1、8 6 空間直線及其方程授課次序 52 教學(xué)課題 教學(xué)重點參考教材雙語教學(xué)教學(xué)基本指標8 6 空間直線及其方程教學(xué)方法當堂講授,輔以多媒體教學(xué)直線及其方程教學(xué)難點平面、直線的相互關(guān)系同濟高校編 高等數(shù)學(xué) （第 6 版） 作業(yè)布置高等數(shù)學(xué) 標準化作業(yè)自編教材 高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程坐標軸： axis of coordinates ；橫坐標： abscissa；縱坐標：ordinate； 螺旋線： helices；曲線： curve；曲面： surface ；銳角： acute angle；鈍角： obtuse angle；平角： straight angle ；直角： right angle 課堂教

2、學(xué) 1 把握直線方程及其求法,目標 2 會利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問題1直線方程（ 35min）；教學(xué)過程2平面、直線的相互關(guān)系（30min）；3雜題選編（ 25min）教學(xué)基本內(nèi)容備注欄8 6 空間直線及其方程一、空間直線的一般方程空間直線 L 可以看作是兩個平面 1和 2的交線假如兩個相交平面 1和 2的方程分別為 A1x B1y C1z D 1 0 和 A2x B2y C2z D2 0 那么直線 L 上的任一點的坐標應(yīng)同時滿意這兩個平面的方程 即應(yīng)滿意方程組 A A 12 x x B B 12 y y C C 1 z2 z D D 12 0 0 1 反過來

3、假如點 M 不在直線 L 上 那么它不行能同時在平面 1和 2上 所以它的坐標不滿意方程組 1 因此 直線 L 可以用方程組 1來表示 方程組 1 叫做空間直線的一般方程設(shè)直線 L 是平面1與平面2的交線 平面的方程分別為A1x B1y C1z D 1 0 和 A2x B2y C2z D 2 0那么點 M 在直線 L 上當且僅當它同時在這兩個平面上程 即滿意方程組A 1 xB 1yC 1zD10A 2xB 2yC2zD20當且僅當它的坐標同時滿意這兩個平面方因此 直線 L 可以用上述方程組來表示L上述方程組叫做空間直線的一般方程把它們的方程通過空間始終線L 的平面有無限多個只要在這無限多個平面

4、中任意選取兩個聯(lián)立起來 所得的方程組就表示空間直線二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程方向向量假如一個非零向量平行于一條已知直線這個向量就叫做這條直線的方向向量容易知道 直線上任一向量都平行于該直線的方向向量確定直線的條件當直線 L 上一點 M 0 x0 y0 x0和它的一方向向量sm n p為已知時 直線 L的位置就完全確定了直線方程的確定已知直線 L 通過點 M 0 x0 y0 x0 且直線的方向向量為sm n p 求直線 L 的方程設(shè) M x y z在直線 L 上的任一點就x x0 y y0 z z0/s 從而有xx 0yy 0zz 0mnp這就是直線L 的方程 叫做直線的對稱式方程或點向

5、式方程注當 m n p 中有一個為零例如 m 0而 n p 0 時這方程組應(yīng)懂得為xx 0y 00 0 xx 0yy0zz 0np當 m n p 中有兩個為零例如 m n 0 而 p 0 時 這方程組應(yīng)懂得為y直線的任一方向向量s 的坐標 m、n、p 叫做這直線的一組方向數(shù)而向量 s 的方向余弦叫做該直線的方向余弦由直線的對稱式方程簡單導(dǎo)出直線的參數(shù)方程設(shè)xx 0yy0zz 0t得方程組xx 0mtyy0ntmnpzz 0pt此方程組就是直線的參數(shù)方程例 1 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線xxyz142y3 z三、兩直線的夾角兩直線的方向向量的夾角 通常指銳角 叫做兩直線的夾角設(shè)直線 L 1和

6、 L2的方向向量分別為 s1 m1 n1 p1和 s2 m2 n2 p2 那么 L1 和 L2 的夾角 就是 s 1s 2 和 s 1 , s 2 s 1 , s 2 兩者中的銳角 因此 cos | cos s 1 , s 2 | 依據(jù)兩向量的夾角的余弦公式直線 L1和 L2的夾角 可由cos | cos s 1 , s 2 |m 1 2 | mn 11 m2 2p 1 n2 1 n 2m 2 2 p 1 pn 22 2 |p 2 2 來確定從兩向量垂直、平行的充分必要條件立刻推得以下結(jié)論設(shè)有兩直線L 1xx 1yn 1y 1zz 1L2xx 2yy2zpz 2就m 1p 1m 2n 22L1

7、L2m1m2 n1n2 p1p2 0 L1 L 2m 1m 2n 1p 1的夾角n 2p2例 2 求直線 L1:x1yz13和 L 2:x 2y2z1421四、直線與平面的夾角當直線與平面不垂直時直線和它在平面上的投影直線的夾角稱為直線與平面的夾角當直那 么線與平面垂直時規(guī)定直線與平面的夾角為2設(shè) 直線 的方向 向量s m n p 平面 的法 線向 量為n A B C 直 線與 平面 的夾 角為|2s ,n |因此sin|cos s ,n |按兩向量夾角余弦的坐標表示式有sinA 2|AmBnCp|2p2B2C2m 2n當于由于直線與平面垂直相當于直線的方向向量與平面的法線向量平行所以 直線與

8、平面垂直相ABCmnp由于直線與平面平行或直線在平面上相當于直線的方向向量與平面的法線向量垂直 所以 直線與平面平行或直線在平面上相當于 Am Bn Cp 0設(shè)直線 L 的方向向量為 m n p 平面的法線向量為 A B C 就LA mBCL/ / Am Bn Cp 0np例 3 求過點 12 4且與平面 2x 3y z 4 0 垂直的直線的方程五、雜例例 4 求與兩平面x 4z 3 和 2x y 5z 1 的交線平行且過點 3 2 5的直線的方程s 因 為解 平 面x 4z 3 和2x y 5z 1 的 交 線 的 方 向 向 量 就 是 所 求 直 線 的 方 向 向 量si4 k 2 i

9、j5 ki 1 2j 0 1k 4 54 i3jk所以方程為x43y32z15例 5 求直線x12y13z24與平面 2x y z 6 0 的交點解所給直線的參數(shù)方程為x 2 t y 3 t z 4 2t 代入平面方程中得22 t 3 t 4 2t 6 0 解上列方程得 t1將 t1 代入直線的參數(shù)方程得所求交點的坐標為x 1 y 2 z 2例 6 求過點 2 1 3且與直線x31y21z垂直相交的直線的方程1解過點 2 1 3與直線x31y21z垂直的平面為13x 2 2y 1 z 3 0 即 3x 2y z 5直 線 x 1 y 1 z 與 平 面 3x 2y z 5 的 交 點 坐 標

10、為 2 , 13 , 3 以 點 2 1 3 為 起 點 以 點3 2 1 7 7 7 2 , 13 , 3 為終點的向量為 2 ,2 13 ,1 3 3 6 2 , ,1 47 7 7 7 7 7 7所求直線的方程為 x 2 y 1 z 32 1 4例 6 求過點 2 1 2且與直線 x 2 y 3 z 4 垂直相交的直線的方程1 1 2解 過已知點與已知直線相垂直的平面的方程為 x 2 y 1 2z 2 0 即 x y 2z 7 此平面與已知直線的交點為 1 2 2 所求直線的方向向量為s 1 2 2 2 1 2 1 1 0 所求直線的方程為x1 2 y1 1 z0 2 即z x12 20

11、 y1 1提示 求平面 x y 2z 7 與直線 x1 2 y1 3 z2 4 的交點直線的參數(shù)方程為 x 2 t y 3 t z 4 2t 代入平面方程得2 t 3 t 24 2t 7解得 t 1 代入直線的參數(shù)方程得 x 1 y 2 z 2平面束 設(shè)直線 L 的一般方程為A 1 x B 1 y C 1 z D 1 0A 2 x B 2 y C 2 z D 2 0其中系數(shù) A1、B1、C1 與 A2、B2、C2 不成比例 考慮三元一次方程A1x B1y C1z D 1 A2x B2 y C2z D2 0即 A1 A2x B1 B2y C1 C1z D 1 D2 0其中 為任意常數(shù) 由于系數(shù) A1、B1、C1 與 A2、B2、 C2 不成比例 所以對于任何一個 值 上述方程的系數(shù)不全為零 從而它表示一個平面 對于不同的 值 所對應(yīng)的平面也不同 而且這些平面都通過直線 L 也就是說 這個方程表示通過直線 L 的一族平面 另一方面 任何通過直線 L 的平面也肯定包含在上述通過 L 的平面族中通過定直線的全部平面的全體稱為平面束方程 A1x B1y C1z D1 A2x B2y C2z D2 0 就是通過直線 L 的平面束方程例 7 求直線 xx yy zz 11 00 在平面 x y z 0