1、專題118史上最全橢圓圓二級結論大全歡迎下載 X2y2PF1.PF+|PF|=2a2.標準方程一+二=13.汁=eb0)的兩個頂點為A(-a,0),A(a,0)，與y軸平行的直線交橢圓于P,P2時A”a2b2121、211x2y2與a2p2交點的軌跡方程是一-1=1.22x2y2xxyy10-若少0y0)在橢圓矗+厲=1上，則過P0的橢圓的切線方程是苫+盂=1.x2y211若快，y0)在橢圓-+議=1外，則過P0作橢圓的兩條切線切點為P1、P2,則切點弦P1P2的直線方xxyy程是+上=1.a2b2x2y2b2AB是橢圓一+廠=1的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則k-k=-.a2b2OM

2、ABa2x2y2xxyyx2y2若P(x,y)在橢圓+=1內，則被Po所平分的中點弦的方程是1+0=4+A.000a2b2a2b2a2b2x2y2x2y2xxyy若P(x,y)在橢圓一+=1內，則過Po的弦中點的軌跡方程是一+=*+上.000a2b2a2b2a2b212.13.14.TOC o 1-5 h zx2y21111若PQ是橢圓+-=1(ab0)上對中心張直角的弦，則+=+(r=|OPI,r=1OQ|).a2b2r2r2a2b21212x2y2若橢圓一+廠=1(ab0)上中心張直角的弦L所在直線方程為Ax+By=1(AB豐0),則(1)a2b2112：a4A2+b4B2+=A2+B2;

3、(2)L=.a2b2a2A2+b2B2a2-b217給定橢圓C1:b2X2+a2y2=a2b2(ab0),C2:b2X2+a2y2=(E嘰則對C1上任意給a2-b2a2-b2定的點P(x,y)，它的任一直角弦必須經過C上一定點m(x，-y).002a2+b20a2+b20(ii)對C上任一點P(X,y)在C上存在唯一的點M,使得M的任一直角弦都經過P點.2001x2y218.設P(x,y)為橢圓(或圓)C:+=1(a0,.b0)上一點，P1P2為曲線C的動弦，且弦PP1,PP2斜00a2b21212率存在記為ki,k2,則直線PiP2通過定點M(mx0,-叫)(m豐1)的充要條件是J-k2=x

4、2y219.過橢圓一+廠=1(a0,b0)上任一點A(x,y)任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，a2b200b2x則直線BC有定向且k=亠(常數(shù)).BCa2y0 x2y2TOC o 1-5 h z20橢圓一+J=1(ab0)的左右焦點分別為耳，F(xiàn)2，點P為橢圓上任意一點ZFPF二丫，則橢圓的a2b21212yaNb2V焦點三角形的面積為S牛=b2tan2，P(c嚴一b2tan22土Ttan2)x2y221.若P為橢圓一+L=1(ab0)上異于長軸端點的任一點，耳,F2是焦點，ZPFF=a,ZPFF二卩，a2b2121221acaB貝U=tantan一a+c22x2y222.橢圓一+

5、=1(ab0)的焦半徑公式：IMF1=a+ex,1MF1=a一ex(F(c,0),F(c,0)，a2b2102012M(x,y).00 x2y223若橢圓一+廠=1(ab0)的左、右焦點分別為耳、耳，左準線為L,則當a2b2122-1eb0)上任一點，耳，耳為二焦點，A為橢圓內一定點，則a2b2122a-1AFIIPAI+IPFIb0)上存在兩點關于直線1:y=k(x一x0)對稱的充要條件是x0226過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.27過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.x=aco

6、sQ128.P是橢圓b0)上一點，則點P對橢圓兩焦點張直角的充要條件是e2=.Iy=bsinQ1+sm2qx2y2x2y2b229.設A,B為橢圓+=k(k0,k豐1)上兩點，其直線AB與橢圓+-=1相父于P,Q，則AP=BQ.a2b2a2b2的弦中點軌跡方程為a=90.x2y230.在橢圓+=1中，定長為2m(oVmb0)的通徑，定長線段L的兩端點A,B在橢圓上移動，記IABI=l，M(x,y)a2b200a2lc是AB中點，則當lS時，有(x)=(c2=a-b,e=)；當/C2.a2b2(xx)2(yy)233.橢圓+o=1與直線Ax+By+C=0有公共點的充要條件是a2b2A2a2+Bb

7、2(2Ax+By+C).00 x2y234設橢圓一+廠=1(ab0)的兩個焦點為耳、F2,P(異于長軸端點)為橢圓上任意一點，在PF1F2a2b21212sinexc中，記ZFPF,ZPFF=0,ZFFP二丫，則有=一=e.121212sm0+sm丫a35.經過橢圓b2x2+a2y2=a2b2(ab0)的長軸的兩端點A1和A2的切線，與橢圓上任一點的切線相交于P和P，則IPAI-1PA1=b2.121122P、Q為橢圓上兩動點，且OP丄OQ.(1)x2y236.已知橢圓+=1(ab0)，O為坐標原點,a2b211+IOP|2IOQ|211=+;(2)IOPI2+IOQI2的最小值為a2b24a

8、2b2a2+b23)SAOPQ的最小值是a2b2a2+b237.MN是經過橢圓b2x2+a2y2=a2b2(ab0)焦點的任一弦，若AB是經過橢圓中心O且平行于MN的弦，則IAB|2=2aIMNI.38.MN是經過橢圓b2x2+a2y2=a2b2(ab0)焦點的任一弦，若過橢圓中心O的半弦OP丄MN，則2111+=+.aIMNIIOPI2a2b2TOC o 1-5 h zx2y239設橢圓一+=1(ab0),M(m,o)或(o,m)為其對稱軸上除中心，頂點外的任一點，過M引一條a2b2直線與橢圓相交于P、Q兩點，則直線A1PA2Q(A1A2為對稱軸上的兩頂點)的交點N在直線l:x=一(或121

9、,2mb2y=)上.m設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結AP和AQ分別交相應于焦點F的橢圓準線于M、N兩點，則MF丄NF.過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q,A】、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N,則MF丄NF.x2y2設橢圓方程一+】=1,則斜率為k(k#的平行弦的中點必在直線l:y=kx的共軛直線y=kx上，而且a2b2b2kk=a243.設A、B、C、D為橢圓+學=1上四點,AB、CD所在直線的傾斜角分別為x,0，直線AB與CD相a2b2交于P且P不在橢圓上，則|PA|-|PB|PC|-|PDb2cos20

10、+a2sin20b2cos2x+a2sin2xx2y244.已知橢圓一+廠=1(ab0)，點P為其上一點F1,F2為橢圓的焦點，ZFPF的外(內)角平分線a2b21212為l，作F1、F2分別垂直l于R、S，當P跑遍整個橢圓時，R、S形成的軌跡方程是+b2x(x土c)|2).a2y2a2y2+b2(x土cj2設ABC內接于橢圓，且AB為r的直徑，l為AB的共軛直徑所在的直線，l分別交直線AC、BC于E和F,又D為/上一點，則CD與橢圓r相切的充要條件是D為EF的中點.x2y2過橢圓一+廠=1(ab0)的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交xa2b2|PF|e軸于p,貝y

11、=.x2y2b2x47.設)是橢圓一+一=1(ab0)上任一點，過A作一條斜率為一的直線L,又設d是11a2b2a2y1原點到直線L的距離r分別是A到橢圓兩焦點的距離，則匝d=ab.12x2y2已知橢圓一+廠=11a2b2D四點，貝則|AB|=|CD|.x2y2已知橢圓一+=1a2b2a2-b2xb0)ab0)x2y2和一+=九(0hb0)a2b22b20(1)PFPF=(2)S=b2tan121+cos0APFjF22設過橢圓的長軸上一點B(m,o)作直線與橢圓相交于P、Q兩點，A為橢圓長軸的左頂點，連結AP和a-ma2(n-m)2AQ分別交相應于過H點的直線MN：x=n于M，N兩點，則/M

12、BN=90O=a+mb2(n+a)2x2y2L是經過橢圓一+J=1(ab0)長軸頂點A且與長軸垂直的直線，E、F是橢圓兩個焦點，e是a2b2離心率，點PeL，若ZEPF=a，貝ya是銳角且sinae或匕b0)的準線，A、B是橢圓的長軸兩頂點，點PeL，e是離心率，/EPF=a，a2b2abH是L與X軸的交點c是半焦距，則J是銳角且sinae或ab0)的準線，E、F是兩個焦點，H是L與x軸的交點，點PeL，/EPF=a,a2b2b,離心率為e，半焦距為c,則a為銳角且sinae或ab0)，直線L通過其右焦點F2,且與橢圓相交于A、B兩點，將A、B與橢(2a2-b2)2a2圓左焦點耳連結起來，則b

13、2FA-FBb0)的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，/PAB=a,a2b22ab21cosex|ZPBA=0,/BPA=y，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有丨PA1=.a2-c2coS2x2a2b2tanxtan0=1一e2.(3)S=coty.apabb2-a2x2y2設A、B是橢圓一+1=1(ab0)長軸上分別位于橢圓內(異于原點)外部的兩點，且x、xa2b2AB的橫坐標x-x=a2，(1)若過A點引直線與這橢圓相交于P、Q兩點，則ZPBA=/QBA；(2)若過BAB引直線與這橢圓相交于P、Q兩點，則ZPAB+/QAB=180.Ox2y2設A、B是橢圓一+1=1(ab0)長軸上分別位于橢

14、圓內(異于原點)，外部的兩點，(1)若過a2b2A點引直線與這橢圓相交于P、Q兩點，(若BP交橢圓于兩點，則P、Q不關于x軸對稱)，且ZPBA=/QBA，則點A、B的橫坐標x、x滿足x-x=a2；(2)若過B點引直線與這橢圓相交于P、Q兩點，且ABAB/PAB+/QAB=180，則點A、B的橫坐標滿足x-x=a2.ABx2y2設A,A是橢圓一+1=1的長軸的兩個端點，QQ是與AA垂直的弦，則直線AQ與AQ的交點P的a2b2x2y2軌跡是雙曲線一-=1.a2b2x2y260.過橢圓一+1=1(ab0)的左焦點F作互相垂直的兩條弦AB、CD則a2b2|AB|+|CD|b0)兩焦點的距離之比等于(c

15、為半焦距)的動點M的軌跡是姊妹圓a2b2b(x土a)2+y2=b2.x2y2a-c到橢圓+=1(ab0)的長軸兩端點的距離之比等于(c為半焦距)的動點M的軌跡是a2b2b姊妹圓(x土-)2+y2=(-)2.eex2y2a-c63到橢圓一+廠=1(ab0)的兩準線和x軸的交點的距離之比為(c為半焦距)的動點的軌a2b2bab跡是姊妹圓(x)2+y2=()2(e為離心率).e2e2x2y2已知P是橢圓+=1(ab0)上一個動點，A,A是它長軸的兩個端點，且AQ丄AP,AQ丄AP，a2b2x2b2y2則Q點的軌跡方程是一+=1.a2a4橢圓的一條直徑(過中心的弦)的長，為通過一個焦點且與此直徑平行的

16、弦長和長軸之長的比例中項.x2y2b2x66設橢圓一+】=1(ab0)長軸的端點為A,A,P(x,y)是橢圓上的點過P作斜率為一1的直a2b211a2y1線/，過a,A分別作垂直于長軸的直線交/于M,M，則(1)IamIIAM=b2.(2)四邊形MAAM面積的最小值是2ab.x2y2已知橢圓一+=1(ab0)的右準線/與x軸相交于點E，過橢圓右焦點F的直線與橢圓相交于a2b2A、B兩點，點C在右準線I上，且BCIIX軸，則直線AC經過線段EF的中點.(xa)2Y2OA、OB是橢圓+一=1(a0,b0)的兩條互相垂直的弦，O為坐標原點，則(1)直線a2b22ab2AB必經過一個定點(，0).(2

17、)以OA、OB為直徑的兩圓的另一個交點Q的軌跡方程是a2+b2ab2ab2(x)2+Y2=()2(x豐0).a2+b2a2+b2(xa)2y2P(m,N)是橢圓+=1(ab0)上一個定點，PA、PB是互相垂直的弦，則(1)直線ABa2b22ab2+m(a2b2)n(b2a2)必經過一個定點(,).(2)以PA、PB為直徑的兩圓的另一個交點Q的軌跡方a2+b2a2+b2程是ab2+a2mb2na2b4+n2(a2b2)(X)2+(Y)2二(X豐M且Y豐N).a2+b2a2+b2(a2+b2)2如果一個橢圓短半軸長為b，焦點耳、耳到直線L的距離分別為d2，那么(1)dd=b2,且耳、1212121

18、F2在L同側O直線L和橢圓相切.(2)ddb2,且在L同側O直線L和橢圓相離，(3)ddb0)的長軸，N是橢圓上的動點，過N的切線與過A、B的切線交于C、a2b2TOC o 1-5 h zx24y2D兩點，則梯形ABDC的對角線的交點M的軌跡方程是一+=1(Y豐0).a2b2x2y2x2y2設點p(x,Y)為橢圓一+=1(ab0)的內部一定點，AB是橢圓一+=1過定點p(x,Y)00a2b2a2b200a2b2(a2y2+b2x2)的任一弦，當弦AB平行(或重合)于橢圓長軸所在直線時(IPAI-1PBI)=00.當弦maxb2a2b2(a2y2+b2x2)AB垂直于長軸所在直線時，(IPAI-

19、1PBI)=00.mina2橢圓焦三角形中,以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長軸為直徑的圓相內切.橢圓焦三角形的旁切圓必切長軸于非焦頂點同側的長軸端點.75橢圓兩焦點到橢圓焦三角形旁切圓的切線長為定值a+c與a-c.76橢圓焦三角形的非焦頂點到其內切圓的切線長為定值a-c.77.橢圓焦三角形中，內點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點.)78.橢圓焦三角形中，內心將內點與非焦頂點連線段分成定比e.橢圓焦三角形中,半焦距必為內、外點到橢圓中心的比例中項.橢圓焦三角形中,橢圓中心到內點的距離、內點到同側

20、焦點的距離、半焦距及外點到同側焦點的距離成比例.橢圓焦三角形中,半焦距、外點與橢圓中心連線段、內點與同側焦點連線段、外點與同側焦點連線段成比例.橢圓焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足連線必與另一焦半徑所在直線平行.83橢圓焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足的距離為橢圓長半軸的長.84橢圓焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線,垂足就是垂足同側焦半徑為直徑的圓和橢圓長軸為直徑的圓的切點.85.橢圓焦三角形中，非焦頂點的外角平分線與焦半徑、長軸所在直線的夾角的余弦的比為定值e.86橢圓焦三角形中,非焦頂點的法線即為該頂

21、角的內角平分線.87橢圓焦三角形中，非焦頂點的切線即為該頂角的外角平分線.88橢圓焦三角形中，過非焦頂點的切線與橢圓長軸兩端點處的切線相交，則以兩交點為直徑的圓必過兩焦點.x2y2bb已知橢圓一+=1(a0,b0)(包括圓在內)上有一點P，過點P分別作直線y=x及y=x的a2b2aa平行線，與x軸于M,N，與y軸交于R,Q.,O為原點，貝y：(1)IOMI2+1ONI2二2a2；(2)IOQ|2+IORI2二2b2.bb過平面上的P點作直線l:y=x及l(fā):y=x的平行線，分別交x軸于M,N，交y軸于R,Q.(1)1a2ax2y2若IOM|2+IONI2=2a2，則P的軌跡方程是一=1(a0,b

22、0).若IOQI2+IORb=2b2，則P的a2b2x2y2軌跡方程是+-=1(a0,b0).a2b2x2y291.點P為橢圓一+1=1(a0,b0)(包括圓在內)在第一象限的弧上任意一點，過P引x軸、y軸的平a2b2b行線，交y軸、x軸于M,N，交直線y=一x于Q,R，記AOMQ與AONR的面積為S,S，貝y：a12122x2y2則P的軌跡方程是+=1(a0,b0).a2b292點P為第一象限內一點，過P引x軸、y軸的平行線，交y軸、x軸于M,N，交直線y=-x于Q,R,aab記AOMQ與AONR的面積為S,S，已知S+S=-12122橢圓性質92條證明1.橢圓第一定義。2.由定義即可得橢圓

23、標準方程。3.橢圓第二定義。的斜率為k,PF1所在直線*11斜率為k1,PF所在直線1斜率為k。22圖4.如圖，設空,人），切線PT（即1）H/二-P7/7/L厶V/-4/由兩直線夾角公式tan9=得：k-ktana=tanP=k-k1+kkib2xy+0a2yx+c00b2xy1-a2y0b2x2+a2y2+b2xc00ea2xy+a2cy-b2xy00000a2b2+b2cx0c2xy+a2cy000b2(a2+cx)(cya2+cx/00b2cy0k-k21+kk2b2xl+a2y01b2x10-a2y0y0 x-c-0y0 x-c0b2x2+a2y2-b2xc000a2xy-a2cy-

24、b2xy00000a2b2-b2cx0c2xy-a2cy000b2(a2-cx(cya2-cx00b2同理可證其它情況。故切線PT平分點P處的外角。5如圖，延長F1P至A,使PA=PF，則APAF是等腰三角形，AF2中點即為射影電。則OH=竽=a,1222222同理可得OH1=a，所以射影Hi，H2的軌跡是以長軸為直徑的圓除去兩端點。6設P，Q兩點到與焦點對應的準線的距離分別為耳,d2，以PQ中點到準線的距離為d，以PQ為直徑的圓的半徑為r,則d=卩卩FQ=rr，故以pq為直徑的圓與對應準線相離。22ee7.如圖，兩圓圓心距為d=|OM|=PFi28.如圖，由切線長定理：lF1S1+FT=PF

25、1+PF+FF=2a+2c，F(xiàn)S112=FT1而T=a+C=FA，T與A2重合，故旁切圓與X軸切于右頂點，同理可證P在其他位置情況。129.易矢口A(a,0)A(a,0),設P(x,y),P(x,-y)，則X2+匸=1100200a2b2AP:y11y0(x+a),AP:ya+x20yo(x-a)a-x0貝UxPa2=nPx0(、a2ay，二、xx丿00 x2-Pa2b2x20a2y20-b2x20=a2b2-a2y02=1P點的軌跡方程為蘭-蘭=1b2x2a2b20 x2y2x2y210.TP(x,y)在橢圓+=1上+0=1，000a2b2a2b2x2y22x2yyb2x對一+1=1求導得：

26、一+=0y=-0a2b2a2y0a2b2b2b2x切線方程為yy=0(xx丿即0a2y00 xxyyx2y20+匸=4+4=1a2b2a2b211.設P(x,y),P(x,y)，由10得:111222+汕=1,聽a2b2a2因為點P，匚在直線*=上,且同:T+注=1a2b2時滿足方程0+=】，所以PP:a2b21212.設A(x,y),B(x,y),M(x,y)則有打+112200a2x2a2b2x2-x2y2-y212+12=0a2b2nX2)+(y1-y2)(y1+y2)=0a2b2Iyynk=t2=ABx-x12b2(x+x)12a2(y+y)12b2x=0-a2y0b2a2kOMnk-

27、kABOMb2,a2(xx)na2yy一a2y2+b2xx一b2x2=000000b2xTOC o 1-5 h z13.由12可得：yy=00a2y0nb2xx+a2yy=b2x2+a2y20000 xxyyx2y2n+匸=o+e-a2b2a2b2yyyb214.由12可得：e.一=一na2y2a2yy+b2x2b2xx=0 xxxa2000 x2y2xxyynb2x2+a2y2=b2xx+a2yyn+=+000a2b2a2b215.設P(acost,bsint),QCcost,bsint),則k-k=“11-“11=1/.tant-tant=OPOQacostacostb211r2+r2+=

28、-1=r2r212.厶r2r212a221+cos21)+b2(sin21+sin21)(a2cos21+b2sin21)(a2cos21+b2sin21)r11)rtan2ttan21)a2+b2+(COS2tCOS2t丿(COS2tCOS2t丿2+b2tan2ta2+b2tan2ta2(2+tan2t+tan2t)+b2(tan2t+tan2t)+2b2tan2ttan2ta4+a2b2(tan21+tan21)+b4tan21tan21(a2+b2b22a4+a2b22t+tan2tr11)（）ca2+IVtan21+tan21/+2.a2b2丿Lb22+(tan21+tan21)b2)

29、a2+b221+tan21+2a2一11=+a2b216.將直線AB代入橢圓方程中得:(A2a2+B2b2)x2一2Aa2x+a2GB2b2)=0A二4a2B2b2(A2a2+B2b21),AB=2心+B2皿a2+B2b2-1A2a2+B2b2設A(x,y),B(x,y)則x+x112212a2(1B2b2),xx=，yyA2a2+B2b212A2a2+B2b2122Aa2b2(1A2a2)A2a2+B2b2OA丄OBxx+yy=0na2+b2=a2b2CA2+B2)nA2+B2=丄+-1212a2b2|AB|=處空出A2a2+B2b2；,(a2+b2)(A2a2+B2b21)vA2a2+B2

30、b21=A2a2+B2b22、:A2a4+B2b4+a2b2(A2+B2+b2)A2a2+B2b22寸A2a4+B2b4A2a2+B2b217.（I）設橢圓內直角弦AB的方程為:y一m=k（x一n）即y=kx+m一kn。當斜率k存在時，代入橢圓C方程中得：(2k2+b2)x2+2a2k(m一kn)x+a2(m一kn匕一b2=02a2k(m一kn)設A(x,y丿,B(x,y丿得x+x=-xx=12a2(m-kn-b2a2k2+b2112212a2k2+b2則PA-PB=(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y丿01020102=(k2+1)xx-(k2n+ky+x一mk)(x+x)+x2+ycc

31、120L(1200-(m-kn)0(k2+1)(m一kn)2(k2+1)(m-kn丿2-a2(k-2y(m-kn)(a2k2+b?)-2a2k2(m-kn)2+2a2kx(m-kn)+2a2k2y(m-kn)=0na；(m-kn匕一a2(2+1)b2+(a2k2+b2)x2+(a2k2+b2)y2+b2(m-kn匕一2y(m-kn)b2+2a2kx(m-kn)=n(a2k2+b2)(x2+y2)+C2+b2)(m-kn匕一a2b2(2+1)+2(m-kn)(a2kx-b2y)=00000na22n+ky+x一mk)2a2k(m一kn)+C2k2+b2)x2+(a2k2+b2)0002+1)b2

32、+C2k2+b2)x2+(a2k2+b2)y2+(a2k2+b2)(m一kn匕00y-(m-kn)0na2k2C2+y2)+b2C2+y2)+(a2+b2)m2+(a2+b2)k2n2一2kmn(a2+b2)a2b2k2一a2b20000+2ma2kx一2mb2y一2k2na2x+2knb2y=0000a2x2+C2+b2)n2一b2x2一2na2x=0000ma2x+nb2y=mna2+b20(0)b2y2+a2+b2加2一a2y2一2mb2y00=00b2一a2m=ya2+b20a2一b2n=xa2+b20即直線AB過定點a2一b2b2一a2x,y，此點在C2上。當直線斜率不存在時，直線A

33、B也過C2上的定點。Ia2+b20a2+b20丿22（II）由上可知C和C2上點由此建立起一種對應的關系，即證。18必要性：設pp2：y+my0=k（x一mx0）。k存在時代入橢圓方程中得:(a2k2+b2)x2一2a2km(y+kx)x+a2m2(y+kx匕一a2b2=00002a2km(y+kx)=00a2k2+b2設P(x,y),P(x,y)得x+x11122212a2m2(y+kx)2一a2b2xx=0012a2k2+b2(y-y)(y-y)k2xx-k(my+mkx+y)(x+x)+(my+mkx+yk-k=0102=U-20001200012(x-x)(x-x)xx-x(x+x)+

34、x20102120120b2(m+1)2kmxy+k2x2(m-1)+y2(m+1)b2(m+1)a2(m-1)2kmxy+k2x2(m-1)+y2(m+1)a2(m-1)00bjk不存在時，PP:x=mx則y=a2-m2x2,120a0(bYy-*a2-m2x20a0丿.k-k=、a丿一12x2(1-m)20y：學(a2-m2xo)b2x2(m2-1)b2(m+1)ua2u=0=x2(1-m)za2x2(1-m)za2(m-1)00必要性得證。充分性：設P1P2過定點（q,p），則P1P2:y=kx+p-kq。代入橢圓方程得：(a2k2+b2)x2+2a2k(p-kq)x+a2(p-kq匕-

35、a2b2=0設P(x，y),P(x，y_)得x1+x112a2k(p-kq)2xx12a2(p-kq)2-a2b2a2k2+b2則kk12(y-y)(y-y)k2xx+k(p-kq-y)(x=1020=1”(x-x)(x-x)10200120 xx-x(x+x)+x2120120a2k2(p-kq)2-a2b2k2-2a2k2(p-kq)(p-kq-y)+(p-kq-y)2(a2k2+b2)a2(p-kq)z-a2b2+2a2kx(p-kq)+x2Ca2k2+b20b2(p-kq匕-2y(p-kq)+(y2-k2x2)-0/00ya2(p-kq)z+2kx(p-kq)+(k2x2-y2000m

36、+1m-1b2a2(p-kq)2-2y(p-kq)+(y2-k2x2)m+1n000=(p-kq)2+2kx(p-kq)+(k2x2-y2)m-1000k2mx2+q2-mqx-qx+k(mpx000+px-mqy+qy-2pq)+(mpy-py+p2-my2)=00000000(q-x)(q-mx)=0(1)nmpx+px-mqy+qy-2pq=0px(m+1)+qy(1-m)=2pq(2)(p-y)(my+p)=0(3)00mx2+q2-mqx-qx=00000000mpy-py+p2-my2=0000注意到詳1,解得叫q=mxo，代入式成立。驗證k不存在的情況，也得到此結論。故1過定點（

37、mx0，-my0）（m豐1），充分性得證。19.設AB：y-y=k(x-x)即y=kx+y-kx0000y=kx+ykx00 x2y2n=1、a2b22a2k(kxy)nx+x=00n0Ba2k2+b2x=Ba2k2x2a2kyb2x000nBa2k2+b2a2k2x2a2kyb2xb2ya2k2y2b2kx00,000a2k2+b2同理Ca2k2x+2a2kyb2xb2ya2k2y+2b2kx000,000a2k2+b2a2k2+b220.PF2+PF2i-2PFPFcosY=余(2c)2n(PFI14b2kx=&BC4a2ky0定b2x=oa2y0+|PFp=4c2+2PFn4a2=4c2

38、+2|PF|PF|(cosy+1)n|PF|PF|=2b2b2PF2(cosY+1)C2k2+b2)x2+2a2k(ykx)x+a2(ykx)2b2=000L00-yyTOC o 1-5 h z2b2sincos“SAF1PF2=丄|PF|PFIsiny=2siny=22=b2tan-=c|y|212cosy+12cos-y2P2btan2,打=a2b2yaa2tan2=c22c1y(aYb2y、c2b2tan2二P土一Jc2b2tan2丄，土一tan_J_2丿21.由34：ac=1e=sin+sinasiny=sin+sinasin(a+)a+c1+esin+sina+sinysin+sin

39、a+sin(a+)sin+sinasinacossincosasin(1cosa)+sina(1cos)/、/、sin+sina+sinacos+sincosasin(1+cosa)+sina(1+cos)2sincos-2sin2a+2sinacosa-2sin2222222=2sincos-2cos2a+2sinacosa-2cos22.卩卩_aa.卩)smsincossm+cossin2(2222丿a.a卩)cos二cossicos+smcos2(2222丿2a(.asinsin22acoscos22a=tantan222.由第二定義得：MF=、a2+c丿Mf2I=a-ex0PF23.1

40、=d1e=ae2+ePF2=enPF=e-PFna-ex=e(a+ex)nxPF210001-1,1)xg(0,a.0nen21或e1J2eg(0,1).eg0e2+e24.在AAPF中，有PFAFPAPF+AF22222.PF+PAPF+PFAF=2aAF112221122都當且僅當A、P、F三點共線時取等號。225.設橢圓上的點A(x,y),B(x,y)關于l:y=kx+m對稱，MC,y)o112200由12得：k=ABb2x0-a2y01a2ynk=o-kb2x0a2(kx+m)0nx=b2x00a2m住y0=c2圓內，a2m2b2m2+c4k2c4(a2+b2k2)m21c4k2b2m

41、c4k2nm2若a2+b2k2m=kx，則026.由5即可得證。x20二0FP丄FAc41),AB(l):Ax+By+C=0。聯(lián)立C,l得:1a2b22a2b212Aa2CBA2a2+B2b2(A2a2+B2b2)x2+2Aa2Cx+a2C2a2b2B2=0，由韋達定理：x+xA2Aa2CQA2a+BbAPBQ1+善1xxAPBQAPxQ=x+x(x+x)=0。所以AP=BQABPQ20222則x2=a2(1A)(1B),y2=b2(1A)B,m2=a2AB+b2A(1B)029設A=sin2-,B=sin2解得A(=1玉+墨ka2b2丿b2X24+a2b2，代入m2得：m2=(1醫(yī)+監(jiān)ka2

42、b2丿a2y20-b2x2y2+Lka2b2b2x2a2X2y2a2b2丿而XAXP，XB的符號一定相反，故IXa-Xp30.設A(acos9,bsin9),B(acosp,bsinp)，M(x,y)為AB中點。00|AB|2=a2(cos9cosp)z+b2(sin9sinp)z=4a2sin2。+申sin2?申+4b2cos2。+申sin2?申=4m2TOC o 1-5 h z.9+9p79+9pna2sin2sm2+b2cos2sm2=m22222acos9+acosp9+p9pbsin9+bsinp?.9+p9p而x=acoscos,y=bsincos022209+p，bxtana=0

43、-ay0(1-第+人ka2b2丿b2tan2a-+ktan2a+1tan2a+1丿a21侏+ka2b2丿cos2a+b2sin2a)所以定長為2m(0m2cx，此時等號成立時cos2a+B20a+BxOmaxc1nxc0max2cos2-當此l2y=e2x2-mx+a2=ne2x240max-2cx+a20maxl2nex40max1a=x0max當x0maxa212=4(ce-a)21=2(ace)=2b2二當x0max2b2二：.當1O=2b2時x0maxc時，當cos20P=1,0max2即AB垂直于x軸時x0最大。l2e2x2-x2+a2-c2=nx20max0max40max1-e2

44、b2一土4(4b212)nx4b2124b20max考慮到對稱性x0min二0對任意情況均成立。a2lc2ex0max2b2=,AB過焦點,COS2ax0，x0min0maxxc,lO=，AB丄x軸，cos20maxaa+Bx=02c丿ob=J2丿Ib2x2+a2y2=a2b2f)f)32.0nA2a2+B2b2C2|b2(x一x匕+a2(y一y匕=a2b233.00Ax+By+C=0)=00n(A2a2+B2b2)x2+2(a2AC-B2b2x+a2ABy)x+(a2C2+a2B2y2+B2b2x2-a2B2b2+2a2BCy00000000A0nA2a2+B2b2A2x2+B2y2+C2+

45、2ABxy+2ACx+2BCy=(Ax+By+C)20當x=y=0時，即為32：A2a2+B2b2C200FFPFPF34.由正弦定理得二=g=a，所以sinasinpsinysinaFF12sinp+sinyPF+PF1235.設P(acosp,bsinp),則p點處的切線為竺土x+Py1，ab=2cc=一=e。2aa由此可得：yPb(1+cosp),ysinp=(1-cosp).PA-PAsinp1122b2f1-cos2p)=b2sin2p36.(1)同15.2）由15,36（3）：(P12-OQI2OPOP|2+1OQ|2=1+IOI2|OI2IOII(Q22(a2+b2)4S24(a

46、2+b2AOPQa2b2a2b24Sa2=22ab22AQPO2=4a2b2a2-b2P(c0a0(0sb)，pQsa2OP-OQ=a2cos0cos申+b2sin0sin申=0ntan0tan申=一-b22S=AOPQacos0OPxOQ=acos申bsin0bsin申|ab(sin0cos申-sin申cos0)|4S2AOPQa2b2=tan0+tan2弋一2tan0tgn申(tan20+1)(tan29+1)=sin20cos2申+sin2申cos20一2sin0cos0sin申cos申a4TOC o 1-5 h ztan20+bi+2tan20b2a4+tan20+1+1b4tan20

47、a2b2n4S2AOPQ聖一2聖+1b4b2a4a42a2b2+b4(a2+b2+1=nS24a2b2AOPQ4a2b22nS,a2b2aopqa2+b2a2tan20+2tan20b2a2b2Smina2+b2橢圓Pp則MN=PP1+ecos02ab22p2ab21+ecos01一ecos01一e2cos20a2一c2cos20a2sin20+b2cos20a2b2將AB的方程代入橢圓的標準方程中得：”=a220+b2皿0由參數(shù)t的幾何意義可知:AB24a2b2a2sin20+b2cos20=2a|MN|11138作半弦OQ丄0P由37得:Oqi2=2mN由15+Oq2=閒+a211+MNa

48、2b22-a2)=01),直線a2q的方程為y(X-a)，聯(lián)立A1P和A2Q得交點N的橫坐標X22優(yōu)冬+1(a+m)y+2(a+m)y+(m-a)ym)y+(a-m)y1a，1代入化簡：2b2tm2-2b2ta2-2b2m2t+a(a2+b2t2)(y-y)x()(-2ab2mt+ma2+b2t2y-y21(a2+b2t2)(y-y)-2ab2t(a2+b2t2)(y-y)-2ab2t-21-a2am所以交點一定在直線x=上。同理可證M在y軸上的情況。m引理(張角定理)：A,C,B三點按順序排列在一條直線上。直線外一點P對AC的張角為a對CB的張角為卩。則：sin(a+P)sinasinPPC

49、PAPB40.如圖，A為左頂點時，設ZPFH=0,ZMFH申，則ZAFP兀-0,ZPFM=0-申a2b2b2pFHc,FMccaeePecos申對F-APM由張角定理：+FMFAsinG-q）sinG-0）sin（0-Q）FPnsin申+esinQcos0=esin0cosQ+sin（0一申）一esin（0sinQ=sin（0一申）00兀.Q=0Q即FM平分ZPFH，同理FN平分ZQFH。：.ZMFN二90即MF丄NFo當A為右頂點時，由39可知左頂點片與P、M；Q、N分別共線，于是回到上一種情況。41.如圖，設ZPFA=0,ZMFA=Q，則ZAFP=兀一0,ZPFM=0-Q,ZAFQ=兀一0

50、2212對F-QA2M和F-A1PM由張角定理sinG_Q）sinsin（0-Q）sin（兀-0+Q）sinsinQ=+,=+FPFMFAFAFMFQ12,-sinQsinQsin（0-Q）sin（0-Q）.（c）兩式相減并化簡得：+=+nsinQ=sin（0-q）FPFQFAFA00兀.Q=0-Q即FM平分上PFA，212同理FN平分/。聲。.MFN=90即MF丄NF42由12即可證得。x=x+1cos卩0.R，將AB的方程代入橢圓得:y=y+1sinp00（b2cos2a+a2sin2a）t2+2（2xcosa+a2ysina）t+C2x2043.設P（x0,yo），AB：x=x+1cos

51、a0.，CD：k）,則當y2=（m+k）（m一k）=m2一k2時，ZAPB最大，其正弦值為一。ma2ab52.k=c,m=a*.sinae，當且僅當PH=b時取等號。53.k=a,m=*.sinae,當且僅當PH=時取等號。cc54.k=c,m=sinae2，當且僅當PH=：a2+c2時取等號。cc55.設ZAF2x=0,17卜FB=Y2aP1一ecos0丿=4a2+P(P一4a)1一e2cos20p(p-4a)0co20T|FA|FBJ.當0=0時，(FA|-|FB|)=b21min當0=90時，(|fiA|-|訶max(2a2-b2)a2(2.b2|FA|-FBa2Ix=tcosa-a56

52、.(1)設AP:Iy=tsina代入橢圓方程得：Cb2cos2a+a2sin2a)t2=2ab2tcosa/ap=主02ab2cosa2ab2cosa，AP=b2cos2a+a2sin2aa2一c2cos2a(2)設P(x,y)則tanatanP=y0=1e200a2一x2a203)S=1PAABsina=2a2b2sinacosa2a2b2tana2a2一c2cos2aa2tan2a+b2由(2)：b2na+/n(a+P)=a2na=a2b21a22a-b=一oync2natac2natY=t2ab2a2b2cotY=2a2b2cotyb2一a257.由58可證。b22-a2)58.(1)易

53、知PQ的斜率為0和斜率不存在時，對任意x軸上的點A都成立。設PQ:x=ty+m,a(m,0)代入橢圓方程得：C2+b2t2)y2+2b2mty+b2(m2一a2)=0，則y+y=-一yy12a2-bt2212若ZPBA=ZQBA，則k+k=0n1+2=0ny(ty+m一x)+y(ty+m一x)=0BQBPx一xx一x12B21B1B2B()()2b2t(m2-a2)2b2mt(m-x)n2tyy+lm-xy+y)=0n12B12a2+b2t2匚=0n2b2t(m2-a2)-2b2mt(m-x)=0a2+b2t2Bnm2t-a2t-m2+mtx=0nxBBa2a2=nx-x=m-=a2mABm2

54、)作P關于x軸的對稱點P，由1)即證。b259.同9。p60.設橢圓p=1-ecos*accos9則AB|+CDb2=+a-ccos9b2+a-ccos9+V2丿b2accos(申+兀)b2+1_3kAaccos9+V2丿b2b28ab2C2+b2)b2b2+a-ccos9a+ccos9a-csin9a+csin94a2b2+c4sin2298ab2a2+b28ab22(a2+b2)AB+CD0,k豐1),PB則P點的軌跡為一個圓，圓心坐標為、m,0，圓的半徑為丿2kmk2-1F三個題的比值k均為千代入上述公式得：圓心坐標為二,0，圓的半徑為moc62.m=a，圓心坐標為f纟,0丿，圓的半徑為

55、一。軌跡方程是姊妹圓1a2+y2=rbVe丿eVe丿Ve丿圓心坐標為(+a,0),圓的半徑為b。軌跡方程是姊妹圓(x土a)2+y2=b2。61.m=c，2a263.m=c。軌跡方程是姊妹圓，圓心坐標為=,0，圓的半徑為1a2rbx一+y2=Ve2丿Ve2丿264.設P(acos*,bsin*),Q(x,y),A(-a,0),A(a,0)由AP-AQ=AP-AQ=0 x2b2y2消去參數(shù)P得Q點的軌跡方程：一+=1a2a465.同37。66.（1）同35（2）由基本不等式|AM|+AM2b，則梯形MAAM面積的最小值為-2a-2b=2ab。2AM-BC67設AC交x軸于M,AD丄l于D。由橢圓第

56、二定義:FM=AC=AM-BC=AF-BC=e=1EM=CMAD=CMAD=BFAD=e=ACAC過EF的中點。x2y268.（1）由17可知當橢圓方程為一+=1時,a2b2AB過定點/a2b2、a,0、a2+b2丿。當橢圓方程變?yōu)樯峡?蘭=1a2b2時，橢圓向右平移了a個單位，定點也應向右平移了a個單位，故此時AB過定點a2-b2a+a,0即丿2ab2Ia2+b2,0J（2）由69（2）P為原點，即m=n=0時Q點的軌跡方程是ab2xa2+b2J+y2=aba2+b丿（x豐0）。x2y269.（1）由17可知當橢圓方程為一+廠=1時，AB過定點a2b2a2b2()b2a2、ma丿,n、a2+

57、b2a2+b2丿。當橢圓方程變?yōu)樯峡?蘭=1a2b2時，橢圓向右平移了a個單位，定點也應向右平移了a個單位，故此時AB過定點a2b2（）b2a2）xma丿+a,n即、a2+b2a2+b2丿2ab2+m(a2b2)n(b2a2)a2+b2a2+b2丿（2）先證橢圓中心在原點的情況。橢圓方程為：+=1，P（x,y），AB的斜率為k=tan9。a2b200由17fa2b2b2a2)b2a2fa2b2)AB過定點x,y，設ab:yy=kxx(a2+b20a2+b20丿a2+b20(a2+b20丿，PQ：1)：y-y01(x-x)0兩xQb2(1-k2)xQ2+1)C2+b2)kyQ_/22飩、J23-

58、1)yo、b2y(k2+1)(a2+b2)(k2+1)(a2+b2)a2+b2a2x0a2+b22a2ytan92a2x貝yx-二Qa2+b2b2(1-k2)x2a2ytan9b2x(1-tan29)+b2)(k2+1)(a2+b2)(tan29+1)(a2+b2)(tan29+1)(a2+b22a2ysin9cos9b2x(cos29-sin29)a2yb2x0+0二ism29+cos29a2+b2a2+b2a2+b2a2+b2y-VQa2+b22b2xtan9a2y(tan29-1)1)(a2+b2)(tan29+1)(a2+b2)a2(k2-1)y+b2)(k2+1)(a2+b2)tta

59、n29+12b2“血9cos9+a2人扁29曲9)二工sin29-_cos29a2+b2a2+b2a2+b2a2+b2a2xa2+b2aVsin29+b2xcos29b2xsin29-29b2+yQ-a2y2a4y20a2+y2b4Ca2+b2(a2-b2(x-a)2y2當橢圓方程變?yōu)?1=1時，橢圓向右平移了a個單位，圓心也應向右平移了a個單位，而半徑不a2b2變。故此時圓心的坐標為/a2(m-b2n+a,a2+b2a2+bb2n聲7，半徑的平方仍為a2Q點的軌跡方程為+yQb2na2b4+y2C2b2(、-_(0)(x豐m且y豐n丿。a2+b2270.設L:Ax+By+C=0,則耳二CAc|”_|C+Ac|2A2+B2A2+B2C2A2C2dd二12A2+B2仁二b2O直線L和橢圓相切，且I35：sinq(1+cos申),sinq(1cos申)sin甲yMyCyDplb(1cosq)bsiyDyC將L代入橢圓方