1、第一學(xué)期高二年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】集合，,所以.故選C.2. “”是“”的（ ）A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由解得x2，或x2“是“ “成立的充分不必要條件。故選：B.3. 函數(shù)的最大值是（ ）A. -1 B. 1 C. 6 D. 7【答案】B【解析】根據(jù)題意得：，所以.又，為減函數(shù)，為增函數(shù)，所以函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)取得最大值1.故選B.4. 已知

2、雙曲線的中心為原點(diǎn)，是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，是雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】雙曲線的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)(3,0)是雙曲線的個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)雙曲線方程為，a0，是雙曲線的一條漸近線，解得a2=4，雙曲線方程為.故選D.5. 若直線的方向向量為，平面的法向量為，則可能使的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】直線的方向向量為，平面的法向量為，則使，只需即可.四個(gè)選項(xiàng)中，只有D，滿足.故選D.6. 已知為拋物線上一點(diǎn)，則到其焦點(diǎn)的距離為（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】A【解析】把代入拋物線方程得：2=2p，p=1.拋物線的焦點(diǎn)為F(0

3、,).拋物線的準(zhǔn)線方程為y=.A到準(zhǔn)線的距離為1+=.AF=.故選：A.7. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸出的值為3，則輸入的值可以是（ ）A. 20 B. 21 C. 22 D. 23【答案】A【解析】由題意，模擬執(zhí)行程序，可得k=0，S=0，滿足條件Sa，S=20+3=3，k=0+1=1滿足條件Sa，S=23+3=9，k=1+1=2滿足條件Sa，S=29+3=21，k=2+1=3由題意，此時(shí)，應(yīng)該不滿足條件21a，退出循環(huán)，輸出k的值為3，從而結(jié)合選項(xiàng)可得輸入的a的值為20.故選：A.8. 為得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象（ ）A. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.

4、向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】因?yàn)樗灾恍枰獙⒑瘮?shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可.故選C.點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的圖象變換和三角函數(shù)的性質(zhì)；本題的易錯(cuò)點(diǎn)是“向右平移時(shí)，平移單位錯(cuò)誤”，要注意左右平移時(shí)，平移的單位僅對(duì)于自變量而言，如：將的圖象將左平移個(gè)單位時(shí)得到函數(shù)的圖象，而不是的圖象.9. 若，則等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】.即.又，所以，所以，于是 ，所以 ，故選A.10. 若滿足約束條件，則的最大值是（ ）A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】做出不等式組表示的可行域，如圖所示：設(shè),則.據(jù)圖分析知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)直線和的交點(diǎn)A

5、(1,2)時(shí)，取得最大值2，故選C.點(diǎn)睛：線性規(guī)劃問(wèn)題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.11. 某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三視圖可知幾何體為圓柱與球的組合體。圓柱的底面半徑為1，高為3，球的半徑為1.所以幾何體的表面積為12+213+412+12+12=9.故選B.點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的基

6、本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.12. 函數(shù)的定義域?yàn)椋瑘D象如圖1所示；函數(shù)的定義域?yàn)椋瑘D象如圖2所示，方程有個(gè)實(shí)數(shù)根，方程有個(gè)實(shí)數(shù)根，則（ ）A. 6 B. 8 C. 10 D. 12【答案】C【解析】試題分析：注意到，有個(gè)根，有個(gè)根，有個(gè)根，故.注意到，有個(gè)根，故，所以.考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)，復(fù)合函數(shù).二、填空題

7、：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已知，且，則的最小值是_【答案】4【解析】由，得.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.答案為：4.14. 已知向量，且，則的值為_【答案】12【解析】向量，.由，得.解得.點(diǎn)睛：本題主要考查了奇函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式的應(yīng)用，基本不等式求最值應(yīng)注意的問(wèn)題(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對(duì)其前提“一正、二定、三相等”的忽視要利用基本不等式求最值，這三個(gè)條件缺一不可(2)在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件15. 已知是直線上的動(dòng)點(diǎn)，是圓的切線，是切點(diǎn)，是圓心，那么四邊形面積的最小值是

8、_【答案】【解析】試題分析：因?yàn)閳A的方程可化為，圓心，半徑為，依題作出草圖，可知,所以四邊形面積的最小值就是的最小值,而,本題要求出最小的的值,即為圓心到直線的最短距離,所以，即四邊形面積的最小值是.考點(diǎn)：1.點(diǎn)到直線的距離；2.切線的性質(zhì)；3.轉(zhuǎn)換的思想.16. 橢圓上的任意一點(diǎn)(短軸端點(diǎn)除外)與短軸上、下兩個(gè)端點(diǎn)的連線交軸于點(diǎn)和，則的最小值是_【答案】可得,同理可求,所以 .所以.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17. 已知函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)；函數(shù)圖象與軸交于不同的兩點(diǎn).若“”是假命題，“”是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】試題分

9、析：對(duì)于命題p，設(shè)y=f（x），知道該函數(shù)為二次函數(shù)，對(duì)稱軸為x=1，從而有，解該不等式組即可得到0a0，從而可解得或并且根據(jù)條件可知p真q假，或p假q真，求出這兩種情況的a的取值范圍再求并集即可試題解析：對(duì)于設(shè).該二次函數(shù)圖象開向上，對(duì)稱軸為直線，所以，所以；對(duì)于函數(shù)與軸交于不同的兩點(diǎn)，所以，即，解得或.因?yàn)椤啊笔羌倜}，“”是真命題，所以一真一假.當(dāng)真假時(shí)，有，所以；當(dāng)假真時(shí)，有，所以或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)睛：（1）當(dāng)命題p與q的關(guān)系不好判斷時(shí)，我們可以考慮寫出命題p,q的否定，即與，分析出與的關(guān)系，再根據(jù)互為逆否命題同真同假進(jìn)行判斷。為真，即p與q同時(shí)為真。）為假，即p與q中至少有

10、一個(gè)為假。 為真，即p與q至少有一個(gè)為真。為假，即p與q同時(shí)為假。（4）與的真假性相反。18. 在數(shù)列中，.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) 【解析】試題分析：（1）要證明數(shù)列為等比數(shù)列，應(yīng)證明為常數(shù)，設(shè)法對(duì)進(jìn)行代數(shù)變形即可得證；（2）在（1）證明的基礎(chǔ)上可求得，利用乘公比錯(cuò)位相減法即可實(shí)現(xiàn)求和試題解析：（1）由題意所以數(shù)列為等比數(shù)列（2）得考點(diǎn)：數(shù)列的遞推公式、等比數(shù)列定義的應(yīng)用及其前項(xiàng)和公式19. 已知頂點(diǎn)在單位圓上的中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，求的面積.【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：（1）由正弦定理，兩角和的正

11、弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知可得2sinAcosA=sinA，又0A，即可求得cosA的值（2）由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA的值，由于頂點(diǎn)在單位圓上的ABC中，利用正弦定理可得，可求a，利用余弦定理可得bc的值，利用三角形面積公式即可得解試題解析：解：（1）因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所?所以，所以.（2）據(jù)（1）求解知，又，又據(jù)題設(shè)知，得.因?yàn)橛捎嘞叶ɡ恚?，所?所以.20. 某市電視臺(tái)為了提高收視率而舉辦有獎(jiǎng)問(wèn)答活動(dòng)，隨機(jī)對(duì)該市1565歲的人群抽樣了人，回答問(wèn)題統(tǒng)計(jì)結(jié)果及頻率分布直方圖如圖表所示.（1）分別求出的值；（2）從第2，3，4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6

12、人，則第2，3，4組每組應(yīng)各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，電視臺(tái)決定在所抽取的6人中隨機(jī)抽取2人頒發(fā)幸運(yùn)獎(jiǎng)，求所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)的概率.【答案】(1) ， (2) 依次抽取2人，3人，1人（3）【解析】試題分析：（1）先由第一組求出的值，再結(jié)合圖表及頻率分布直方圖就可以求出的值；（2）根據(jù)（1）中求出的各組人數(shù)，按照分層抽樣的方法就可求出各組應(yīng)抽取的人數(shù)；（3）先列出從人中隨機(jī)抽取人的總抽取方法，再列出所抽取的人中第二組至少有人的抽取方法數(shù)，即可求出所得的概率.試題解析：（1）由頻率表中第一組數(shù)據(jù)可知，第一組總?cè)藬?shù)為，再結(jié)合頻率分布直方圖可知，（2）第二，三，四組中回

13、答正確的共有人，所以利用分層抽樣在人中抽取人，每組分別抽取的人數(shù)為：第二組：人，第三組：人，第四組：人.（3）設(shè)第二組的人為，第三組的人為，第四組的人為，則從人中抽人所有可能的結(jié)果有： 共個(gè)基本事件，其中第二組至少有一人被抽中的有這個(gè)基本事件.所以第二組至少有一人獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)的概率為.考點(diǎn)：1、頻率分布表及直方圖；2、分層抽樣；3、古典概型.21. 已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線的斜率分別為，滿足，試問(wèn)：當(dāng)變化時(shí)，是否為定值？若是，求出此定值，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1) (2) 當(dāng)變化時(shí)，為定值.【解析】試題分析

14、：（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，就是要確定的值，只要找到兩個(gè)關(guān)于的等式即可，本題中一個(gè)離心率，一個(gè)是橢圓過(guò)已知點(diǎn)，由此可得；（2）設(shè)交點(diǎn)，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去后，可得，計(jì)算，化簡(jiǎn)后并把代入可得結(jié)論試題解析：（1）依題意可得解得.所以橢圓的方程是.（2）當(dāng)變化時(shí)，為定值，證明如下：由得，.設(shè)，則，（*）直線的斜率依次為，且，得，將（*）代入得：，經(jīng)檢驗(yàn)滿足考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系【名師點(diǎn)睛】本題考查解析幾何中的定值問(wèn)題，采用“設(shè)而不求”方法求解，即設(shè)交點(diǎn)為，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組后消元得的一元二次方程，從而得，然后計(jì)算，把代入，由等式求得，如果能求出，說(shuō)明定值存在，如果不能求出，說(shuō)明定值不存在22. 如下圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）設(shè)平面平面，求二面角的正弦值.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) 二面角的正弦值為【解析】試題分析：（1） 設(shè)的中點(diǎn)為，連接，由可證平面，進(jìn)而可得；（2）兩兩互相垂直，可建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面的一個(gè)法