1、數(shù)字信號(hào)處理Digital Signal Processing(DSP)信息學(xué)院電子系第1章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) 1.1 離散時(shí)間信號(hào)序列 1.2 離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析 1.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣1.4 序列的傅氏變換與Z變換 1.5 拉氏變換、傅氏變換與Z變換 1.6 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析（域和域） 1.1 離散時(shí)間信號(hào)-序列 離散時(shí)間信號(hào)是時(shí)間上不連續(xù)的一個(gè)序列, 用x(n)或x(n)表示 當(dāng)n為整數(shù)時(shí), x(n)才有意義. 對(duì)于非整數(shù)值n是沒有定義的 離散時(shí)間信號(hào)通常是對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行等間隔采樣得到 例如對(duì)一連續(xù)時(shí)間信號(hào)xa(t)采樣(采樣周期為T), 則序列x(n)與xa(t)的關(guān)系為

2、： 當(dāng)信號(hào)本身就是離散時(shí)間序列時(shí)，則不需要采樣. 如每日股票市場價(jià)格、人口統(tǒng)計(jì)數(shù)和倉庫存量等 1.1.1 序列的運(yùn)算 1. 序列的移位 x(n-m) 當(dāng)m0時(shí)，x(n-m)是由序列x(n)逐項(xiàng)依次右移(延時(shí))m位獲得 當(dāng)m0時(shí)，x(n-m)是由序列x(n)逐項(xiàng)依次左移(超前)m位序列x(n)移位序列w(n)w(n)=x(n-2)2. 序列的翻褶 x(-n) x(-n)通過以n=0的縱軸為對(duì)稱軸將序列x(n)加以翻轉(zhuǎn)獲得 x(n)序列x(-n)序列 定義: 同序號(hào)n的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加而構(gòu)成的新序列3. 序列的和 z(n) = x(n) + y(n) 定義: 同序號(hào)n的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相乘而構(gòu)成的

3、新序列4. 序列的乘積 f(n) = x(n) y(n) 定義: x(n)的每個(gè)序列值乘以常數(shù) c5. 序列的標(biāo)乘 f(n) = c x(n)6. 累加設(shè)某序列為x(n)，則x(n)的累加序列y(n)定義為 表示y(n)在某一個(gè)n0上的值y(n0)等于在這一個(gè)n0上的x(n0)值與n0以前所有n上的x(n)之和。 7. 差分運(yùn)算前向差分: x(n)=x(n+1)-x(n)后向差分: x(n)=x(n)-x(n-1)兩者關(guān)系:x(n)=x(n-1) 8. 尺度變換 x(mn) x(mn)是序列x(n)每隔m點(diǎn)取一點(diǎn)形成的，相當(dāng)于時(shí)間軸n壓縮了m倍m=2時(shí)的波形圖1.1.2 幾種常用序列1. 單位

4、脈沖序列(n) (單位采樣序列) 離散時(shí)間系統(tǒng)中, 最常用、最重要的序列 類似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的單位沖激函數(shù)(t) 區(qū)別:(t)為理想信號(hào), 無法實(shí)現(xiàn)。(n)為可實(shí)現(xiàn)的序列2. 單位階躍序列u(n) 類似于連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中的單位階躍函數(shù)u(t) (n)和u(n)間的關(guān)系 (u(n)的后向差分 )(n)的累加序列 )3. 矩形序列RN(n) RN(n)和(n)、u(n)間的關(guān)系 4. 實(shí)指數(shù)序列 anu(n) (a為實(shí)數(shù)) 如果|a|1，則稱為發(fā)散序列。 5. 正弦型序列x(n)=A sin(n0+)( A為幅度; 為起始相位; 0為數(shù)字域的頻率, 單位弧度) 正弦序列(0=0.1) 說明:

5、 0的取值影響正弦序列的周期性, 這與連續(xù)信號(hào)不同6. 復(fù)指數(shù)序列 -序列值為復(fù)數(shù)的序列(0是復(fù)正弦的數(shù)字域頻率)設(shè)=0，用極坐標(biāo)和實(shí)部虛部表示如下1.1.3 序列的周期性 則稱序列x(n)是周期性序列，周期為N 定義:如果對(duì)所有n存在一個(gè)最小的正整數(shù)N，滿足 上式表明序列x(n)是周期為8的周期序列 (式中0= /4)例1.1.3 序列的周期性 正弦型序列周期性的討論則要求N=2k/0 , 式中k與N均取整數(shù), 且k的取值要保證N為最小正整數(shù). 滿足這些條件, 正弦序列才是以N為周期的周期序列顯然,如果 2/0為正整數(shù)時(shí), 取k=1, 則周期為2/0.例如sin(/8 )n 正弦型序列周期性

6、的討論正弦序列周期(N=2k/0 )的幾種情況:0 =/8，2/ 0 =16, 該正弦序列周期為16 2/0不是整數(shù), 是有理數(shù)(即2/0 =N/k中, N、k是互為素?cái)?shù)的整數(shù))時(shí), 則周期為N. 例如 sin(4/5) n0 =(4/5), 2/0 =5/2，k=2，該正弦序列周期為5 2/0是無理數(shù)時(shí), 任何k皆不能使N取正整數(shù). 此時(shí)正弦序列不是周期序列, 例如 0 =1/4, sin(0 n)不是周期序列說明: 指數(shù)為純虛數(shù)的復(fù)指數(shù)序列, 其周期性也有同樣分析結(jié)果 如果一個(gè)正弦序列由一個(gè)連續(xù)信號(hào)采樣得到，那么序列的數(shù)字域頻率與連續(xù)信號(hào)的模擬角頻率之間有什么關(guān)系? 連續(xù)正弦信號(hào)與采樣后的

7、正弦序列在頻率上的關(guān)系設(shè)連續(xù)正弦信號(hào)xa(t)為 (0=2f0，T0=1/f0)對(duì)xa(t)采樣 (采樣間隔為T)后, 采樣序列x(n)可表示為 正弦型序列表示式: x(n)=A sin(n0+)上式具有普遍意義，它表示凡是由模擬信號(hào)采樣得到的序列, 模擬角頻率與序列的數(shù)字域頻率成線性關(guān)系 (fs為采樣頻率) 采樣后的正弦序列, 保持周期性的條件正弦序列周期(N=2 k /0 ): 2/0為正整數(shù)時(shí), N=T0/T. 即 T0為采樣間隔T的整數(shù)倍 2/0為有理數(shù)時(shí), NT=kT0. 即N個(gè)采樣間隔應(yīng)等于k個(gè)連續(xù)正弦信號(hào)的周期1.1.4 序列的分解 (用單位采樣序列來表示任意序列)對(duì)于任意序列,

8、 通常采用單位采樣序列的移位加權(quán)和來表示x(n)= -2 (n+2)+0.5 (n+1)+2 (n)+ (n-1) +1.5 (n-2)- (n-4)+2 (n- 5)+ (n-6)例:右圖序列x(n), 也可用單位采樣序列表示1.1.4 序列的分解 (用單位采樣序列來表示任意序列)式中 設(shè)x(m)是一個(gè)序列值的集合，其中的任意一個(gè)值x(n)可表示為由(n-m)表示式可知:1.1.5 序列的能量 定義: 序列各采樣樣本的平方和， 即 1.2 離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析 將輸入序列變換成輸出序列的一種運(yùn)算(用T 表示) 離散時(shí)間系統(tǒng)中最重要、常用的是線性時(shí)不變系統(tǒng) 框圖表示 離散時(shí)間系統(tǒng)定義1.2.1

9、 線性系統(tǒng) 定義: 滿足疊加原理(可加性與齊次性)的系統(tǒng)設(shè) x1 (n)和x2(n)分別為系統(tǒng)的輸入序列, y1(n)和y2(n)為對(duì)應(yīng)輸出那么線性系統(tǒng)必定滿足下面兩個(gè)公式(可加性與齊次性)(a為任意常數(shù))兩個(gè)公式結(jié)合起來, 可表示成(a1和a2為任意常數(shù)) 推廣: 多輸入線性系統(tǒng)表達(dá)式例證明 y(n)=ax(n)+b (a和b為常數(shù)), 所代表的系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)證明 此系統(tǒng)不滿足疊加性, 不是線性系統(tǒng)1.2.2 時(shí)不變系統(tǒng) 定義: 系統(tǒng)的運(yùn)算關(guān)系T在整個(gè)運(yùn)算過程中不隨時(shí)間變化即輸入序列移動(dòng)任意位后, 輸出序列也相應(yīng)移位, 并且數(shù)值不變 用公式表示為:Tx(n)= y(n)Tx(n-m)= y

10、(n-m)（m為任意整數(shù)）本書主要討論線性時(shí)不變( LTI, Linear Time Invariant )離散時(shí)間系統(tǒng)例 證明 不是時(shí)不變系統(tǒng) 證 由于二者不相等，故不是時(shí)不變系統(tǒng)比較輸入(輸出)序列移位后, 是否還滿足Tx(n-m)= y(n-m)輸入序列移動(dòng)m位后的輸出Tx(n-m): 輸出序列移動(dòng)m位后的表示 y(n-m) : 例 檢查 y(n)=ax(n)+b (a, b為常數(shù)), 代表的系統(tǒng)是否是時(shí)不變系統(tǒng)二者相等，因此是時(shí)不變系統(tǒng)比較輸入(輸出)序列移位后, 是否還滿足Tx(n-m)= y(n-m)輸入序列移運(yùn)動(dòng)m位后的輸出Tx(n-m)輸出序列移運(yùn)動(dòng)m位后的表示 y(n-m)

11、: Tx(n-m)= a x(n-m)+b y(n-m) = a x(n-m)+b 例 檢查 y(n)= n x(n), 代表的系統(tǒng)的時(shí)不變性? 時(shí)變系統(tǒng)1.2.3 單位脈沖響應(yīng)與LTI系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系 單位脈沖響應(yīng)定義: 輸入為單位脈沖序列時(shí)系統(tǒng)的輸出. 即h(n)=T(n)(代表系統(tǒng)的時(shí)域特征) 系統(tǒng)的輸出y(n)可寫為 線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入/輸出關(guān)系可用h(n)來表征設(shè)系統(tǒng)輸入序列為x(n), 它可由(n)的移位加權(quán)和來表征(P11)(x(m)為(n-m)的系數(shù))根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)(P19, 式1-40)又根據(jù)時(shí)不變性質(zhì)有系統(tǒng)輸出 (x(m)為(n-m)的系數(shù))上式表明, 有了h(

12、n)即可得到系統(tǒng)對(duì)任意輸入的輸出因此 (離散卷積) 離散卷積也稱為線性卷積、直接卷積、卷積, 以“*”表示 (離散卷積) 線性時(shí)不變系統(tǒng)的框圖可表示如下 卷積的求解過程(離散卷積) 翻褶: 將x(n)和h(n)用x(m)和h(m)表示, 并將h(m)翻轉(zhuǎn)成h(-m) 移位: 將h(-m)移位n, 得到h(n-m). n0時(shí), 序列右移；反之左移 相乘: 將h(n-m)和x(m)的相同m值的對(duì)應(yīng)點(diǎn)值相乘 相加: 把以上所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)的乘積累加，得到y(tǒng)(n)值 依上法，取n=, -2, -1, 0, 1, 2, 各值，即可得全部y(n)值 圖解過程 (離散卷積) 圖解過程 (離散卷積) 說明: 序列的

13、分解(P11,式1-14)也是一個(gè)線性卷積公式式中 表示序列本身與單位取樣序列的線性卷積等于序列本身 推廣: 序列與移位的單位取樣序列(n-n0)進(jìn)行線性卷積，相當(dāng)于將序列本身移位n0(n0是整常數(shù))(僅當(dāng)m=n-n0時(shí), 才可能有非零值)例 設(shè) x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)= x(n) * h(n) R4(m) 的非零值區(qū)間為：0m3，R4(n-m)的非零值區(qū)間為：0n-m3解求解y(n)的非零值y(n)的非零值與矩形序列的非零值區(qū)間有關(guān):其乘積值的非零區(qū)間，要求m同時(shí)滿足上面兩個(gè)不等式： 0m30n-m30m30n-m3為使y(n)為非零值, n取值范圍應(yīng)為: n

14、為其它值時(shí), y(n)=0結(jié)論: 線性卷積后的序列長度為(N+M-1).(設(shè)兩序列長度分為N和M) 進(jìn)一步分析后,得到如下結(jié)論 ( ) 0n6 n為其它值時(shí), y(n)=0圖解過程1.2.4 線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì) 1. 交換律證明令 n-m=m2. 結(jié)合律 物理意義 兩LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)后仍為LTI系統(tǒng) 單位脈沖響應(yīng)為兩系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的卷積(與級(jí)聯(lián)次序無關(guān))有相同單位脈沖響應(yīng)的三個(gè)LTI系統(tǒng) 3. 分配律 物理意義 系統(tǒng)并聯(lián)的等效系統(tǒng), 其單位脈沖響應(yīng)等于兩系統(tǒng)各自單位脈沖響應(yīng)之和線性時(shí)不變系統(tǒng)的并聯(lián)組合及其等效系統(tǒng) 1.2.5 因果系統(tǒng) (可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)) 定義: 系統(tǒng)n時(shí)刻的輸出y(n)只取決

15、于n時(shí)刻以及n時(shí)刻以前的輸入序列x(n), x(n-1), x(n-2) 例y(n)=nx(n)的系統(tǒng)是一個(gè)因果系統(tǒng)，而y(n)=x(n+2)+ax(n)的系統(tǒng)是非因果系統(tǒng) 系統(tǒng)的因果性表征了系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性 LTI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件: h(n)=0 ( n0 ) 物理解釋: 單位取樣響應(yīng)是輸入為(n)的零狀態(tài)響應(yīng)，n0時(shí), 由于沒有信號(hào), 輸出只能等于零1.2.5 因果系統(tǒng) (可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)) 仿照上式，將 n0，x(n)=0 的序列稱為因果序列，表示因果序列可以作為一個(gè)因果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 模擬系統(tǒng)的非因果系統(tǒng)無法物理實(shí)現(xiàn) 數(shù)字系統(tǒng)利用系統(tǒng)中數(shù)據(jù)的存貯性能, 可用具有延時(shí)的因果系統(tǒng)去逼

16、近非因果系統(tǒng)(系統(tǒng)輸出有延時(shí))理論輸出序列*通過存貯, 將h(n)延時(shí), 變成因果序列h(n)=0 ( n0 )輸入序列輸入序列非因果序列h(n)0 ( n0 )*非因果系統(tǒng)的延時(shí)實(shí)現(xiàn) 非因果系統(tǒng)的延時(shí)實(shí)現(xiàn)圖解1.2.6 穩(wěn)定系統(tǒng) 定義: 指有界輸入產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng) LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件: 單位脈沖響應(yīng)絕對(duì)可和 本書討論的LTI系統(tǒng), 其單位脈沖響應(yīng)滿足因果與穩(wěn)定條件1.2.7 時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法-常系數(shù)線性差分方程 連續(xù)LTI系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系常用常系數(shù)線性微分方程表示 離散LTI系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系常用常系數(shù)線性差分方程表示 或 差分方程的階數(shù)等于y(n)序號(hào)的最高值與

17、最低值之差 差分方程的用途: 直接獲得系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 時(shí)域求解法 差分方程的求解方法 變換域求解法: 迭代法: 方法簡單, 適于計(jì)算機(jī)求解, 卷積計(jì)算法: 求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)采用Z變換方法來求解差分方程(類似于拉氏變換), 方法簡單有效第1章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) 1.1 離散時(shí)間信號(hào)序列 1.2 離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析 1.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣1.4 序列的傅氏變換與Z變換 1.5 拉氏變換、傅氏變換與Z變換 1.6 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析（域和域） 1.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣 連續(xù)時(shí)間信號(hào)在一定條件下, 可由其采樣序列完全表征 對(duì)連續(xù)信號(hào)的處理可通過對(duì)采樣后的離散序列的處理來

18、實(shí)現(xiàn) 本節(jié)內(nèi)容: 采樣過程(采樣后, 信號(hào)頻譜的變化、信號(hào)內(nèi)容的完整性；采樣(離散)信號(hào)不失真還原出原(連續(xù))信號(hào)的條件等) 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的實(shí)際采樣過程采樣脈沖串 P(t) 2h ） 已采樣信號(hào)頻譜（s 2h ） 已采樣信號(hào)頻譜（s 2h 對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行等間隔采樣形成采樣信號(hào)，其頻譜是原連續(xù)信號(hào)的頻譜以采樣頻率為周期進(jìn)行周期性的延拓形成的 實(shí)際為避免頻譜混淆現(xiàn)象，采樣頻率要選得大些，如(34)h. 另外, 在采樣器前加入一保護(hù)性的前置低通濾波器 說明 采樣信號(hào)與時(shí)域離散信號(hào)(序列)是不相同的 區(qū)別: 序列x(n)在n不為整數(shù)時(shí)是無定義的, 而采樣信號(hào)在tnT 非采樣點(diǎn)上的幅度為零 當(dāng)序列通過對(duì)

19、模擬信號(hào)采樣得到, 則有關(guān)系x(n)=xa(nT), 即序列值等于對(duì)模擬信號(hào)的采樣值 序列與模擬信號(hào)、采樣信號(hào)頻譜間的關(guān)系將在后面介紹 采樣定理表示的是采樣信號(hào) 的頻譜與原模擬信號(hào)xa(t)的頻譜間的關(guān)系 量化編碼實(shí)際過程中, 從采樣序列到形成數(shù)字信號(hào), 還需要經(jīng)過一個(gè)量化編碼(幅值的離散化)的過程 例如:模擬信號(hào)xa(t)=sin(2ft+/8)，式中f=50Hz，選采樣頻率fs=200Hz，將t=nT代入xa(t)中，得到采樣數(shù)據(jù)： 當(dāng)n =0，1，2，3，時(shí)，得到序列x(n)如下：x(n)=0.382683,0.923879,-0.382683,-0.923879 量化編碼序列x(n)：

20、x(n)=0.382683,0.923879,-0.382683,-0.923879量化編碼: 上面采樣數(shù)據(jù)用6位二進(jìn)制碼表示, 其中一位為符號(hào)位, 則數(shù)字信號(hào)為 0.01100, 0.11101, 1.01100, 1.11101將量化編碼再還原為十進(jìn)制數(shù): 0.37500, 0.90625, -0.37500, -0.90625顯然量化編碼后的數(shù)字信號(hào)與原序列x(n)不同. 這樣產(chǎn)生的誤差稱為量化誤差, 量化誤差起的作用稱為量化效應(yīng)1.3.3 采樣的恢復(fù) 將 通過一理想低通濾波器，即可恢復(fù)原模擬信號(hào)采樣后不會(huì)產(chǎn)生頻譜混疊當(dāng)理想采樣滿足采樣定理時(shí)，即采樣信號(hào)通過濾波器后的頻譜為 因此，在輸出

21、端可以得到原模擬信號(hào) 說明: 理想低通濾波器是非因果不可實(shí)現(xiàn)的，但在一定精度范圍內(nèi)，可由一個(gè)可實(shí)現(xiàn)的濾波器來近似逼近1.3.4 由采樣信號(hào)序列重構(gòu)帶限信號(hào) 理想低通濾波器的沖激響應(yīng)為(P17) 下面通過推導(dǎo)理想低通濾波器的輸入/輸出關(guān)系, 來了解理想低通濾波器是如何由采樣信號(hào)恢復(fù)原模擬信號(hào)的由 與h(t)的卷積積分，得到理想低通濾波器的輸出為 已知(內(nèi)插函數(shù) )(內(nèi)插公式 ) 內(nèi)插函數(shù)的特點(diǎn) 在采樣點(diǎn)nT上，函數(shù)值為1; 其余采樣點(diǎn)上，函數(shù)值都為零 xa(t)等于各xa(nT)乘上對(duì)應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)的總和 h(t)保證了在各采樣點(diǎn)上，所恢復(fù)的xa(t)等于原采樣值 而采樣點(diǎn)之間, 則是各采樣值乘以

22、h(t-nT)的波形伸展疊加而成 內(nèi)插公式含義 由理想低通濾波器恢復(fù)的模擬信號(hào)完全等于原模擬信號(hào)xa(t), 但該濾波器是非因果不可實(shí)現(xiàn)的,下面介紹實(shí)際的D/A轉(zhuǎn)換過程 實(shí)際的數(shù)字信號(hào)到模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換 D/A轉(zhuǎn)換器的組成 解碼: 將數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域離散信號(hào) 零階保持器: 低通濾波器, 將前一個(gè)采樣值保持到下一個(gè) 采樣值來到, 將時(shí)域離散信號(hào)恢復(fù)成模擬信號(hào) 平滑濾波: 后置模擬低通濾波器, 濾除多余的高頻分量零階保持器(時(shí))頻域特性高頻分量在時(shí)域上的表現(xiàn), 就是恢復(fù)出的模擬信號(hào)是臺(tái)階形消除方法: 平滑濾波零階保持器恢復(fù)的模擬信號(hào)有些失真, 但簡單易實(shí)現(xiàn),是常用的方法第1章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) 1

23、.1 離散時(shí)間信號(hào)序列 1.2 離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析 1.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣1.4 序列的傅氏變換與Z變換 1.5 拉氏變換、傅氏變換與Z變換 1.6 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析（域和域） 1.4 序列的傅氏變換與Z變換 模擬信號(hào)的頻域分析采用拉氏變換或傅氏變換；時(shí)域離散信號(hào)(序列)的頻域分析采用Z變換或傅氏變換 序列的傅氏變換與模擬信號(hào)的傅氏變換是不一樣的, 但都是線性變換, 很多性質(zhì)類似 本節(jié)主要討論序列的傅里葉變換和Z變換， 為下節(jié)利用Z變換分析系統(tǒng)和信號(hào)頻域特性作準(zhǔn)備1.4.1 序列的傅氏變換的定義及性質(zhì) 定義為序列x(n)的傅里葉變換(Fourier Transform) 定義 FT

24、成立的充要條件: 序列x(n)滿足絕對(duì)可和的條件為FT的反變換1.4.1 序列的傅氏變換的定義及性質(zhì)例 設(shè)x(n)=RN(n)， 求x(n)的FT 序列傅里葉變換的性質(zhì)1. FT的周期性 序列的傅里葉變換是頻率的周期函數(shù), 周期是2 =2M表示直流分量, =(2M +1)代表最高頻率信號(hào) 序列傅里葉變換的性質(zhì)2. 線性設(shè) 那么 (a, b為常數(shù))3. 時(shí)移與頻移設(shè) 那么 序列傅里葉變換的性質(zhì)4. FT的對(duì)稱性 共軛對(duì)稱序列: 滿足 xe(n)=x*e(-n) 的序列xe(n),共軛對(duì)稱序列的 實(shí)部為偶函數(shù), 虛部是奇函數(shù)討論對(duì)稱性前, 先介紹共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱的定義 共軛反對(duì)稱序列: 滿足

25、xo(n)= -x*o(-n) 的序列xo(n),共軛反對(duì)稱序 列實(shí)部為奇函數(shù), 虛部是偶函數(shù)例分析x(n)=e jn =cosn+j sinn的對(duì)稱性共軛對(duì)稱序列4. FT的對(duì)稱性一般序列可用共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱序列之和表示式中頻域函數(shù)X(ej)也有類似的概念和結(jié)論共軛對(duì)稱部分Xe(ej)滿足 Xe(ej) =X*e(e-j)共軛反對(duì)稱部分Xo(ej)滿足Xo(ej) =-X*o(e-j)式中4. FT的對(duì)稱性由以上概念得到有關(guān)FT對(duì)稱性的結(jié)論: 將序列分解成實(shí)部與虛部兩部分，則實(shí)部對(duì)應(yīng)的FT具有共軛對(duì)稱性，虛部和j一起對(duì)應(yīng)的FT具有共軛反對(duì)稱性 將序列分解成共軛對(duì)稱部分和共軛反對(duì)稱部分,

26、則序列的共軛對(duì)稱部分對(duì)應(yīng)著FT的實(shí)部， 共軛反對(duì)稱部分對(duì)應(yīng)著FT的虛部 序列傅里葉變換的性質(zhì)5. 時(shí)域卷積定理 序列傅里葉變換的性質(zhì)設(shè) 那么 兩序列卷積的FT服從相乘的關(guān)系 對(duì)于LTI系統(tǒng), 輸出的FT等于輸入的FT乘以單位脈沖響應(yīng)的FT 求系統(tǒng)的輸出信號(hào), 可以在時(shí)域用卷積公式計(jì)算, 也可以根據(jù)定理求出輸出的FT， 再作逆FT求出輸出信號(hào)5. 時(shí)域卷積定理設(shè) 那么 令k=n-m 證明 已知6. 頻域卷積定理 序列傅里葉變換的性質(zhì)設(shè) 那么 證明 交換積分與求和次序 7. 帕塞伐(Parseval)定理 序列傅里葉變換的性質(zhì)證明 信號(hào)時(shí)域的總能量等于頻域的總能量交換積分與求和次序 1. Z變換的

27、定義1.4.2 Z變換的定義及收斂域式中，z是一個(gè)復(fù)變量，它所在的復(fù)平面稱為Z平面一個(gè)離散序列x(n)的Z變換定義為 2. Z變換的收斂域 定義: 使上面不等式成立, Z變量取值的域稱為X(z)的收斂域,一般用環(huán)狀域表示，即 Rx-|z|Rx+ Rx-(Rx+) 稱為收斂半徑 定義式Z變換存在的條件是: 等式右邊級(jí)數(shù)收斂, 級(jí)數(shù)絕對(duì)可和 常用的Z變換為有理函數(shù)，可用兩個(gè)多項(xiàng)式之比表示： 由于極點(diǎn)處的Z變換不存在，因此收斂域用極點(diǎn)限定邊界P(z)的根是X(z)的零點(diǎn)Q(z)的根是X(z)的極點(diǎn) 序列的FT和ZT間的關(guān)系 序列的FT和ZT間的關(guān)系式中 z=e j表示在z平面上r=1的圓(稱為單位圓

28、)單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換序列的FT可由序列的ZT求出, 條件是收斂域中包含單位圓序列有可能FT不存在, 但在一定收斂域內(nèi)存在ZT. 例如x(n)=u(n)1 有限長序列 序列特性對(duì)收斂域的影響 Z平面上收斂域的位置和序列有著密切的關(guān)系定義: 序列x(n)只在有限區(qū)間n1nn2之內(nèi)才具有非零的有限值 收斂域表示(因果序列包括z=點(diǎn)) 序列特性對(duì)收斂域的影響例 求矩形序列x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域這是一個(gè)因果的有限長序列， 因此收斂域?yàn)?zX(z)在單位圓上存在，將z=ej代入X(z)可求得RN(n)的FT2 右邊序列 序列特性對(duì)收斂域的影響定義: x(n)只在nn1時(shí)有

29、值，在nn1時(shí)x(n)=0, 其Z變換為 第一項(xiàng)為有限長序列， 設(shè)n1-1， 其收斂域?yàn)?|z|第二項(xiàng)為因果序列， 其收斂域?yàn)镽x-|z|兩收斂域相與得到收斂域: Rx- |z|。 如果是因果序列， 收斂域?yàn)?Rx- |z|1.5 拉氏變換、傅氏變換與Z變換 1.5.1 拉氏變換與Z變換 序列的Z變換與理想采樣信號(hào)的拉普拉斯變換的關(guān)系 當(dāng)z=esT時(shí), 采樣序列的Z變換等于其理想采樣信號(hào)的拉氏變換 即從復(fù)變量S平面到復(fù)變量Z平面存在如下的映射關(guān)系: 標(biāo)準(zhǔn)變換于是得到X(z)與Xa(s)的關(guān)系： 連續(xù)信號(hào)xa(t)的拉氏變換Xa(s)與采樣信號(hào) 有如下關(guān)系(P16)上式表明X(z)是將連續(xù)信號(hào)x

30、a(t)的拉氏變換在S平面上沿虛軸按照周期s=2/T延拓后，再按照映射關(guān)系z(mì)=reST ，映射到z平面上得到的 令 s=+j ； z=re j 代入上式得到 r=eT=T = / fs對(duì)于r=eT, 有如下分析:標(biāo)準(zhǔn)變換 =0 （S平面虛軸） r=1（Z平面單位圓上） 0 （S左半平面）r0 （S右半平面） r1(Z平面單位圓外） S平面到平面的映射對(duì)于=T, 有如下分析:具有頻率的意義，稱為數(shù)字頻率, 與成線性關(guān)系是模擬角頻率對(duì)采樣頻率fs的歸一化值，代表序列值變化的速率，只有相對(duì)時(shí)間意義(相對(duì)采樣周期T)=0（S平面的實(shí)軸）=0（Z平面正實(shí)軸）由-/T增至0 由-增至0由0增至/T 由0增

31、至 結(jié)論：S平面上寬度為2/T的水平帶映射到整個(gè)Z平面由以上分析,可知S平面到平面的映射是多值映射 1.5.2 連續(xù)信號(hào)的傅氏變換與序列的Z變換采樣序列在單位圓上的Z變換, 等于理想采樣信號(hào)的傅里葉變換傅里葉變換是拉普拉斯變換在虛軸上的特例，即s=j 連續(xù)信號(hào)的傅氏變換與序列的Z變換關(guān)系1.5.3 序列的傅氏變換與Z變換得到序列的FT與ZT的關(guān)系單位圓上序列的Z變換即為序列的傅里葉變換(頻譜)序列頻譜是被采樣的連續(xù)信號(hào)頻譜周期延拓后再對(duì)采樣頻率做歸一化后的結(jié)果 1.5.4 模擬信號(hào)、采樣信號(hào)與序列三者FT的關(guān)系結(jié)論 采樣信號(hào)與模擬信號(hào)FT間的關(guān)系 序列與模擬信號(hào)FT間的關(guān)系序列的FT和模擬信號(hào)的FT間的關(guān)系，與采樣信號(hào)、模擬信號(hào)分別的FT間的關(guān)系一樣，即均是Xa(j)以周期s=2/T進(jìn)行周期延拓， 頻率軸上取值的對(duì)應(yīng)關(guān)系用=T = / fs表示模擬頻率與數(shù)字頻率的定標(biāo)關(guān)系使用歸一化頻率 f=f / fs 或=/s , =/2，(f