1、4-3三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)1用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖正弦函數(shù)y=sinx, x0,2的圖像中，五個關(guān)鍵點：（0,0）,（號，1），（兀，0）,（尋，1）, （2, 0）. 余弦函數(shù)y=cosx, 0,2啲圖像中，五個關(guān)鍵點：（0.1）,（申，O）, （, 1）,（申，O）, （2, 1）.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)函數(shù)y=sinxJ = COSXy=tan.v圖像定義域RR!x R 且 AZ值域-1,1-lflR單調(diào)性號+2k,號+2ft伙WZ)上遞增：纟+2航，卑+ 2竝伙GZ)上遞減-+2h 2加伙Z)上遞增：2k, + 2r伙 Z)上遞 減(一號+A,彳+行T)伙

2、Z)上遞增最值x= + 2k伙 Z)時，ymax=1：X =號 + 2k(k Z)時Jmin= 1x=2(Z)時,ymax= 1: =2(Z)時，Jmin= -1奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱中心(k, 0)伙 Z)G+S 0)伙 Z)(乎,0)(ArZ)對稱軸方程x=y 伙 WZ)X=k 伙 WZ)周期22判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打J ”或X ”)( )( )( )( )( )( )( )( )y=sin x在x0,剳上是增函數(shù).y=cosx在第一、二象限上是減函數(shù).y=tanx在整個立義域上是增函數(shù).y=RSin a1(xR),則 ymax=k+1.若Sin人乎，則2 .函數(shù).心)=

3、Sin(X扌)的圖像的一條對稱軸是A X=才B. x=5C. x=毎 D x= 答案C解析 方法一 正弦函數(shù)圖像的對稱軸過圖像的最高點或最低點，故令 = + y , ZrZ f .x = + f Z取 k 二-1 ,貝IJX二-方法二用驗證法X =扌時,y = Sin(扌扌)二 ,不合題意排除A ;X二彳時，y = Sin(J = 不合題意，排除B ；X= -1時，y = Sin(扌-3二-1 ,符合題意,C項正確;X=-訓,y = sin(-=-乎，不合題意，故D項也不正確.已知函數(shù)心)=sin(2+0),英中0為實數(shù)，若冗罔./(訓對xR恒成立，且.厲心)，則下列結(jié)論正確的是cyu)是奇函

4、數(shù)A.y(jy)=-1 B.D.加的單調(diào)遞增區(qū)間是加_彳 +(Z)正確的是cyu)是奇函數(shù)A.y(jy)=-1 B.答案 D 解析 ) |./()I 對XUR 恒成立，.2X* + e= +號，RZ ,卩二加 + ? , kZ.4號)0*町，Sin(Tr + 0)二 Sin 0. = 2lat + ? , R Z.47.17 Csin= -Sln-0,不妨取 0 = ? 誓)二sin2t二0 ,.A 錯;瑚尋)二sin( +47.17 Csin= -Sln-0 , .B 錯；：J - x) -J(X) , AC 錯;.2k - 2x + 2Zr + I kZ , k - x + I ZrZ I

5、 AD 對.故選 D.將函數(shù)y=5cosx+sinx(xR)的圖像向左平移伽0)個單位長度后，所得到的圖像關(guān)于y軸對稱, 則m的最小值是f 5兀Dw答案 B解析y二萌CoSX+ sinx = 2sin(x + f)向左平移加個單位長度后得到y(tǒng) = 2sin(x +1 + m),它關(guān) 于)軸對稱可得 Sin( + a?) = 1 I + z? = , Z l .z? = + l Z , VzzO , .m 的最小值為 5.設當X=時，函數(shù)/(x)=sin+2cosx取得最大值，則COS =答案 解析 由 fi,x) = SinX + 2cos X 可得fx) -5sin(x + )其中 fan

6、卩二 2 ,當 x + 二號 + 2航伙WZ) 時函數(shù)./U)取得最大值，所以.cos 0二CoSe + 2= sin, = .題型一求三角函數(shù)的定義域和最值= sin, = . TOC o 1-5 h z 例 1(1)函數(shù)y=2sin(-)(0 x9)的最大值與最小值之和為()A. 2一、/ B. 0 C. 1 D1 羽(2)函數(shù)y=好二7的宦義域為.思維啟迪求函數(shù)的定義域可利用三角函數(shù)的圖像或數(shù)軸；求函數(shù)最值或值域時要利用圖像、三角變換、二次函數(shù)等知識.答案(I)A (2)xk+ Exk, EZ解析 利用三角函數(shù)的性質(zhì)先求出函數(shù)的最值.0 xW9 , .-ja- - y ,y -3 l 2

7、y -3 l 2 yux + Vmin = 2 3.4 +, WZx + k I Z.tan X 1 0(2)要使函數(shù)有意義,必須有y+ I Z故函數(shù)的定義域 a-aJ + k fi.x + jbt I kZ.思維升華(1)求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖像 來求解.(2)求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到以下幾種類型的題目：形如y = USin X ?COS x + c的三角函數(shù)化為y = Asin(x + ) k的形式f再求最值(值域);形如y = asin2xbsinc的三角函數(shù)，可先設SinX = rt化為關(guān)于/的二次函數(shù)求值域(最值);形如y

8、= t/sinXCOSX + ?(Sincos) + C的三角函數(shù)，可先設t = Sinxcosx ,化為關(guān)于/的二次函數(shù)求 值域(最值)(1)函數(shù) y = Ig(Sin X)+函數(shù)y=sin2xsin-1(1)函數(shù) y = Ig(Sin X)+函數(shù)y=sin2xsin-1的值域為555A. -lllB.歹-1 C. , 1 D. -L R答案(1)x2k0 t解析(1)要使函數(shù)有意義必須有JCOSX - 5 Sin .v0 , 即ICOSXy I巧 + 2x + 2k伙GZ) JyjCOSX-*的泄義域為.*.27xj 2k J Z I 函數(shù)的定義域為xl2,=Itan .d.思維啟迪(1)

9、化為y= - sing -扌)，再求單調(diào)區(qū)間及周期.由y = tanx的圖像-*y = Itanx啲圖像一 求單調(diào)性及周期.解(1)= - Sin(Zr -,它的增區(qū)間是y = sin(2-j)的減區(qū)間，它的減區(qū)間是y = Sin(Zr - y)的增區(qū)間.由 2k - j2r - fW2 +申,kZ ,得如-xht + , ArZ.由 2k +- j2 + , Z I k 5xZr + j J Z故所給函數(shù)的減區(qū)間為刼-谷，k +気，kZ ；增區(qū)間為 + , M +誓,Z.最小正周期T=Y=.觀察圖像可知，y = Itan.xi的增區(qū)間是k ,加+申)，Z ,減區(qū)間是& -號，航,RZ.最小正

10、周期T=.思維升華(1)求形如)，二ASin(OX+卩)或y二ACoS(OX+ 0)(其中，q0)的單調(diào)區(qū)間時，要視“ex +?！睘?一個整體，通過解不等式求解.但如果O, 0(號，)的最小正周期為TT,且貝圖像關(guān)于直線x=TrJr對稱，則在下而四個結(jié)論：圖像關(guān)于點Q，O)對稱：圖像關(guān)于點(亍，0)對稱；在0,自上是增函數(shù)；在一自0上是增函數(shù)中，所有正確結(jié)論的編號為答案(I)C (2) 解析(1)由條件得幾巧二Vasins +，又函數(shù)的最小正周期為1 ,故嚴二1 ,.a = 2 J故/U)二返sin(2x +扌)將二代入得函數(shù)值為0.(2) Vr = , . = 2 X 2 + = Zr +

11、(Z) f A -k Z)由圖像及性質(zhì)可知正確由圖像及性質(zhì)可知正確高頻小考點4三角函數(shù)的單調(diào)性.對稱性典例：(20分)(1)已知。0,函數(shù)心)=sin伽+為在(Tr)上單調(diào)遞減，則Q的取值范圍是(A. g, |B *， C. (0, A. g, |B *， C. (0, |D(02已知函數(shù)y=2cos(ox+0)+b對任意實數(shù)有yu+f)=()成立，且y=,則實數(shù)的值為()A一1B. 3A一1B. 3C. -1 或 3D一 3已知0.00且1如在區(qū)間牙普上單調(diào)遞減，且函數(shù)值從1減小到一 1,那么此函數(shù)圖像與y軸交點的縱坐標為圖像與y軸交點的縱坐標為B普C浮A.g()n6+2U4思維啟迪(I)G

12、 , Tr)為函數(shù).心)某個單調(diào)減區(qū)間的子集；由心+二夬-X)可得函數(shù)的對稱軸，應用函數(shù)在對稱軸處的性質(zhì)求解即可；(3VU)二Sin(S + )圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離是f ; (4)可結(jié)合圖像分析函數(shù)的單調(diào)性，周期性確定 J .解析由題意知(申+扌，定 J .解析J .%2J .%24，故選 A(2)由./U +二心 切可知函數(shù).心)=2cos(x + ) + b關(guān)于直線X =頁對稱，又函數(shù)./U)在對稱軸處取得最值 J 故2 + b= 1 C 1 或 b = 3.(3)利用三角函數(shù)的對稱軸求得周期.由題意得周期丁二2= 2le. 2 = ,即 -(3)利用三角函數(shù)的對稱軸求得周期.由題

13、意得周期丁二2= 2le. 2 = ,即 - 1 I fix)=Sinu + ),=1 J 90 兀, 5 9 4 = sin(2r + ),令*0 ,可得，詁. 答案(I)A (2)C (3)A (4)A溫馨提醒(1)對于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確左參數(shù)。的范用的問題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間 應為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集：英次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解.(2) 函數(shù)y=Asin(ex+0)+b的圖像與苴對稱軸的交點是最值點.方法與技巧討論三角函數(shù)性質(zhì)，應先把函數(shù)式化成y二ASin3 + 0)(0O)的形式.JTrJr2函數(shù)y = Asin(x + )和y二Ac

14、os(ox + )的最小正周期為斗I y = tan(x + )的最小正周期為占3對于函數(shù)的性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、對稱性.最值等)可以通過換元的方法令 = 3Xm ,將其轉(zhuǎn) 化為研究y = Sin /的性質(zhì).失誤與防范1.閉區(qū)間上最值或值域問題，首先要在定義域基礎上分析單調(diào)性，含參數(shù)的最值問題，要討論參數(shù)對最值的影響 2要注意求函數(shù)y = Asin(x + )的單調(diào)區(qū)間時的符號I盡量化成00時情況A組專項基礎訓練(時間：40分鐘)一選擇題1.下列函數(shù)中，周期為且在0,剳上是減函數(shù)的是C. y=sin IXD y=cos IXC. y=sin IXD y=cos IX答案D 解析 對于函數(shù)

15、y = COS IX , = ,當x0 J彳時，2x0 t , y = COS IX是減函數(shù) TOC o 1-5 h z 函數(shù) /U)=sinXCOSG+)的值域為()A. -2,2 B. -3, 3 C. -1,1D. 割答案B解析 將函數(shù)化為)uAsin(ex + e)的形式后求解.x)二SinX-CoS(X + ?)= SinX- COScos I + = SinX- COScos I + SinXSin = SinX -乎CoS A-ISin A = 3in=3sin(x - )(xR) , .U)的值域為-3 ,3.3己知函數(shù)U)=Acos(ex+0)(AO, 0 R),則“心)是奇

16、函數(shù)”是t=M的 ()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案B解析0二尹/U)二ACOS(ex +號)二-ASin x為奇函數(shù)，. “心)是奇函數(shù)是“卩二號”的必要條件又J(X) = ACOS(x )是奇函數(shù)=/(O) = On卩二馬+氏伙Z)D=y =號. “心)是奇函數(shù)不是“卩二亍的充分條件4.函數(shù) y=cos 2+sin2x, xR 的值域是（）A. 0,1B. |, 1C. -1,2D. 0,21 - COS 2x 1 + COS 2a答案 A 解析 y = COS IX + sin2x = COS Ix +二5 Tcos 2v - 1,

17、1 I Ay 0丄將函數(shù))=sin or(英中e0)的圖像向右平移:個單位長度，所得圖像經(jīng)過點(竽，0),則的最小值A.B. 1C3A.B. 1C3D2答案D解析 根據(jù)題意平移后函數(shù)的解析式為y = Sin x - ),將序，0)將序，0)代入得Sin竽二0 ,貝J = 2k I kZ I且0 I故。的最小值為2.二、填空題函數(shù)y=cos(-2x)的單調(diào)減區(qū)間為.答案刼+彳，+(Z)解析 由 = COS(J - Zr)二 COS(Zv -扌)得22v - 2 + (r Z),故加 + 卷WXWA + 寮kZ).所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為k + j ,刼+為仗Z).函數(shù)J=Sinx的泄義域為, b,

18、值域為一 1,令，則h-a的最大值為.答案解析 由正弦函數(shù)的圖像知少-)max二平-尋二翠已知函數(shù)yU)=Atan(0 x+e)(0O, Qk號)，y=/(A)的部分圖像如圖，則.局)=答案3解析 由題中圖像可知，此正切函數(shù)的半周期等于y- = ,即最小正周期為釘 所以 = 2.由題意可知，圖像過定點(y , 0),所以0 = tan(2y + ),即乎+4二加伙Z),所以 = k-苧(RZ),又1如號，所以卩二扌. 又圖像過定點(OJ),所以A = I.綜上可知，y(x) = tan(2x + f), 故有人召)二 tan(2X召+ 扌)二 tan j = 3.三、解答題設函數(shù)/(x)=si

19、n(2+e) (0), y=)圖像的一條對稱軸是直線X=眉.求0:(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.解(1)令 2xf + y 二加 +號，RZ, .0 = h +扌，RZ,又-(sinx +cos x)2l =sin 2x0 J 22x2Zr + f ZrZ , 故原函數(shù)的定義域是如，b + (kZ).設函數(shù)v)=3sin+),若存在這樣的實數(shù)m 2,對任意的xR,都有皿)WW)W3)成立，則M 刈的最小值為.答案2解析 心)二3si噲+的周期7二2X學二4 ,心)，加)應分別為函數(shù)y的最小值和最大 值，故IVl - X2I的最小值為1=2.已知函數(shù))=CosAsinx(xR),給出下列四個命題：若.心)=/Id),則x = -n/U)的最小正周期是2兀：在區(qū)間一* f上是增函數(shù)；/U)的圖像關(guān)于直線X=J對稱.其中真命題是.答案 解析J(X) = ISin IX ,當X =O , X2二訓，血)二-.心2),但心工-*2 ,故是假命題；.心)的最小正周期為 ,故是假命題；當x號，自時，2r令冷，故是真命題； 因為y) = in為二-*，故./U)的圖像關(guān)于直線X二對稱，故是真命題.已知函數(shù)y(x)=sin Zr-3cos 2v+1.當x,訓寸，求何的最大值和最