1、中考最值問題研究考點掃描最值問題是中考數(shù)學熱點，也是難點，主要體現(xiàn)轉化化歸、數(shù)形結合等思想。其考題大致以四類知識為背景構建，即：以“軸對稱”為背景、以“圓”為背景、以“立體圖形”為背景、以“二次函數(shù)”為背景。主要依據“兩點之間，線段最短”、“垂線段最短”、“平方非負性”等，本專題擬對各種類型及其解決策略進行集中研討。題型研究一、以“軸對稱”為背景問題模型問題表述解決辦法解決原理和最小已知直線l和異側兩點A、B，在直線l上找一點P，使PA+PB最小連接AB，與直線l相交于點P，則點P就是所要作的點兩點之間，線段最短已知直線l和同側兩點A、B，在直線l上找一點P，使PA+PB最小作點B關于直線l的

2、對稱點B，連接AB，交直線l于點P，則點P就是所要作的點已知兩相交直線l1、l2及內部一點P，在兩直線上分別找點M、N，使PMN的周長最小作點P分別關于兩直線l1、l2的對稱點P2、P1，連接P1P2，分別交直線l1、l2于點N、M，則M、N就是所要作的點已知兩直線l1、l2及內部兩點A、B，在兩直線上分別找點M、N，使四邊形AMNB的周長最小作點A關于直線l2的對稱點A，作點B關于直線l1的對稱點B，連接A B，分別交兩直線l1、l2于點N、M，則M、N就是所要作的點|差|最大已知直線l和同側兩點A、B，在直線l上找一點P，使|PA-PB|最大連接AB并延長，交直線l于點P，則點P就是所求的

3、點兩點之間，線段最短已知直線l和異側兩點A、B，在直線l上找一點P，使|PA-PB|最大作點B關于直線l的對稱點B，連接AB并延長，交直線l于點P，點P就是所求的點兩點之間，線段最短【例1】如圖，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線經過A，B兩點.（1）求拋物線的解析式；（2）點P是第一象限拋物線上的一點，連接PA，PB，PO，若POA的面積是POB面積的倍.求點P的坐標；點Q為拋物線對稱軸上一點，求QP+QA的最小值.【變式訓練1】如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例（為常數(shù)，且）的圖象交于，兩點.（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）在軸上找一點，使的值最小，求滿足條件的點的坐標及此時的面積.二

4、、以“圓”為背景（一）利用“直徑是圓中最長的弦”求線段的最值【例2】已知：如圖，O中，直徑AB=5，在它的不同側有定點C和動點P，BC：CA=4：3，點P在劣弧AB上運動，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q.（1）求tanP的值；（2）當點P運動到的中點時，求CQ的長；（3）當點P運動到什么位置時，CQ取到最大值?求此時CQ的長.【變式訓練2】）如圖，AB為O的弦，AB=6，點C是O上的一個動點，且ACB=45，若點M、N分別是AB、BC的中點，則MN長的最大值是（ ）A.B.C. D.（二）利用“垂線段最短”求線段的最值【例3】已知拋物線具有如下性質：該拋物線上任意一點到定點F（0，

5、2）的距離與到軸的距離始終相等.如圖，點M的坐標為，P是拋物線上一個動點，則PMF周長的最小值是_.【變式訓練3】如圖，在O中，弦AB1，點C在AB上移動，連結OC，過點C作CDOC交O于點D，則CD的最大值為A. 3 B. 4 C.5 D.6（三）利用“圓上一動點與圓外一定點距離最值”求線段的最值；利用“圓上一動點與圓外一定直線距離的最值”求線段的最值問題模型問題表述解決辦法解決原理已知圓O和圓O外一點A，在圓O上找一點P，使點P到點A的距離最大或最小過圓心O和點A作直線，交圓O于點P1、P2，則P1A就是最小值，P2A就是最大值垂線段最短已知圓O和圓O外一直線l，在圓O上找一點P，使點P到

6、直線l的距離最大或最小過圓心O作直線l的垂線，交圓O于點P1、P2，則點P1到直線l的距離就是最大值，而點P2到直線l的距離就是最小值垂線段最短【例4】如圖，M的半徑為2，圓心M的坐標為（3，4），點P是M上的任意一點，PAPB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關于原點O對稱，則AB的最小值為（）A3 B4 C6 D8【變式訓練4】如圖，已知直線與x、y軸分別交于A、B兩點，點P是以C（0，1）為圓心，半徑為1的圓上一動點，連接PA、PB，則PAB面積的最大值是_.三、以“立體圖形”為背景問題模型：立體圖形（正方體、長方體、圓柱、圓錐）表面上兩點間的最短距離。問題表述：一動物

7、從立體圖形表面上某一點沿表面爬到表面上另一點，求爬行的最短距離。解決辦法：將立體圖形展開成平面圖形，利用“兩點之間，線段最短”先畫出最短線段，再利用勾股定理等知識求最短線段的長度。解決原理：兩點之間，線段最短?！纠?】如圖，一圓柱體底面周長為4，母線長AB=3，若一只螞蟻從點A繞側面一周爬向點B，則螞蟻爬行的最短路徑為_【變式訓練5】如圖，有一底面半徑為2，高為的圓錐，A、B在同一母線上，B為AO的中點，試求以A為起點，以B為終點且繞圓錐側面一周的最短路線長為_.四、以“二次函數(shù)”為背景問題模型：求線段長度或圖形面積的最值.解決辦法：設變量，表示出線段的長度或圖形的面積，建立二次函數(shù)關系式，然后利用配方法或公式法求最值.解決原理：非負性.【例6】某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施經調查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件.（1）商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？（2）商家要想每天銷售利潤最大，應將每件襯衫降價多少元？最大銷售利潤是多少？【變式訓練6】已知拋物線經過A、B、C三