1、第29次課教學(xué)內(nèi)容（或課題）: 1.譜的概念目的要求：掌握譜的概念.教學(xué)過程：第九章 巴拿赫空間中的基木定理木章將介紹Banach空間中的四介著呂定理：Tlhn-Ba_n自 狂函廷拓定理一致有界性定理，逆篦子定理和閉圖象定理，這些 定理充分抱示r泛函分析的威力及其廣櫃應(yīng)用.第卜章線性算子的譜譜論是泛嗨分析的更姜分支之一 從尊線性代數(shù)黑課程中可 知：有限維空聞上的線性算了由它的將征值和最小多項(xiàng)式完全確 定”將這一毎論誰廣到衣界銭性算子的情況研究它的結(jié)構(gòu)，就是 算子的譜理論.時(shí)征值的概念將相應(yīng)地?cái)U(kuò)展為J譜二由于特征值 和逆算了有密切羌系、譜淪也大量涉及逆算了倘問題.將算子求 逆應(yīng)用到徴分算子和規(guī)分

2、算子上.推曲了微分方霍和積分方程的 發(fā)展.S K譜的攪念個(gè)未知數(shù)的線性方程組：L I!82磯十 * + (F-仍是一對(duì)一的但值域不充滿全空間.(3 (T-AI)X到X上的一對(duì)一霧于,但(丁一航廣不是有 界的./3)兩類譜點(diǎn)合稱為屮的連續(xù)譜，記為sg由逆算子定理可知b當(dāng)X是Bru臥h空間時(shí),3不會(huì)出現(xiàn)這 時(shí)鞏巧只有,薜弛下面舉一些例子.例1設(shè)0是有限維空閭曠上線性算子，則掙（尸）=礙（T）. 氐為E!i是Banach空間，（3不會(huì)發(fā)生.現(xiàn)在只須證，如果人 不是轉(zhuǎn)征值.T-AI的值域一定充滿X,HH（2）也不會(huì)發(fā)生.設(shè)如 為，呑是礦的基，可以證明（S】,（丁一“）珂，（T-JZ）xfl 也是線性無

3、關(guān)的.事實(shí)上，若存在朮個(gè)復(fù)數(shù)入4宀幾使 , _ _ 丈5仟一小九宀0,弊一加）（耳口厲弊一加）（耳口厲由于（T 期）是一對(duì)一的，即知乏曲=0這就證明了 （護(hù)一# =扎磯是線性無關(guān)的*所以$pan（T一刃）巧，：（護(hù)一兀）姑=酊,即，一加是映JT到上”的.例2 （單向移位算子）設(shè)X =巴其中元素鼻為=（1誌計(jì)，”人線性第子心定義為d=（i,鼻r爲(wèi)）=（0,乩弘s爲(wèi),片我們稱用為單向移位算子.這時(shí)可證兀（82臥先看幾=0的惜眩 這時(shí)由Sjf= 乩鼻,，乩 T = 6立 即可曲I氛=產(chǎn)r皐* o.若久2V0,從（為一貝）為=0及 （呂一腫）歯，爲(wèi)為*=（6 I總，,乩1（挺iM騒*）=（-越口 5

4、久蟲、為一幾算1為一久乩“可知斯二雖= = &二目葉=6這就證明了 8） = 0r不難看出：算了 S価值域不余充満現(xiàn)氐為皿的第個(gè)坐標(biāo) 都是0,故Og（g例3 設(shè)滬是嚴(yán)中只有有限個(gè)坐標(biāo)不為D的數(shù)列全體.線 性算了定義如F:對(duì)“（5険,，珀斥巴令護(hù)*仙占宀辛嚴(yán)）.顯 然曠存在,B.一】於二3, 2%，叫.L 的定乂域足iT作為八上的線性算孑是無界的.事尖L, 曠0P |廠迥列廠也| s i-i= 11（0, 0, ,#t00,士m其中歸gsm 因此o是護(hù)的第三類譜點(diǎn).科亠L(fēng)個(gè)也例4 取世一匸皿上，設(shè)笊頭紳二扛3）仇（0,且仏仏-1人在遲屮線性無關(guān)”定丈算子/如下：01 巧（小=K（s,t）x（l）

5、dt求丸的特社值應(yīng)満足的家fK冷一Ac*氏倉味著肚-丈0 疏人=6（2）& 1當(dāng)久時(shí)，上說有非零解的充要乗件尼存在工（r）花e但f g*（才）龍（t）此=0,L 2* - .當(dāng)容易看出（2）武前任何解遲（時(shí)必可表示為下列形 戎鞏庁;-瓦血九（$）將它代入（2）式卩得久工x斤一?。ㄙE加（1必a耳=1t=l L 4-由于 m、幾是線性無關(guān)的，即可知加士 = i仏（3）J m這說明，幾是算子蟲的特征值的充要條件超存在（00,能 滿足（3）式*2.有界線性算子譜的基本性質(zhì)%無限維空間上銭性有界算子的譜已不再限于特征值，情況較 有限維情形要復(fù)雜得多，且是還是有一些基本性質(zhì)可以得出.這 一節(jié)諼及的空間X均

6、指Banach空間.定理1 設(shè)TC列叫1,則氏機(jī)孑）.這時(shí)17 有定巽在全空間上的有界逆算子：（一巧7 遠(yuǎn)嚴(yán)=十丁+嚇+”十嚴(yán)+.4 = 0這里的簸數(shù)按必（X-X）中范數(shù)收鉞證 因?yàn)閲?yán)広図嚴(yán)，故禮:W図匕 但jr河人故氏巧非空.并由此知 a(T)CA|mJS-1也足線性無關(guān)苗，定義（4）（ t）= KO甲遼兄咅,會(huì)p a則/是全連續(xù)算1證由丁-（）（0=工仇（）扎2）爭（町總二土 |丿貿(mào)叮響&）能t（O,i2 j T我門可知算子4的（it威是由 仙所張成的有限維子空間F 任給/. b中冷界集億 徉婁看出必是有界算子*故切 是F中冇界St E1F是肓限嬾空間，它的有界集都是相對(duì)緊的，板 為相對(duì)緊

7、弟，證畢.定理1設(shè)昭“是工到F上的全謹(jǐn)續(xù)JT子列，7 Banach 空間，而且T-Tn-.則T也懸全連續(xù)算手.證陰 設(shè)訃二I是X中有界序列，我們用對(duì)角線方法在 兀二中選取牧斂子列.因?yàn)榍墒侨B續(xù)的*故存在的孑列盤卄總便 何應(yīng)、山苕收鉉又因T,仝連鏘存在岀屏躺的子序列 仙胡訂使僅阿，話鮎畋敘.如此繪續(xù)下去，可從%山1中選 岀往屛芯便人芻X“收徴.我們選取對(duì)角線序列 3亦:;它對(duì)任盤的幾，總右凹”網(wǎng)八羸】收鉉3亦以議I是有界序？IL設(shè)臉卯冬。對(duì)一切自然敘柳成立.任 給心迪存在充分大的兒使口v碁 園為迅J萄 3 gfs時(shí)收斂，故存左Ar：1當(dāng)趴丫二耳J時(shí)憶S FgV；這樣一來.g g 是gg 的收斂

8、子列.事實(shí)上l%”p M 10%才1 丁西如+ |TrF+ |TrF,p-T?J+ |皿吋MIT巧.葉心制+彳十図2V|%_- ss t s:+ -”C-.f3c3 3c由于F是Banach空皿可知如詁鮎 是收斂子列.證畢. 例4 設(shè)KZMO J?是矩形邑叮風(fēng)卬“.在 汽譏上,作算F（K 一忙（頭古）旅巧必，皆曲飛 .則K是全連絨算子.我門先證人是有界卿子.這由下式可知叢&)!.=( SR I沁) 口用(縱or砒心y.W0由于 K($,t)L2(R), fr(| K(&, )*曲d$V8*_ yn I zr這證明了蟲的有界性.現(xiàn)応莊是全連續(xù)的*設(shè)23是川乙4中的完全正交基則以z 是LR）的完全

9、止交基”止交性是顯然的，現(xiàn)檢疊它的完全性段 有f（HS f使得對(duì)i切的込m成立I/固定叭由富比足定迪知J/ M ）（ | / （霜）日決Q必）必=乩由%（的完全性:知j y（s,t）s2）馬=0,氛氐再用花2的完全性，即知代齊。二0乩匕，這就還明了 迄丄刊町（町的完全性.于是k（“可按這組基展開：k（$n）=藝宀略） 也榊1pf打o 2J工宀佔(zhàn)）,m= 1則由 心心花）為核生成的稅分算子,是全連續(xù)的（見 側(cè)4）.KKKK爲(wèi)應(yīng)：蟲（曲）一心/舟“血誠0,可知圧是全連莓算r列/屮的扱，戻，由定理丄知，莊是全連續(xù)的.4自侔全連續(xù)算子的譜論這一節(jié)：我們將證網(wǎng)下列定理定理1 （DNIilbeB 在可分的

10、JIHbert空間甘上的任何全 連續(xù)的自伴算子一定具有以特征向組成的憲全直交系，證明這一定理將分若干步驟.我們用八亍引理來完成.弓【理1如果也1 = 1/是自伴算子:則.W 長 |并且當(dāng)且僅當(dāng)*是才的特征向（栢應(yīng)干舞征值2 Mea）時(shí)，上 述不算式才成立霹武.證明 由Cauchy不導(dǎo)式知II 4屮（Aer缶）（趴勺壯|間=|屮司 上述式予等式咸立的充要乗件足且為的數(shù)量倍數(shù)：代一叭 曲中2可執(zhí)曲下式定出0 血 | 上一（扇齊 Ae） = （j42ep e） （e, 州凸九證畢.我捫引入極次向蜃的概念.A是有界線性算子，如果存?粒 點(diǎn)得屜匸I町則稱e是4的疊龍醛一般算予不一定存 在極大向量.但我們

11、有引理2 全連續(xù)的自伴球子具有極大向由的定義可知：存左一列%二1,2,而如満足II壯J刊占II 因?yàn)樯绞侨B續(xù)缸 G4g J中必有收 毀f列.不妨認(rèn)対仁牡心就是收斂的.設(shè)貝入沖.可以斷言 就是要找的極大向量、其中M hl - Mil,丈際由于而【箸I。故卜（等）由引理1,ii彳獸）iu耕心訓(xùn)去訥畑）1=臥證電引理3 設(shè)氐是自伴算子的極大向，則耐是屮的特征 向（具有特征值|同）證由引理丄知且旳是蟲*的特征向量特征值為 心應(yīng)疔二閭暫.證裝引理4 若屮育特徑值化 則算子理有特征值”或一“ 證將屮口用。改寫為（M出刀.4 +眾門列二0.如（月+旳）旳二 則它是4的以朋為特征值的特征向量.如來 “十腫打

12、創(chuàng)一則一的是d的特征值旳是楣應(yīng)的特征向量. 證畢.推論1設(shè)4為全連繽自憚算子ao-4m-Mii中必有一 為蟲的特征值.以下再證叨丄具有用特花向量構(gòu)成的完全直濾引理5自伴算子的相應(yīng)于不同特征值的特征向呈矍彼此 直交的.證 設(shè)壯-加，%-刈、4卜由于片為口伴算子所以幾H. 勻?yàn)閷?shí)數(shù)*因此我們苛0=（九冊一3勿）= （lp3, | Aj | d,我們有口釦一血廳比|入務(wù)亠入砒二|入|吟擾川：觀.就范玄交系&當(dāng)然是有界東.如果它是無隈康的話，由于 是全連續(xù)的，則必可選予列2為包含收斂于列.但兀.中元素彼此距離大于1也這就導(dǎo)致矛盾.因而禺是有 限集證畢.推論2全連續(xù)尊子蟲的相應(yīng)于非琴特征值A(chǔ)的就范直交特

13、 征向量至多為有限介.綜合引理5和引理6可得重要結(jié)果.對(duì)仝連續(xù)的白伴算子來 說苓我們已躋可口描繪出它旳譜集的牯征.首先，自怦算子的特征 值都是實(shí)凱 事實(shí)上,若血一亦則骯（如山迅他血）Y（気 其次，彼此不同的非零特征值至裝為可列個(gè)*這是因?yàn)楸?此不同侍征值相應(yīng)的特衽向量後此直空（引理5 ）?再由引理6知 大于呂的特征值個(gè)數(shù)為右隕個(gè)，令 船7 8即知非零特征值總數(shù)至 r&多為可槪個(gè).最后，特征值徐了原點(diǎn)外不可能有扱限點(diǎn).我門不 妨將仝連續(xù)&伴算子衛(wèi)的非零特征值排戲一列（按絕對(duì)值的大小） 若冇無限套個(gè)不同的值，則兀-吃現(xiàn)在我門卩刃91H寺征子空間的概念設(shè)丄是4的特征值所有 口貝為特征値的幷征向雖駅姿

14、成的子空屁做為對(duì)應(yīng)于A的特粧子 空問.全連姣算了的待征子空間是冇限妊的見引理6的推論）.這梓，我們可漢巴全連鏤自伴算子的待征值垂新排列，使得每 一個(gè)特征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)就范附特征向量其方法是將對(duì)應(yīng)氐個(gè)持 征向量的特征備重復(fù)出現(xiàn)用次.我們不妨仍然按絕對(duì)值的大小 排，記為這里的軒可以鐵此相同相同的個(gè)數(shù)等十該特征值對(duì)應(yīng)的特征7 空間的維數(shù).其相賤筍持征旬量為s g曲,滬卄*這逍待征向童是彼北直交的我們不妨認(rèn)芮它們都已就范優(yōu).因 而冷J構(gòu)成一個(gè)就范直交系，訂所菲成的閉子空間記為4下 面我們都這樺排列S和譏我們說H的子空間腫是A的不變子空阿是摧對(duì)吟.總有注甌丄是貝的不變予空亂事實(shí)匕對(duì)茫厶存在4 工V乜很皤,

15、ffi射廠口；譏叭一曲：忑JCRfc=J故侏E.弓I理7 設(shè)/昱自伴算子/是&的不變子空間，則圧的正 交補(bǔ)空間廠也是4的不變子空間.進(jìn) 設(shè)農(nóng)刃：即對(duì)任何的慮舊氣 ZW 伯鬼仏沏） 血）=6這說明羽 和M 6：交即 削EF： 證畢.引理8 設(shè)R是Hilbeu空間，是全連續(xù)自拌算子，對(duì)任何 仁圧可寫成護(hù)十八SA -1這里g g 舁的特征向量【相應(yīng)的特征直非零人而且有4護(hù) =0,證 丿拘與非零特征值桐應(yīng)的特征向量構(gòu)成就范直交系它所悵成的丁空間為匕 作丿的止交補(bǔ)空閘M.由引理是 貝的不變子空間*我們把V限制在H上若察，得到M上的仝連續(xù) 自伴算尹去.由推論J M訓(xùn)裁一以訓(xùn)中必有一個(gè)為山”的特8E 直，不

16、妨設(shè)為M訪（對(duì)一W訂疋明完全糞似）,于是存血皿中單位 向量% ffi 4申一|； |r，但由丁總式M,故即也是月的栢應(yīng)于特征值岸制的特征向撬.于是2胡必須等 于零.事實(shí)上，如果卜制不為零，那末由兀的作為必有冋,但 L 正交，必碩罰是零向量，這與5是特向量不為零矛盾. 由上述證明知4限制在子空間似上是零算子】仏一0,也就呈說, 對(duì)1切熄址.41 0現(xiàn)在對(duì)歸人作分解z-t -rF其中*厶護(hù)wr因乙中 就范直交系9J是完全的.故公一工爲(wèi)貯廠廠巴1-0石“-6證畢.現(xiàn)在我門來完成H詆屮 定11的證明.定理1的證明 對(duì)可分Hilbert空間丹上的全逢絨自伴算子A g,:S,趙相應(yīng)于非零待征惟的所有特征向

17、址它們張成兀其正交補(bǔ)空間是肚固丹可分、附亦可分,其中有基乳 U 舍仁.它們也是特征向量，相應(yīng)于特征值這胳特征向 和（叫合起來就構(gòu)戰(zhàn)的完全克交基.證匕扎到現(xiàn)在力止.我們c對(duì)仝連純自件算f的特征誼作r完整的 敘述+它是育限維空同匕自伴算r的竺揆推廣.這類算有實(shí)直 的特征直,其數(shù)目至多対叮數(shù)，如呆走無限多牛u它們不能有非零 的極阪點(diǎn)，只能以門為概限點(diǎn)*非零特征值對(duì)應(yīng)的特征了空間只 能是有限維的.現(xiàn)在我們要問：仝連紙白伴算子是否還有不是粹 征值的譜點(diǎn)r我們右下述的定理.定理2 上的全連續(xù)自俘算子負(fù)的非零諧點(diǎn)都是特征值. 若tfftS限維空間，那么oe（j-u）.證（1若已是有限維空問，顯然/只有實(shí)粹征

18、（ft.4）若日是無限維空冋則0_定是譜點(diǎn)：事實(shí)上* 若o是蟲的正則點(diǎn)，那么a-存在且是宦義在全空間的有界第子. 由于，對(duì)囚中的任何有界點(diǎn)列j 仍 為有界點(diǎn)列，因?yàn)樨愂侨B頊的“才）爲(wèi)=皿” J 將有 收飯了列*但是”是無限維的，根諸：例：同拌討論，知中 就范逋龍系中不可雄選出收斂子列.這就導(dǎo)致丁矛盾.所以 （這里只用/是全連續(xù)的，如舉還假定片是自捧的，必 是掙征值，這里不給證叨了 J 若人不是恃征憾“六0.則久已7（占.由譜集蟲4）的定 文知匚若人不是特征值、可能屬干譜的分英中的（2）X3）兩案譜點(diǎn)* 從逆算子定雀知，不會(huì)有（約類譜點(diǎn)+我們只須證人不是遼）舉 譜點(diǎn)”期（且一肋）的悄城一定充滿整個(gè)宇間&.現(xiàn)在任取劭WH,由 引理8,知尸工w”自汕dj； i氏-1其中是呂的相應(yīng)于非零特征值“的特征向量I細(xì)仁-Q 我們 耍玻出圧乩使丫即錄 現(xiàn)在設(shè)袪求出下式中的昌和工吉心才才SAxff 0,(A kl )X=：皐(入-7.)1 加,由直交展開的唯一性定理知八-討 鑫（入久）二帕 即 克一由于入沒有非零極限點(diǎn)牙| （s）-/5）K（s、爭（t）皿,C）J a其中f（s）, KQsti）是已知的,爲(wèi)婦,師77_尺（“.町”茨