1、函數(shù)及導(dǎo)數(shù)解題方法計(jì)劃知識(shí)點(diǎn)技巧總結(jié)計(jì)劃函數(shù)及導(dǎo)數(shù)解題方法計(jì)劃知識(shí)點(diǎn)技巧總結(jié)計(jì)劃26/26函數(shù)及導(dǎo)數(shù)解題方法計(jì)劃知識(shí)點(diǎn)技巧總結(jié)計(jì)劃函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解題方法知識(shí)點(diǎn)技巧總結(jié)高考試題中，對(duì)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的解答題(從宏觀上)有以下題型：（1）求曲線yf(x)在某點(diǎn)出的切線的方程（2）求函數(shù)的解析式（3）討論函數(shù)的單一性，求單一區(qū)間（4）求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值（5）求函數(shù)的最值或值域（6）求參數(shù)的取值范圍（7）證明不等式（8）函數(shù)應(yīng)用問題在解題中常用的相關(guān)結(jié)論（需要熟記）：（1）曲線yf(x)在xx0處的切線的斜率等于f(x0)，且切線方程為yf(x0)(xx0)f(x0)。2）若可導(dǎo)函數(shù)yf(x)在xx0處獲得

2、極值，則f(x0)0。反之不建立。3）對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，不等式f(x)0(0)的解是函數(shù)f(x)的遞加（減）區(qū)間。4）函數(shù)f(x)在區(qū)間I上遞加（減）的充要條件是：xI,f(x)0(0)恒建立（f(x)不恒為0）.（5）若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有極值，則方程f(x)0在區(qū)間I上有實(shí)根且非二重根。（若f(x)為二次函數(shù)且IR，則有0）。（6）若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上不僅一且不為常量函數(shù),則f(x)在I上有極值。（7）若xI,f(x)0恒建立，則f(x)min0；若xI,f(x)0恒建立，則f(x)max0（8）若x0I使得f(x0)0，則f(x)max0；若x0I使得f(x0)0，則f(x)

3、min0.（9）設(shè)f(x)與g(x)的定義域的交集為I，若xI,f(x)g(x)恒建立，則有f(x)g(x)min0.（10）若對(duì)x1I1,x2I2,f(x1)g(x2)恒建立，則f(x)ming(x)max.若對(duì)x1I1,x2I2，使得f(x1)g(x2)，則f(x)ming(x)min.若對(duì)x1I1,x2I2，使得f(x1)g(x2)，則f(x)maxg(x)max.11）已知f(x)在區(qū)間I1上的值域?yàn)锳,g(x)在區(qū)間I2上值域?yàn)锽，若對(duì)x1I1,x2I2使得f(x1)g(x2)建立，則AB。12）若三次函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則方程f(x)0有兩個(gè)不等實(shí)根x1,x2且f(x1)f(x

4、2)013）證題中常用的不等式:lnxx1(x0)（僅當(dāng)x1時(shí)取“”）ln(x1)x(x1)（僅當(dāng)x0時(shí)取“=”）ln(1x2)x(x0)lnxx1(x1)x12ln2x112(x0)x22xf(x)ex1xex1x函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題常有題型的解法1）已知曲線yf(x（)含參數(shù)）的切線方程為ykxb，求參數(shù)的值【解法】先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，求出切線方程f(x0)(xx0)f(x0)再與已知切線方程比較系數(shù)得:f(x0)k,解此方程組可求參數(shù)的值xf(x0)f(x0)b2）已知函數(shù)yf(x)（含參數(shù)），討論函數(shù)的單一性【解法】先確立f(x)的定義域，并求出f(x)，察看f(x)能否恒大于或

5、等于（恒小于或等于）0，假如能，則求參數(shù)的范圍，討論便從這里開始，當(dāng)參數(shù)在上述范圍之外取值時(shí)，令f(x)0，求根x1,x2.再分層討論，是否在定義域內(nèi)或討論x1,x2的大小關(guān)系，再列表討論，確立的單一區(qū)間。（大多數(shù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)都可以轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)二次函數(shù)，所以討論函數(shù)單一性問題又常常是討論二次函數(shù)在某一區(qū)間上的符號(hào)問題）3）已知函數(shù)yf(x)（含參數(shù)）在區(qū)間I上有極值，求參數(shù)的取值范圍.【解法】函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有極值，可轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠蘤(x)0在區(qū)間I上有實(shí)根，且為非二重根。從而確立參數(shù)（或其取值范圍）。4）可導(dǎo)函數(shù)f(x)（含參數(shù)）在區(qū)間I上無(wú)極值，求參數(shù)的取值范圍【解法】f(x)在區(qū)間I上無(wú)

6、極值等價(jià)于f(x)在區(qū)間在上是單一函數(shù)，從而獲得f(x)0或f(x)0在上恒建立（5）函數(shù)f(x)（含單個(gè)或多個(gè)參數(shù)）僅在xx0時(shí)獲得極值，求參數(shù)的范圍【解法】先由f(x)0，求參數(shù)間的關(guān)系，再將f(x)表示成f(x)=(xx0)g(x)，再由g(x)0(0)恒建立，求參數(shù)的范圍。（此類問題中f(x)一般為三次多項(xiàng)式函數(shù)）6）函數(shù)f(x)（含參數(shù)）在區(qū)間I上不僅一，求參數(shù)的取值范圍【解法一】轉(zhuǎn)變?yōu)閒(x)在I上有極值。（即f(x)0在區(qū)間I上有實(shí)根且為非二重根）?！窘夥ǘ繌姆疵婵紤]：假定f(x)在I上單一則f(x)0(0)在I上恒建立，求出參數(shù)的取值f(x)minf(x)max范圍，再求參數(shù)

7、的取值范圍的補(bǔ)集7）已知函數(shù)f(x（)含參數(shù)），若x0I，使得f(x0)0（0）建立，求參數(shù)的取值范圍.【解法一】轉(zhuǎn)變?yōu)閒(x)在I上的最大值大于0（最小值小于0）【解法二】從反面考慮：假定對(duì)xI，f(x)0(0)恒成立則0（0）,求參數(shù)的取值范圍，再求參數(shù)的取值范圍的補(bǔ)集8）含參數(shù)的不等式恒建立，求參數(shù)的取值范圍【解法一】分別參數(shù)求最值【解法二】結(jié)構(gòu)函數(shù)用圖像注：對(duì)于多變量不等式恒建立，先將不等式變形，利用函數(shù)的最值消變?cè)?，轉(zhuǎn)變?yōu)閱巫兞坎坏仁胶憬栴}9）可導(dǎo)函數(shù)f(x)（含參數(shù)）在定義域上存在單一遞加(減)區(qū)間，求參數(shù)的范圍.【解法】等價(jià)轉(zhuǎn)變?yōu)閒(x)0（0）在定義域上有解即x0I使f(x

8、0)0（0）建立1）可用分別參數(shù)法（2）利用圖像及性質(zhì)10）證明不等式【解法】結(jié)構(gòu)函數(shù)f(x)并確立定義域I，察看在I上的性（注意區(qū)端點(diǎn)的函數(shù)）或許求f(x)在I上的最注：于含有正整數(shù)n的省略號(hào)的不定式的明，先察通，想基本不定式，確立要明的函數(shù)不定式，再自量x，令x分等于12,LL,n,把些不定式累加，可得要的不定式。）1.已知函數(shù)f(x)4x2x，實(shí)數(shù)s,t知足f(s)f(t)0，設(shè)a2s2t,b2st.（1）當(dāng)函數(shù)f(x)的定域1,1，求f(x)的域；2）求函數(shù)關(guān)系式bg(a)，并求函數(shù)g(a)的定域；3）求8s8t的取范.1）若x1,1，令m2x1,2，21分f(x)l(m)mm(m2)

9、4在2,2上增函數(shù)212112分f(x)minl(m)minl(1)1；f(x)maxl(m)maxl(2)2，243分f(x)域14,2.4分（2）數(shù)s,t足f(s)f(t)0，4s2s4t2t0，(2s2t)222st(2s2t)0，6分而a2s2t，b2st，故a22ba0，bg(a)2(aa)，7分12由意，b0,a0，12(aa)0，故2a1，8分又2s2t4s4t2(2s22t)2，即aa2，故a2，當(dāng)且當(dāng)st獲得等2號(hào)，9分上：1a2.10分（3）8s8t(2s2t)(4s2s2t4t)aab()a(a1a21a)1a33a2，2222a(1,212分令h(a)1332(1,2，

10、2a2a,ah(a)3a230當(dāng)a(1,2恒成3aa(a2)22立，14分故h(a)在a(1,2增，h(a)(h(1),h(2)，故8s8t(1,2.16分2.已知函數(shù)f(x)ex,g(x)ax2bxc。1）若f（x）的象與g（x）的象所在兩條曲的一個(gè)公共點(diǎn)在y上，且在點(diǎn)兩條曲的切相互垂直，求b和c的。2）若ac1，b0，比f(wàn)（x）與g（x）的大小，并明原因；3）若bc0，明：隨意定的正數(shù)a，存在正數(shù)m，使合適x(m,)，恒有f（x）g（x）建立。解:ac1，b0，g(x)x21，5分x0，f(0)1，g(0)1，即f(x)g(x)x0，f(x)1，g(x)1，即f(x)g(x)x0，令h(x

11、)f(x)g(x)exx21,h(x)ex2x.k(x)h(x)=ex2x，k(x)=ex2，當(dāng)xln2,k(x)0,k(x)減;當(dāng)xln2,k(x)0,k(x)增.所以當(dāng)xln2,k(x)獲得極小,且極小k(ln2)eln22ln22ln40即k(x)h(x)=ex2x0恒建立，故h(x)在R上增,又h(0)0,所以,當(dāng)f(x)g(x).上，當(dāng)x,f(x)g(x)x00,h(x)h(0)0,即9分,f(x)g(x)；當(dāng)x0,f(x)g(x)；當(dāng)x010分法一：若0a1，由知，當(dāng)x0,exx21.即exx2ax2，所以，0a1，取m0，即有當(dāng)xm，恒有exax2.若a1,f(x)g(x)即ex

12、ax2，等價(jià)于xln(ax2)即x2lnxlnat(x)x2lnxlna,t(x)12x2令xx.當(dāng)x2,t(x)0,t(x)在(2,)內(nèi)增.取x0ae2,x0e22，所以t(x)在(x0,)內(nèi)增.又t(x0)e2a2lne2alnae2a43lna7a43lna4(a1)3(alna)0即存在mae2,當(dāng)xm，恒有f(x)g(x).15分上，隨意定的正數(shù)a，存在正數(shù)m，使合適xm，恒有f(x)g(x).16分法二：exex(x2)，h(x)x2，h(x)x3當(dāng)x(0,2)，減，當(dāng)x(2,)，0，h(x)0h(x)h(x)h(x)增，故h(x)在(0,)上有最小，e212h(2)4，分2若ae

13、4，h(x)2在(0,)上恒建立，2即當(dāng)ae4，存在m0，使當(dāng)x(m,),恒有f(x)g(x)；2若ae4，存在m2，使當(dāng)x(m,),恒有f(x)g(x)；若ae2，同明一的4，15分上可得，隨意定的正數(shù)a，存在m,當(dāng)x(m,),恒有f(x)g(x).16分函數(shù)f(x)=x2lnx-ax2+b在點(diǎn)(x0,f(x0)的切方程y=-x+b.(1)務(wù)實(shí)數(shù)a及x0的值；(2)求證：對(duì)隨意實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).4.f(x)lnxxaxb；（取e2.8，取ln20.7，取21.4）已知函數(shù)1，g(x)（1）若函數(shù)h(x)f(x)g(x)在(0,)上增，求數(shù)a的取范；（2）若直g(x)axb是

14、函數(shù)f(x)1ab的最??；lnx象的切，求x（3）當(dāng)b0，若f(x)與g(x)的象有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)，求：x1x22e2解析：（1）由h(x)f(x)g(x)lnx1axb，得h(x)11a；xxx2h(x)f(x)g(x)在(0,)上增，x0，都有11h(x)a0，（求出數(shù)分）x2x即x0，都有a11，110，a0；xx2xx2故數(shù)a的取范是(,04分（無(wú)等號(hào)的扣1分）（2）切點(diǎn)(x0,lnx01)，切方程：y(lnx01)(112)(xx0)，x0 x0 x0 x0即y(11)x(11)x0(lnx01)，亦即y(11)x(lnx021)，x0 x0 x0 x0

15、x0 x0 x0 x0令1t0，由意得a11tt2,blnx021lnt2t1；7分x0 x0 x02x0令ab(t)lntt2t1，(t)12t1(2t1)(t1)，tt當(dāng)t(0,1)(t)0，(t)在(0,1)上減；當(dāng)t(1,)(t)0，(t)在(1,)上增，ab(t)(1)1，故ab的最小110分（3）由意知：lnx11ax1，lnx21ax2，兩式相加得：lnx1x2x1x2a(x1x2)，x1x2x1x2lnx2兩式相減得：lnx2x1x2a(x2x1)，即x11a，x1x1x2x2x1x1x2lnx2lnx1x2x1x2(x11)(x1x2)，即lnx1x22(x1x2)x1x2l

16、nx2，12分x1x2x2x1x1x2x1x2x2x1x1不如令0 x1x21，令F(t)x2，tx1F(t)lnt2(t1)在(1,)上增，t1lnt2(t1)，lnx22(x2x1)，t1x1x1x2lnt2(t1)(t1)，F(xiàn)(t1)2(t)0，t1t(t1)F(t)lnt2(t1)0，F(xiàn)(1)t1lnx1x22(x1x2)x1x2lnx22，x1x2x2x1x1又lnx1x22(x1x2)4x1x2lnx1x24x1x24，lnx1x2x1x22lnx1x2x1x2x1x22lnx1x24，即lnx1x221，2x1x2x1x2令G(x)lnx20，G(x)120，G(x)在(0,)上

17、增，xx2xx又ln2e21ln2120.851，G(x1x2)lnx1x221ln2e2，2e2ex1x22ex1x22e，即x1x22e216分已知函數(shù)f(x)exa(x1)，此中aR,e自然數(shù)底數(shù).1）當(dāng)a1，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1)的切方程；2）函數(shù)f(x)的性，并寫出相的區(qū)；3）已知bR，若函數(shù)f(x)b隨意xR都建立，求ab的最大.解：（1）當(dāng)a1，fxex1，f1e1，f1e，2分函數(shù)fx在點(diǎn)1,f1的切方程yee1x1，即ye1x14分（2）fxexa，當(dāng)a0，fx0，函數(shù)fx在R上增；6分當(dāng)a0，由fxexa0得xlna，x,lna，fx0，fx減；xlna,，fx0

18、，fx增上，當(dāng)a0，函數(shù)fx的增區(qū)(,)；當(dāng)a0，函數(shù)fx的增區(qū)lna,，減區(qū),lna9分（3）由（2）知，當(dāng)a0，函數(shù)fx在R上增，不可能恒成fxb立；10分，此當(dāng)a0，b0ab0；11分當(dāng)a0，由函數(shù)fxb隨意xR都建立，得bfminx，fminxflna2aalna，b2aalna13分ab2a2a2lna，ga2a2a2lnaa0，ga4a2alnaa3a2alna，因?yàn)閍0，令ga0，得lna23，ae2，333當(dāng)a0,e2，ga0，ga增；ae2,，ga0，ga減33gmaxae2，即ab的最大e2，33ae2,b21e216分5.此若函數(shù)yf(x)在xx0獲得極大或極小，稱x0函

19、數(shù)yf(x)的極點(diǎn).已知函數(shù)f(x)ax33xlnx1(aR).當(dāng)a0時(shí)，求f(x)的極值；2若f(x)在區(qū)間(e,1)上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求e實(shí)數(shù)a的取值范圍.已知函數(shù)f(x)ex，g(x)mxn.（1）h(x)f(x)g(x).若函數(shù)h(x)在x0的切點(diǎn)(1,0)，求mn的；當(dāng)n0，若函數(shù)h(x)在(1,)上沒有零點(diǎn)，求m的取范；（2）函數(shù)r(x)1nx4m(m0)，求：當(dāng)x0，r(x)1.，且nf(x)g(x)解：（1）由意，得h()(f(x)(x)(exmxn)xxgem，所以函數(shù)h(x)在x0的切斜率k1m，2分又h(0)1n，所以函數(shù)h(x)在x0的切方程y(1n)(1m)x，將

20、點(diǎn)(1,0)代入，得mn2.4分（2）方法一：當(dāng)n0，可得h(x)(exmx)exm，因x1，所以ex1，1e當(dāng)m，h(x)exm0，函數(shù)h(x)在(1,)上增，而h(0)1，e11，從而11所以只要h(1)m0，解得mm.6分1eeee當(dāng)m，由h(x)exm0，解得xlnm(1,)，e當(dāng)x(1,lnm)，h(x)0，h(x)減；當(dāng)x(lnm,)，h(x)0，h(x)增.所以函數(shù)h(x)在(1,)上有最小h(lnm)mmlnm，令mmlnm0，解得me，所以1me.e上所述，m110,e).分e方法二：當(dāng)n0，exmx當(dāng)x0，然不建立；當(dāng)x1且x0，mexex，yexxexexx1x0，y0，

21、x，令yx2x2，當(dāng)1xex0 x1，y0，函數(shù)yex1，y0，函數(shù)yex函數(shù)y減，減，當(dāng)xxxx增，又yx11，yx1e，由意知m1,e).eenx1nx114x（3）由意，r(x)m，f(x)g(x)exnexx4x14xm而r(x)1等價(jià)于ex(3x4)x40，exx4令F(x)ex(3x4)x4，12分F(0)0，且F(x)ex(3x1)1，F(xiàn)(0)0，令G(x)F(x)，G(x)ex(3x2)，因x0，所以G(x)0，14分所以數(shù)F(x)在0,)上增，于是F(x)F(0)0，從而函數(shù)F(x)在0,)上增，即F(x)F(0)0.16分己知函數(shù)f(x)lnx1ax2x,aR2(1)若f(

22、1)0，求函數(shù)f(x)的減區(qū);(2)若對(duì)于x的不等式f(x)ax1恒建立，求整數(shù)a的最小:(3)若a2，正數(shù)x1,x2足f(x1)f(x2)x1x20，明:x1x2512（1）因f(1)a0，所以12，1分此f(x)lnxx2x,x0，12x2x1(x0)f(x)2x1分2由f(x)0，得2x2x10，又x0，所以x1所以f(x)的減區(qū)(1,)分4（2）方法一：令g(x)f(x)-(ax1)lnx1ax2(1a)x1，2所以g(x)1ax(1a)ax2(1a)x1xx當(dāng)a0，因x0，所以g(x)0所以g(x)在(0,)上是增函數(shù)，又因g(1)ln11230，2a1(1a)12a2所以對(duì)于x的不

23、等式f(x)ax1不可以恒成立6分當(dāng)a0，g(x)2a(x1)(x1)，ax(1a)x1axx令g(x)0，得xa11，g(x)0；當(dāng)x(1)，g(x)0，所以當(dāng)x(0,a)a,所以函數(shù)g(x)在x11)是減(0,a)是增函數(shù)，在x(a,函數(shù)故函數(shù)g(x)的最大1111211lnag(a)lna2a(a)(1a)a12a8分1令h(a)lna，2a因h(1)10，h(2)1ln20，又因h(a)在a(0,)是24減函數(shù)所以當(dāng)a2，h(a)0的最小所以整數(shù)a2分方法二：（2）由f(x)ax1恒建立，得lnx12在2axxax1(0,)上恒建立，lnxx1等價(jià)于a1x2x在(0,)上恒建立2令g(

24、x)lnxx1，只要1x2x2ag(x)max分6(x1)(1xlnx)1因g(x)22，令g(x)0，得12x)2xlnx0(x2h(x)1xlnx，因h(x)110，所以h(x)在(0,)上22x減，不如12xlnx0的根x0當(dāng)x(0,x0)，g(x)0；當(dāng)x(x0,)，g(x)0，所以g(x)在x(0,x0)上是增函數(shù)；在x(x0,)上是減函數(shù)所以lnx0 x0111x01228分g(x)maxg(x0)11x02x0 x0 x0(1x0)2因h(110，h(1)12)ln2420所以1x01，此112，即g(x)max(1,2)x20所以a2，即整數(shù)a的最小2分103）當(dāng)a2，f(x)

25、lnxx2x,x0由f(x1)f(x2)x1x20，即lnx1x12x1lnx2x22x2x1x20從而(x1x2)2(x1x2)x1x2ln(x1x2)13分令tx1x2，由(t)可知，(t)在區(qū)增所tlnt得，(t)t1t(0,1)上減，在區(qū)(1,)上以(t)(1)1，15分所以(x1x2)2(x1x2)1，因此x1x251成2立分已知a，b數(shù)，函數(shù)f(x)xab，函數(shù)1g(x)lnx1）當(dāng)ab0，令F(x)f(x)g(x)，求函數(shù)F(x)的極；2）當(dāng)a1，令G(x)f(x)g(x)，能否存在數(shù)b，使得于函數(shù)yG(x)定域中的隨意數(shù)x1，均存在數(shù)x21,)，有G(x1)x20建立，若存在，求出數(shù)b的取會(huì)合；若不存在，明原因解：（1）F(x)lnx，1xx1，令，得F(x)2F(x)0 xx11分列表：x(0,1)1(1,)F(x)0+F(x)極小所以F(x)的極小F(1)1，無(wú)極大4分（2）當(dāng)a1，假存在數(shù)b足條件，1b)lnx1在x(0,1)U(1,)上恒成G(x)(x1立5分1）當(dāng)x(0,1)，G(x)(x1b)lnx1可化(bx1b)lnxx10，1令H(x)(bx1b)lnxx1,x(0,1)，化：H(x)0任意x(0,1)恒建立；（*