式二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三節(jié)第十一章公式及其應(yīng)用一、公式單連通區(qū)域 ( 無“洞”區(qū)域 )復(fù)連通區(qū)域 ( 有“洞”區(qū)域 )區(qū)域 D 分類域 D 邊界 L 的正向:靠左.域的定理1. 設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向閉曲線 L 圍成,在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù) , 則有函數(shù)(公式 )或機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1)若D 既是 X - 型區(qū)域 , 又是 Y - 型區(qū)域 , 且證明:則定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束即同理可證、兩式相加得:定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束2)若D不滿足以上條件,則可通過加輔助線將其分割為有限個上述形式的區(qū)域 , 如圖證畢定理對復(fù)連通區(qū)域

2、也成立。定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束公式推論: 正向閉曲線 L 所圍區(qū)域 D 的面積所圍面積.例如, 橢圓定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.設(shè) L 是一條分段光滑的平面閉曲線, 證明證: 令則公式 , 得利用機動目錄上頁下頁返回結(jié)束其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,例2. 計算B(0,1) 為頂點的三角形閉域 .解: 令, 則公式 , 有利用二重積分一般仍采用二次積分法計算。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束I ( x 2 y cos x 2 xy sin x y2e x ) dx例3.計算L (2) d y,22其中，L : x 3 y 3 a 3 取正向 .分析：（用曲線的參數(shù)式方程較麻煩

3、?。┯霉揭椎肐=0.答:函數(shù)P,Q形式復(fù)雜或積分曲線參數(shù)方程難于寫出時嘗試公式.思考:用公式求解的第二類曲線積分問題的特點.其中L 為上半例4. 計算圓周解: 為了使用區(qū)域為D , 則原式從 O (0, 0) 到 A (4, 0).公式, 添加輔助線段它與L 所圍注意驗證定理條件!機動目錄上頁下頁返回結(jié)束其中L為平面上任例5. 計算一條不過原點(?)的分段光滑正向閉曲線.解: 令設(shè) L 所圍區(qū)域為D,1)由公式知機動目錄上頁下頁返回結(jié)束在D 內(nèi)作圓周2)取逆時針方向, 記 L 和 l 所圍的區(qū)域為, 對區(qū)域應(yīng)用公式,得0(,0)是奇點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考題u中 ( x, y x y2

4、2.1 d, 其利用公式計算L nxL是閉曲線上沿外法線的方向?qū)?shù) .在xxx 4 y 2.計算I, 其中L為任一條不過原點的L簡單正向閉曲線 .分析：二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件定理2.設(shè)D 是單連通域 , 函數(shù)在D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則以下四個條件等價:(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有(2) 對D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分與路徑無關(guān), 只與起止點有關(guān).(3)的全微分,在 D 內(nèi)是某一函數(shù).即(4) 在 D 內(nèi)每一點都有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明 (1)設(shè)線, 則(2)為D 內(nèi)任意兩條由A 到B 的有向分段光滑曲(根據(jù)條件(1)說明: 積分與路徑無關(guān)時,

5、曲線積分可記為定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束證明 (2)在D內(nèi)取定點(3)和任一點B( x, y ), 因曲線積分與路徑無關(guān), 有函數(shù)則同理可證由可微條件知定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束證明 (3)(4)設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得則P, Q 在 D 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而在D內(nèi)每一點 都有定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束證明 (4)(1)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線, 所圍區(qū)域為(如圖) ,公式 , 得利用證畢定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束應(yīng)用:根據(jù)定理2 , 若在某單連通區(qū)域內(nèi)則計算曲線積分時, 可選擇簡單方便的積分路徑;(但要保證可用積分法求d u = P dx + Q dy在域 D 內(nèi)的原

6、函數(shù):及動點則原函數(shù)為取定點或定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束其中L為例6. 求y sin x.的曲線2是某個函數(shù)u (x , y)的全微分,例7. 驗證并求出這個函數(shù).證:設(shè)則。由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x , y)，。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束作用下沿曲線 L :例8. 設(shè)質(zhì)點在力場移動到求力場所作的功W由解:令則有可見, 在不含原點的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束取圓弧思考: 積分路徑是否可以取為什么？注意: 本題只在不含原點的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān) !機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例9. 驗證在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函數(shù) , 并求出它.證: 令則由定理

7、2 可知存在原函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束或機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例10.求下列方程通解.(全微分方程)解法：還原法,曲線積分法,湊微分法.內(nèi)容小結(jié)1.公式2. 等價條件設(shè) P, Q 在單連通區(qū)域 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有在 D 內(nèi)與路徑無關(guān).對 D 內(nèi)任意閉曲線 L 有在 D 內(nèi)有在 D 內(nèi)有3.總結(jié)第二類曲線積分的計算方法.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1. 設(shè)且都取正向, 問下列計算是否正確 ?機動目錄上頁下頁返回結(jié)束提示:2. 設(shè)提示:第四節(jié) 目錄上頁下頁返回結(jié)束從點備用題 1. 設(shè) C 為沿依逆時針的半圓, 計算到點解: 添加輔助線如圖 , 利用原式 =公式 .機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2. 質(zhì)點M 沿著以AB為直徑的半圓, 從 A(1